Description de l’application
Cette application concerne la propagation de modes acoustiques et hydrodynamiques `a l’int´erieur d’un conduit rigide bidimensionnel infini en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme de fluide homog`ene et en l’absence de force ext´erieure, probl`eme pour lequel la solution analytique est connue12.
La configuration trait´ee est la suivante : nous consid´erons une portion de longueur ´egale `a 2 d’un conduit `a parois rigides de hauteur constante l = 1, repr´esent´ee par le domaine Ω =]0, 2[×]0, 1[. Nous d´esignons par Σ = ]0, 2[× {0} ∪]0, 2[× {1} la fronti`ere de Ω correspondant aux parois rigides du conduit et par Σ−= {0} ×]0, 1[
et Σ+ = {2} ×]0, 1[ les fronti`eres “artificielles” du probl`eme. Les conditions aux limites du probl`eme sont
d’une part une condition de paroi rigide sur Σ, se traduisant par la nullit´e du d´eplacement normal `a la paroi :
u · n = 0 sur Σ,
et d’autre part une condition de d´eplacement normal impos´e sur Σ− et Σ+, le mode propag´e ´etant donn´e
par une formule analytique. La r´egularisation de l’´equation n´ecessite par ailleurs une condition aux limites suppl´ementaire sur le rotationnel du d´eplacement :
rot u = ψ sur ∂Ω,
o`u ψ d´esigne le rotationnel du d´eplacement pour le mode impos´e, ´egalement connu analytiquement. Nous supposons enfin que le nombre de Mach M de l’´ecoulement porteur est positif ou nul.
11En effet, cette structure de stockage est particuli`ere, car adapt´ee au fait que la matrice du syst`eme lin´eaire issu de la discr´etisation par ´el´ements finis du probl`eme est, par nature, creuse.
12Nous renvoyons le lecteur `a l’annexe C pour le calcul de modes dans un conduit rigide en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme.
2.6. R´esultats num´eriques 47
Fig. 2.2 – Maillage non structur´e du domaine Ω.
Le maillage utilis´e, non structur´e, est constitu´e de 1928 triangles et repr´esent´e sur la figure 2.2. Les ´
el´ements finis employ´es sont des ´el´ements de Lagrange de type P1. Tous les r´esultats pr´esent´es ont ´et´e
obtenus avec le code m´elina13. Notons qu’en vertu du th´eor`eme 2.2, il existe une infinit´e d´enombrable de fr´equences singuli`eres pour lesquelles il n’y a pas unicit´e de la solution. Ceci se traduit pour le probl`eme approch´e par une pollution fr´equente des r´esultats num´eriques par des solutions du probl`eme homog`ene, qualifi´ees de “modes de cavit´e”, au voisinage des fr´equences singuli`eres. L’utilisation d’´el´ements finis d’ordre plus ´elev´e, comme par exemple les ´el´ements de type P2, ou d’un maillage plus fin permet de r´esoudre cet
inconv´enient. Les effets de la r´egularisation restent n´eanmoins clairement visibles sur les r´esultats qui suivent, ceux-ci ´etant `a l’occasion l´eg`erement parasit´es par des modes de cavit´e.
Modes acoustiques
Le fluide ´etant homog`ene et l’´ecoulement uniforme, nous consid´erons tout d’abord les modes dits acous- tiques, qui sont par d´efinition des solutions `a variables s´epar´ees irrotationnelles de l’´equation de Galbrun ; nous avons par cons´equent ψ = 0 pour ces simulations. Le nombre de Mach ´etant suppos´e positif, on dira qu’un mode acoustique est aval (resp. amont ) s’il se propage dans le sens du vecteur e1(resp. −e1).
Nous traitons tout d’abord le probl`eme sans ´ecoulement. La propagation d’un mode aval plan (mode d’indice n = 0) est present´ee sur la figure 2.3. Nous avons choisi de repr´esenter les parties r´eelles des deux composantes du champ de d´eplacement.
erreur relative en norme L2(Ω)2 erreur relative en norme H1(Ω)2
s = 0 2,7446 10−1 2,5877
s = 1 1,6339 10−2 2,0712 10−2
Tab. 2.1 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2et H1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 0, k = 5, 4 et M = 0.
En l’absence de r´egularisation, les r´esultats se trouvent pollu´es par des solutions `a rotationnel non nul, dont le module est parfois beaucoup plus ´elev´e que celui du mode propag´e (figure 2.3(a)). Ce dernier est par contre obtenu de mani`ere satisfaisante pour une valeur du coefficient de r´egularisation s ´egale `a 1 (figure 2.3(b)). Indiquons que, dans le cas d’un mode plan, la composante selon la direction e2 de la solution est
identiquement nulle. Si cela n’apparaˆıt pas de mani`ere ´evidente sur la figure 2.3(b), les valeurs prises par la solution calcul´ee avec r´egularisation sont n´eanmoins extrˆemement petites, ce parasitage num´erique ´etant tr`es probablement dˆu `a la pr´esence d’un mode de cavit´e. La figure 2.4 illustre la propagation d’un mode d’indice n = 1, ´egalement en l’absence d’´ecoulement. Les conclusions sur les effets de la r´egularisation dans ce cas restent identiques `a celles d´ej`a formul´ees. Nous constatons enfin que la pr´esence d’un ´ecoulement n’am´eliore pas la stabilit´e de la m´ethode d’´el´ements finis pour le probl`eme non r´egularis´e, que la propagation se fasse dans le sens de l’´ecoulement (figure 2.5) ou dans le sens oppos´e (mode amont, figure 2.6).
13Ce code, d´evelopp´e par Daniel Martin (IRMAR, universit´e de Rennes 1) en collaboration avec les chercheurs du groupe laboratoire POems `a l’ENSTA, est disponible `a l’adresse suivante : http://perso.univ-rennes1.fr/daniel.martin/melina/ www/homepage.html.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s = 1).
Fig. 2.3 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 0, k = 5, 4 et M = 0 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
erreur relative en norme L2(Ω)2 erreur relative en norme H1(Ω)2
s = 0 9,295 10−1 6,868
s = 1 4,9969 10−2 5,2882 10−2
Tab. 2.2 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2et H1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 1, k = 7, 7 et M = 0.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s = 1).
Fig. 2.4 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 1, k = 7, 7 et M = 0 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
2.6. R´esultats num´eriques 49
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s = 1).
Fig. 2.5 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 1, k = 4, 6 et M = 0, 3 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
erreur relative en norme L2(Ω)2 erreur relative en norme H1(Ω)2
s = 0 1,369 10−1 1,0845
s = 1 4,961 10−3 1,1727 10−2
Tab. 2.3 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2et H1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 1, k = 4, 6 et M = 0, 3.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s = 1).
Fig. 2.6 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u pour la propagation d’un mode amont d’indice n = 1, k = 4, 6 et M = 0, 3 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
erreur relative en norme L2(Ω)2 erreur relative en norme H1(Ω)2
s = 0 6,4466 10−1 3,5609
s = 1 5,555 10−2 4,1484 10−2
Tab. 2.4 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2 et H1(Ω)2 pour la propagation d’un mode amont d’indice n = 1, k = 4, 6 et M = 0, 3.
Mode hydrodynamique
Nous proc´edons ensuite `a la propagation d’un mode `a rotationnel non nul, dit hydrodynamique. Ce type de mode est `a divergence nulle et se propage `a la vitesse de l’´ecoulement porteur. Les modes hydrodynamiques forment un continuum puisque, pour toute fonction ϕ de l’espace H01([0, l]), o`u l d´esigne la hauteur du conduit
(ici ´egale `a 1), le champ
u(x1, x2) = iM k ϕ 0(x 2) e1+ ϕ(x2) e2 eiMkx1
est celui d’un mode hydrodynamique14. Leur rotationnel, not´e ψ, est alors :
ψ(x1, x2) = i k M ϕ(x2) + M k ϕ 00(x 2) eiMkx1.
Pour les simulations pr´esent´ees sur la figure 2.7, nous avons choisi ϕ(x2) = sin
π lx2
. La solution est donc donn´ee par : u(x1, x2) = iM k π l cos π lx2 e1+ sin π lx2 e2 eiMkx1.
Nous constatons une nouvelle fois la n´ecessit´e de r´egulariser l’´equation pour la r´esoudre au moyen d’une m´ethode d’´el´ements finis nodaux.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s = 1).
Fig. 2.7 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u pour la propagation d’un mode hydrodynamique, k = 2 et M = 0, 3 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
2.6. R´esultats num´eriques 51
erreur relative en norme L2(Ω)2 erreur relative en norme H1(Ω)2
s = 0 7,2725 10−1 2,7778
s = 1 9,547 10−3 2,0791 10−2
Tab. 2.5 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2 et H1(Ω)2pour la propagation d’un mode hydrodynamique, k = 2 et M = 0, 3.
Illustration de l’effet convectif de l’´ecoulement
Nous terminons cette partie consacr´ee aux r´esultats num´eriques par une illustration de l’effet convectif de l’´ecoulement uniforme sur la propagation des ondes acoustiques. Nous avons utilis´e des ´el´ements de Lagrange de type P2 pour ces simulations, afin d’´eviter les probl`emes de pollution num´erique importante caus´ee par
des modes de cavit´e lorsque le nombre de Mach est proche de un.
La propagation d’un mode aval d’indice n = 2, pour une fr´equence fix´ee et pour diverses valeurs du nombre de Mach M est pr´esent´ee sur les figures 2.8 `a 2.10 ; nous observons l’allongement caract´eristique de la longueur d’onde du mode lorsque la vitesse du fluide augmente.
Fig. 2.8 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6, 8 et M = 0 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
Fig. 2.9 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6, 8 et M = 0, 3 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).
Fig. 2.10 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6, 8 et M = 0, 9 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).