Le cadre g´en´eral que nous nous donnons est celui des chaˆınes de Markov bifurquantes, BMC selon l’acronyme anglais, qui peuvent ˆetre vues comme la g´en´eralisation des chaˆınes de Markov, adapt´ees `
a une structure d’arbre binaire. Formalisons les choses `a la mani`ere de J. Guyon dans [Guy07]. Nous rappelons que T d´esigne l’arbre binaire infini o`u chaque nœud est identifi´e `a une cellule de la population ´etudi´ee. Nous d´esignons par Gm= {0, 1}m l’ensemble des cellules appartenant `a la
g´en´eration m et par Tm l’ensemble des cellules jusqu’`a la g´en´eration m. Pour chaque cellule u,
nous nous int´eressons `a un trait biologique quantitatif Xu∈S non sp´ecifi´e, o`u S d´esigne un espace
d’´etat g´en´eral. Nous nous donnons un noyau markovien not´eP de (S, S) dans (S × S, S ⊗ S), que nous appelons T-transition. Le processus (Xu, u ∈ T) est appel´e chaˆıne de Markov bifurquante si
E h Y u∈Gm gu(Xu, Xu0, Xu1) Fm i = Y u∈Gm Pgu(Xu)
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
pour toute famille (gu, u ∈ Gm) de fonctions mesurables born´ees surS3 o`u la filtrationFmest, par
exemple, la filtration naturelle engendr´ee par (Xu, u ∈ Tm), etPg(x) = RS2g(x, x0, x1)P(x, dx0dx1).
Cette propri´et´e est fondamentale et g´en´eralise la propri´et´e de branchement. En effet, dans ce cadre, deux cellules sœurs peuvent ˆetre corr´el´ees conditionnellement `a leur parent. Nous soulignons la re- lation P(x, dx0dx1) = P (Xu0, Xu1) ∈ dx0dx1|Xu= x.
Le fragment marqu´e tel que d´efini pr´ec´edemment (Section2.2) joue un rˆole fondamental dans l’analyse. Les marques d’une branche tir´ee al´eatoirement dans l’arbre (uniform´ement `a chaque branchement) forment une chaˆıne de Markov de transition
Q = 1
2(P0+P1)
o`uP0et P1sont les transitions marginales de la T-transition P. Nous supposons que la chaˆıne de
transitionQ est ergodique, et nous notons ν la mesure invariante associ´ee. Nous nous demandons alors :
(B.i) `A partir de toutes les observations (Xu, u ∈ Tn), comment reconstruire la transition
moyenneQ, ainsi que la loi `a l’´equilibre correspondante ν ?
(B.ii) `A partir des observations (Xu, u ∈ Tn), comment reconstruire la T-transition P ?
(B.iii) Est-il possible de reconstruire des param`etres caract´erisant la T-transition dans cer- tains mod`eles sp´ecifiques ?
Dans le cas des chaˆınes de Markov, le probl`eme analogue `a (B.i) a ´et´e trait´e dans les travaux de S. Cl´emen¸con et C. Lacour [Cl´e00,Lac07]. Bien que les objetsQ et ν que nous visons `a reconstruire d´ecrivent une chaˆıne de Markov, celle du fragment marqu´e en l’occurrence, nous souhaitons les reconstruire `a travers l’observation de toute la chaˆıne de Markov bifurquante qui les induit.
Les trois approximations suivantes attestent de la possibilit´e d’estimer les trois objets d’int´erˆet d`es lors que (Xu, u ∈ Tn) est observ´e, et les questions (B.i), (B.ii) trouvent bien leur sens. Outre
l’approximation 1 |Tn| X u∈Tn g(Xu) ≈ n→∞ν(g) (17)
d´ej`a rencontr´ee, J. Guyon ´etablit dans [Guy07], 1 |Tn| X u∈Tn g(Xu−, Xu) ≈ n→∞ν(Qg), (18)
o`u u− d´esigne le parent de u, ainsi que le r´esultat g´en´eral englobant les deux pr´ec´edents, 1 |Tn| X u∈Tn g(Xu, Xu0, Xu1) ≈ n→∞ν(Pg), (19) - 20 -
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
l’ensemble Tn pouvant invariablement ˆetre remplac´e par Gn.
Exemples paradigmatiques
Nous nous posons de plus la question (B.iii) dans les deux exemples qui suivent. L’espace d’´etat S est `a pr´esent choisi ´egal `a, ou inclus dans, (0, ∞).
Exemple 1. Mod`ele de croissance-fragmentation. Le processus discret des tailles `a la nais- sance (ξu, u ∈ T) tel que d´ecrit en Section2forme, nous l’avions annonc´e, une BMC de T-transition
PB(x, dx0dx1) = QB(x, x0)δx0(dx1)dx0 avec QB(x, y) = B(2y) τ y exp − Z y x/2 B(2z) τ z dz 1{y≥x/2},
expression obtenue `a l’aide des ´equations (3) et (4) (voir [DHKR15]). La transition moyenne n’est autre que Q = QB, de mesure invariante ν = νB. Nous rappelons la formule (11), fondamentale
pour ´etablir une strat´egie de reconstruction de B. L’estimation de νBpr´esente donc le grand int´erˆet
de permettre celle du taux de division B. La r´eponse `a la question (B.iii) est alors ici affirmative. Dans ce mod`ele sp´ecifiquement, les objectifs (A) et (B) se trouvent ˆetre li´es, et une r´eponse au premier probl`eme, dans un cadre inf´erentiel g´en´ealogique, d´ecoule naturellement d’une r´eponse au second.
Exemple 2. Mod`ele bifurquant auto-r´egressif. Le mod`ele bifurquant auto-r´egressif lin´eaire a ´et´e introduit par Cowan et Staudte en 1986 dans [CS86] afin d’´etudier la bact´erie E. coli. Ces mod`eles ont notamment servi `a ´etudier le vieillissement des cellules [SMPT05,GBP+05]. Le trait biologique privil´egi´e dans ce cadre est alors le taux de croissance. Nous supposons que les quantit´es Xu0et Xu1 associ´ees aux deux descendants u0 et u1 de u, d´ependent de leurs ancˆetres seulement
`
a travers Xu. Nous consid´erons le mod`ele bifurquant auto-r´egressif non-lin´eaire d´efini par
Xu0= f0(Xu) + εu0 et Xu1= f1(Xu) + εu1, (20)
pour tout u ∈ T, o`u f0 et f1 sont des fonctions inconnues dites d’auto-r´egression. La racine X∅
est distribu´ee selon une mesure initiale µ quelconque et la famille (εu0, εu1), u ∈ T est compos´ee
de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees selon une densit´e G. Ce mod`ele s’ins`ere ´egalement dans le cadre g´en´eral des BMC pr´ec´edemment introduites. La T-transition est ici donn´ee par
P(x, dx0dx1) = G(x0− f0(x), x1− f1(x))dx0dx1, (21)
o`u G est la densit´e bivari´ee du bruit.
La litt´erature concernant les processus bifurquants auto-r´egressifs est d´ej`a vaste : citons en par- ticulier J.-F. Delmas et L. Marsalle [DM10], B. Bercu, B. de Saporta et A. G´egout-Petit [BdSG09], S. V. Bitseki Penda et H. Djellout [BD14]. En vue des applications biologiques, des donn´ees man- quantes ont ´et´e autoris´ees par B. de Saporta, G´egout-Petit et Marsalle [dSGPM12]. V. Blandin [Bla13] notamment a consid´er´e des coefficients al´eatoires.
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
Aucune ´etude n’ayant ´et´e men´ee sur les transitionsP et Q elles-mˆemes, ou sur la mesure inva- riante ν, les r´esultats apport´es par le ChapitreIIsont nouveaux dans ce contexte. L’estimation de la T-transition ne permet pas l’identification des param`etres fonctionnels (f0, f1), pour G quelconque.
Contrairement au cas du mod`ele pr´ec´edent, la r´eponse `a la question (B.iii) est donc n´egative dans ce mod`ele. C’est pour cette raison que nous prolongeons l’´etude du processus bifurquant auto- r´egressif dans le ChapitreIII. Le cas de fonctions d’auto-r´egression lin´eaires, fι(x) = αι+ βιx pour
ι ∈ {0, 1}, a ´et´e ´etudi´e dans les travaux cit´es pr´ec´edemment, avec g´en´eralisation `a des processus auto-r´egressifs bifurquants d’ordre quelconque. Nous nous pla¸cons au contraire dans le ChapitreIII dans un cadre g´en´eral, non-param´etrique.
4.2
Synth`ese des r´esultats nouveaux
R´esultats g´en´eraux
Pr´eliminaire probabiliste. Nous d´etaillons ici les r´esultats probabilistes ´etablis dans le Cha- pitreII, nous permettant dans un second temps de construire une proc´edure r´epondant aux ques- tions (B.i) et (B.ii). Nous nous int´eressons dans un premier temps aux d´eviations des moyennes empiriques par rapport `a leurs limites en probabilit´e respectives identifi´ees par J. Guyon et rap- pel´ees pr´ec´edemment. Nous supposons que la chaˆıne de transitionQ est g´eom´etriquement ergodique, et ce uniform´ement par rapport au point initial x ∈S,
Qmg(x) − ν(g)
≤ R|g|∞ρm, m ≥ 0, (22)
o`u R > 0 est une constante et ρ un taux d’ergodicit´e suffisamment petit,
ρ < 1/2, (23)
hypoth`eses essentielles pour nos techniques de preuve, et nous permettant d’atteindre le R´esultat 3. Sous les hypoth`eses (22) et (23), l’in´egalit´e de d´eviations suivante est valide,
P 1 |Tn| X u∈Tn g(Xu, Xu0, Xu1) − ν(Pg) ≥ δ ≤ exp−κn −1|T n|δ2 Σn(g) + |g|∞δ
o`u κ > 0 ne d´epend pas de n et Σn(g) est un terme de variance valant Σn(g) = |Pg2|1+
min1≤`≤n−1(|Pg|212`+ |Pg|2∞2−`).
Les moyennes empiriques sur Gn, l’ensemble des particules de la g´en´eration n, ont ´egalement ´et´e
´
etudi´ees et nous obtenons des r´esultats du type pr´ec´edent. Ces in´egalit´es sont de type Bernstein et viennent am´eliorer les in´egalit´es de type Hoeffding obtenues par S. V. Biteski Penda, H. Djellout et A. Guillin dans [BDG14]. L’´etude fine du terme de variance Σn(g) est cruciale en vue des
applications statistiques.
La diff´erence fondamentale entre chaˆınes de Markov et leur g´en´eralisation en BMC qui inter- vient ici, tout comme dans les ´etudes pr´ec´edentes, est li´ee au contrˆole de la vitesse de convergence vers l’´equilibre de la transition moyenne Q. La majoration par 1/2 du taux ρ est cruciale pour le R´esultat 3, alors qu’aucune condition de cette nature n’apparaˆıt dans l’´etude des chaˆınes clas- siques. La v´erification d’une telle condition dans les applications peut ˆetre une tˆache d´elicate. Nous
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
recommandons l’emploi des r´esultats de M. Hairer et J. Mattingly `a cet effet, [HM11].
L’hypoth`ese d’uniformit´e par rapport au point initial pour le r´esultat d’ergodicit´e est cruciale dans notre m´ethode de d´emonstration mais restreint sensiblement les applications. Dans le cas du mod`ele de croissance-fragmentation, nous supposerons le taux de division B `a support born´e. Dans le cas du mod`ele bifurquant auto-r´egressif, l’hypoth`ese (22) est v´erifi´ee d`es que les fonctions d’auto- r´egression sont born´ees. Des techniques radicalement diff´erentes devront ˆetre mises en œuvre pour s’affranchir de cette hypoth`ese (technique de couplage, utilisation de la distance de Wasserstein, voir S. V. Bitseki Penda et al. [BEG15]).
Estimation statistique. Le ChapitreIIse consacre dans un second temps `a l’estimation adapta- tive des densit´es de la mesure invariante x ν(x), de la transition moyenne (x, y) Q(x, y) et de la T-transition (x, y, z) P(x, y, z), r´epondant ainsi aux questions (B.i) et (B.ii). Le R´esultat 3 pr´ec´edent est d´evelopp´e dans un cadre le plus g´en´eral possible, mais nous nous restreignons `a pr´esent au cas o`u S ⊆ R et o`u ν(dx), Q(x, dy) et P(x, dydz) sont domin´ees par la mesure de Lebesgue (nous notons les densit´es correspondantes de la mˆeme fa¸con).
Nous construisons des estimateurs de ν, Q et P `a partir des observables (Xu, u ∈ Tn) `a
l’aide de techniques d’estimation par seuillage dans une base d’ondelettes – voir D. Donoho et al. [DJKP95], G. Kerkyacharian et D. Picard [KP00] ainsi que les r´ef´erences aff´erentes. Ci- tons ´egalement l’ouvrage de W. H¨ardle, G. Kerkyacharian, D. Picard et A. Tsybakov [HKPT98] (en particulier pour l’impl´ementation num´erique). Les fonctions ν(x), fQ(x, y) = ν(x)Q(x, y) et
fP(x, y, z) = ν(x)P(x, y, z) sont approch´ees via les d´ecompositions ν(x) =X λ hν, ψ1 λiψ 1 λ(x), fQ(x, y) = X λ hfQ, ψλ2iψ 2 λ(x, y), fP(x, y, z) = X λ hfP, ψ3λiψ3 λ(x, y, z),
o`u (ψdλ)λ pour d = 1, 2, 3 est une collection de fonctions ondelettes. Forts de l’approximation
pr´ec´edente (17), nous estimons ν(x) par
b νn(x) = X |λ|≤J Tλ,η(νbλ,n)ψ 1 λ(x) avec bνλ,n= 1 |Tn| X u∈Tn ψλ1(Xu)
o`u J est le niveau maximal de r´esolution,Tλ,η est l’op´erateur de seuillage dur et η > 0 le niveau
de seuillage. `A l’aide de l’approximation (18), nous estimons Q(x, y) par bQn(x, y) = fbn(x,y) b νn(x)∨$ (avec $ > 0), o`u b fn(x, y) = X |λ|≤J Tλ,η( bfλ,n)ψλ2(x, y) avec fbλ,n= 1 |T? n| X u∈T? n ψλ2(Xu−, Xu).
Enfin, nous fondant sur l’approximation (19), nous estimonsP(x, y, z) par bPn(x, y, z) = b fn(x,y,z) b νn(x)∨$, o`u b fn(x, y, z) = X |λ|≤J Tλ,η( bfλ,n)ψ3λ(x, y, z) avec fbλ,n= 1 |Tn−1| X u∈Tn−1 ψλ3(Xu, Xu0, Xu1).
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
R´esultat 4. Sous les hypoth`eses (22) et (23), pour des choix appropri´es de J et η, la vitesse de convergence des estimateurs νbn, bQn et bPn, pour la perte Lp avec p ≥ 1, uniform´ement sur
toute boule de Besov, est, `a termes logarithmiques pr`es, |Tn|−αd(s,π,p) o`u αd(s, π, p) d´epend de la
r´egularit´e s de ν,Q ou P mesur´ee en norme Lπ, ainsi que de la perte Lpchoisie et de la dimension
d du probl`eme d’estimation (d = 1, 2, 3 pour respectivement ν,Q, P) et s’exprime de fa¸con classique, αd(s, p, π) = min
s 2s+d,
s+d(1/p−1/π) 2s+d(1−2/π) .
Cette vitesse de convergence est optimale au sens minimax, avec un terme logarithmique addi- tionnel dans le r´egime dit sparse.
L’article de r´ef´erence concernant l’´etablissement de la borne sup´erieure du R´esultat4est celui de G. Kerkyacharian et D. Picard [KP00]. Le contrˆole de Σn(ψλd) est crucial dans cette preuve. Concer-
nant la borne inf´erieure, outre l’utilisation de techniques d´esormais classiques, nous g´en´eralisons `
a notre cadre bifurquant les techniques employ´ees dans un cadre d´ependant par M. Hoffmann, S. Cl´emen¸con et C. Lacour [Hof99, Cl´e00,Lac07].
Sur les mod`eles de croissance-fragmentation
L’estimation adaptative du taux de division dans un mod`ele de croissance-fragmentation, soit un mod`ele structur´e en taille, est l’une des applications majeures de ce travail. Nous rappelons que les auteurs de [DHKR15] ont les premiers propos´e une estimation du taux de division B, fonction de la taille de la cellule. Comme nous l’avons expos´e en Section 2.4, la proc´edure est cependant non-adaptative.
Nous rappelant la repr´esentation fondamentale (11) d´emontr´ee dans [DHKR15], nous proposons d’estimer B au point x ∈D, pour D compact d’estimation, par
b Bn(x) = τ x 2 b νn(x/2) 1 |Tn| P u∈Tn1{x/2≤ξu<x} ∨ $ , (24)
avec $ > 0 un seuil garantissant que l’estimateur est bien d´efini. Les propri´et´es de convergence de bνn ´enonc´ees dans le R´esultat 4 se transmettent `a bBn, le d´enominateur de (24) convergeant `a
vitesse param´etrique, et nous d´emontrons le
R´esultat 5. Pour une classe de taux de division B choisie de mani`ere `a satisfaire les hypoth`eses (22) et (23) uniform´ement, classe intersect´ee avec une boule de Besov contenant les taux de division B de r´egularit´e s mesur´ee en norme Lπ, nous avons
sup B EkBbn− Bk p Lp(D) 1/p .log |Tn| |Tn| α1(s,p,π) , avec α1(s, p, π) = min 2s 2s+1, s+1/p−1/π
2s+1−2/π . D’autre part, selon le r´egime, dense ou sparse, nous
avons inf b Bn sup B EkBbn− BkpLp(D) 1/p & |Tn|−α1(s,p,π) ou log |Tn| |Tn| α1(s,p,π) , o`u l’infimum porte sur tous les estimateurs bBn construits `a partir de (Xu, u ∈ Tn).
Ce r´esultat apporte une r´eponse `a la question (A.i) formul´ee pr´ec´edemment puisque l’esti- mateur bBn du taux de division, fonction de la taille, que nous proposons est adaptatif. Outre
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
l’adaptation que nous atteignons grˆace `a cette proc´edure, nous g´en´eralisons concomitamment la perte L2 en une perte Lp et la classe fonctionnelle de H¨older en celle de Besov, dans le contrˆole
d’erreur (12). Le prix pour satisfaire l’hypoth`ese (22) dans ce mod`ele est de restreindre l’espace d’´etatS `a un ensemble born´e.
Sur les mod`eles bifurquants auto-r´egressifs non-lin´eaires
Dans le Chapitre III, l’int´erˆet porte directement sur les fonctions d’auto-r´egression f0 et f1 du
mod`ele bifurquant auto-r´egressif d´ecrit par (20), et non plus sur les caract´eristiques du fragment marqu´e de transitionQ et mesure invariante ν ou sur la T-transition P elle-mˆeme (d´efinie par (21)). Dans ce travail nous conduisons une ´etude non-param´etrique, c’est-`a-dire que nous ne sp´ecifions aucune forme a priori pour les fonctions d’auto-r´egression, contrairement aux ´etudes pass´ees sus- cit´ees, qui consid`erent des fonctions d’auto-r´egression lin´eaires.
Nous proposons d’estimer (f0(x), f1(x)) les fonctions d’auto-r´egression au point x `a partir des
observations Xu, u ∈ Tn+1, caract´eristiques des particules des n + 1 premi`eres g´en´erations, par
b fι,n(x) = 1 |Tn| P u∈Tn Kh(x − Xu)Xuι 1 |Tn| P u∈Tn Kh(x − Xu) ∨ $ , ι ∈ {0, 1}.
o`u h > 0 est une fenˆetre de lissage bien choisie, Kh(·) = h−1K(h−1·) avec K : R R un
noyau et $ > 0. Nous mentionnons les in´egalit´es de d´eviations pour ces estimateurs venant comme application dans le travail r´ecent de S. V. Bitseki Penda, M. Escobar-Bach et A. Guillin [BEG15]. Nous ´etudions dans le ChapitreIIIle comportement `a la fois non-asymptotique et asymp- totique de ces estimateurs de type Nadaraya-Watson. Nous obtenons la majoration du risque sup(f0,f1)E b f0,n(x) − f0(x) 2 + bf1,n(x) − f1(x) 2 par |Tn| −2s
2s+1, `a constante pr`es, pour une fenˆetre de lissage hn bien calibr´ee, en |Tn|−1/(2s+1), avec s la r´egularit´e h¨olderienne des fonctions f0 et f1
(r´egularit´es suppos´ees ´egales pour simplifier), o`u le supremum est pris sur une classe appropri´ee de fonctions (f0, f1), sous-lin´eaires. L’hypoth`ese de sous-lin´earit´e des fonctions f0 et f1, assurant
une propri´et´e d’ergodicit´e non uniforme en le point initiale (moins contraignante que (22)), est ici suffisante dans nos d´emonstrations.
L’´etude asymptotique comprend la convergence presque sˆure de bf0,n(x) et bf1,n(x) ainsi que
leur normalit´e asymptotique. Les estimateurs, recentr´es et normalis´es par (|Tn|hn)1/2, pr´esentent
un comportement asymptotiquement normal. Si hn = |Tn|−α avec α > 1/(2s + 1), la loi limite
est centr´ee, mais ce choix de fenˆetre ne correspond pas au choix optimal pr´ec´edent. En revanche, si hn = |Tn|−1/(2s+1), la loi limite est d´ecentr´ee par un biais, inconnu, d’expression que nous
explicitons. Pour finir, l’´etude asymptotique est renforc´ee par un principe de d´eviations mod´er´ees portant sur bf0,n(x) et bf1,n(x). La d´emonstration du principe de d´eviations mod´er´ees repose sur une
in´egalit´e de d´eviations, telle celle ´enonc´ee dans le R´esultat3(et les fonctions f0et f1doivent pour
ce r´esultat, pour celui-ci seulement, ˆetre suppos´ees born´ees, afin de satisfaire l’hypoth`ese (22)). La construction d’une proc´edure adaptative en la r´egularit´e s des fonctions d’auto-r´egression pourrait ˆetre envisag´ee via un protocole utilisant des ondelettes adapt´ees au design (voir V. De- louille et R. von Sachs, [DvS05]) ou une m´ethode de type Goldenschluger-Lepski (voir A. Gol- denschluger et O. Lepski [GL11]). Nous pourrons ´egalement g´en´eraliser le mod`ele pour inclure de
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
l’h´et´erosc´edasticit´e via deux fonctions de variance σ0(·) et σ1(·) intervenant dans les ´equations
d’auto-r´egression. Dans le cas d’un processus auto-r´egressif classique (non bifurquant) l’estimation adaptative de la fonction d’auto-r´egression ainsi que celle de la variance sur des espaces de Besov a ´et´e r´ealis´ee par M. Hoffmann [Hof99].
Nous nous int´eressons ´egalement `a l’asym´etrie ´eventuelle entre les ´equations auto-r´egressives et nous proposons un test d’´egalit´e entre f0et f1. Plus pr´ecis´ement, pour x1, . . . , xk points distincts,
nous construisons un test asymptotique visant `a distinguer
H0: ∀l ∈ {1, . . . , k}, f0(xl) = f1(xl) de H1: ∃l ∈ {1, . . . , k}, f0(xl) 6= f1(xl).
L’analyse de la normalit´e asymptotique pr´ec´edente, r´ealis´e minutieusement selon la valeur de la fenˆetre hn, permet de construire ais´ement, en suivant H. J. Bierens [Bie97], deux nouveaux esti-
mateurs, ¯f0,n(x) et ¯f1,n(x) de f0(x) et f1(x), satisfaisant |Tn| s 2s+1 ¯f 0,n(x) − f0(x) ¯ f1,n(x) − f1(x) ! d −→N2 02, Σ2(x),
o`u la matrice de variance-covariance asymptotique Σ2(x) est obtenue explicitement en fonction de
|K|2 la norme L2du noyau K, σ02= E[ε2u0], σ12= E[ε2u1] et % = σ −1 0 σ
−1
1 E[εu0εu1]. La construction
du test est fond´ee sur ces estimateurs et nous obtenons le r´esultat suivant : R´esultat 6. Construisons la statistique de test
Wn(x1, . . . , xk) = |T n| 2s 2s+1 (σ2 0+ σ12− 2σ0σ1%)|K|22 k X l=1 b νn(xl) ¯f0,n(xl) − ¯f1,n(xl) 2 o`uνbn(·) = |Tn|−1Pu∈TnKhn(· − Xu), avec hn = |Tn| −1/(2s+1).
Quand n → ∞, sous H0, Wn(x1, . . . , xk) converge en loi vers la loi du chi-2 `a k degr´es de
libert´e tandis que, sous H1, elle tend presque-sˆurement vers +∞.
Une ´etude par simulations num´eriques montre d’assez bonnes performances, `a la fois pour la proc´edure d’estimation et pour le test propos´e. Une ´etude de la transmission du taux de crois- sance chez la bact´erie E. coli, dans le prolongement des travaux d´ej`a cit´es – [DM10, dSGPM12] par exemple –, semble donc une perspective int´eressante. D’un point de vue th´eorique, il serait au pr´ealable souhaitable de construire un test d’´egalit´e des fonctions d’auto-r´egression sur un inter- valle, et non sur une grille de points. Cela requiert des r´esultats asymptotiques uniformes sur un intervalle.
5 Troisieme partie : etude comparative de populations
Le Chapitre IV, que nous r´esumons ici, s’int´egrant dans l’axe (C), est r´esolument tourn´e vers les applications. Il est consacr´e `a l’´etude d’un probl`eme directement issu de la biologie, formul´e par Lydia Robert (Inra). Les r´esultats que nous obtenons serviront ´egalement `a calibrer des exp´eriences futures.Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation