Application

Nous abordons `a pr´esent la mise en œuvre pratique de la m´ethode de r´egularisation propos´ee pour un ´

ecoulement uniforme par morceaux et ´etudi´ee dans ce chapitre. Celle-ci nous am`ene `a formuler quelques remarques.

Notons tout d’abord que le calcul effectif de l’int´egrale sur l’interface Γ, dans laquelle apparaissent les sauts de diverses quantit´es, pose plusieurs difficult´es. D’une part, les int´egrands consid´er´es ont des d´efinitions sur le bord du domaine non intrins`eques, car elles font intervenir des d´eriv´ees de la composante du d´eplacement tangentielle `a l’interface par rapport `a la direction de l’´ecoulement, donn´ee ici par le vecteur e1. Ceci conduit

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a des probl`emes conceptuels pour leur impl´<sub>ementation dans le code m´elina, principalement vis-`</sub>a-vis de l’application de la condition de transmission (3.8). On remarque d’autre part que les diff´erents termes de cette int´egrale ont des ordres de grandeur distincts, les expressions des fonctions int´egr´ees faisant notamment apparaˆıtre des puissances des vitesses v0+et v0−de l’´ecoulement porteur. Sans mˆeme envisager un choix de

3.2. ´Ecoulement cisaill´e discontinu 69

valeur pour le param`etre sΓ, ceci peut ´evidemment avoir des cons´equences n´egatives sur le conditionnement

de la matrice obtenue `a l’issue de la discr´etisation du probl`eme par la m´ethode des ´el´ements finis.

Ces deux aspects pratiques semblent donc ˆetre, `a premi`ere vue, autant de freins `a l’´elaboration d’un traitement `a la fois g´en´eral et robuste d’´ecoulements porteurs discontinus par une m´ethode de r´egularisation. Nous avons par ailleurs observ´e a posteriori que, si la formulation variationnelle augment´ee “en volume” (c’est-`a-dire celle obtenue par ajout d’un terme int´egral d´efini sur le domaine Ω+∪Ω−) ´etait bien indispensable

pour le calcul de r´esultats corrects, l’apport du terme int´egral surfacique n’avait pas d’effet appr´eciable. Bien que des ´etudes num´eriques approfondies compl´ementaires restent n´ecessaires pour s’assurer de cette constatation, les r´esultats pr´eliminaires qui suivent ont ´et´e obtenus sans ce terme de surface suppl´ementaire.

Configuration

Nous simulons num´eriquement la propagation de modes guid´es `a l’int´erieur d’un conduit rigide bidimen- sionnel infini et en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme par morceaux d’un fluide homog`ene, l’interface ´etant situ´ee `a mi-hauteur du guide. Comme pour les simulations du chapitre pr´ec´edent, nous consid´erons une portion de longueur ´egale `a 2 d’un conduit de hauteur l constante et ´egale `a 1. Le maillage non structur´e est compos´e de 1968 triangles et nous utilisons des ´el´ements de Lagrange P2.

Les modes propag´es sont irrotationnels dans le volume Ω+∪Ω−, la vorticit´e ´etant concentr´ee sur l’interface

Γ, et de la forme : ξ(x1, x2, t) = u(x1, x2)e−iωt=  iβ ϕ(x2) ϕ0(x2)  ei(βx1−ωt)_{, ∀(x} 1, x2) ∈ Ω+∪ Ω−,

o`u le nombre complexe β d´esigne le nombre d’onde axial du mode choisi, le lecteur ´etant renvoy´e `a la section C.2 de l’annexe C pour l’expression analytique de la fonction ϕ. Il n’existe pas d’expression analytique des constantes de propagation β et les valeurs utilis´ees pour ces exp´eriences ont ´et´e obtenues `a l’aide d’une m´ethode de Newton-Raphson. −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −60 −40 −20 0 20 40 60 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ _◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ _◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Im(β) Re(β)

Fig. 3.2 – Nombres d’ondes axiaux dans le plan complexe, obtenus par une m´ethode de Newton-Raphson, pour le cas k = 4, M−= 0, 1 et M+= 0, 5.

La figure 3.2 repr´esente les constantes d´etermin´ees par cette m´ethode pour une valeur de k ´egale `a 4 et des nombres de Mach valant respectivement M− = 0, 1 dans la couche de fluide inf´erieure et M+ = 0, 5

dans la couche sup´erieure. Les nombres d’onde situ´es sur l’axe r´eel correspondent `a des modes propapatifs, tandis que les deux “branches” de constantes de parties imaginaires non nulles sont associ´ees `a des modes ´

evanescents. Ces deux types de modes sont analogues `a ceux existant lorsque l’´ecoulement porteur est globalement uniforme (voir par exemple la figure 4.3 pour ce cas de figure). Nous observons ici de plus

Fig. 3.3 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ −6, 9719, k = 4, M− = 0, 1 et

M+= 0, 5 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).

Fig. 3.4 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ −3, 9163, k = 4, k = 4, M−= 0, 1 et

M+= 0, 5 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).

deux valeurs du nombre d’onde axial correspondant `a des modes dits “hydrodynamiques”. Une analyse du probl`eme en r´egime transitoire montre que les solutions qui leur sont associ´ees se propagent vers l’aval. Autrement dit, le mode hydrodynamique dont le nombre axial β a une partie imaginaire strictement positive est exponentiellement croissant dans la direction aval et est par cons´equent qualifi´e d’instable. Notons pour terminer cette description que ces deux modes sont confin´es au voisinage de l’interface.

R´esultats num´eriques

Les figures 3.3 `a 3.8 pr´esentent la propagation des modes propagatifs et hydrodynamiques pour le cas k = 4, M−= 0, 1 et M+= 0, 5. Les modes impos´es sont retrouv´es num´eriquement avec moins d’un pour cent

d’erreur, sauf dans le cas des deux modes hydrodynamiques (figures 3.7 et 3.8) pour lesquels nous constatons, apparement, la pr´esence de modes parasites. Nous observons, pour chacun des modes, la discontinuit´e et la continuit´e des composantes du d´eplacement respectivement tangentielle et normale `a l’interface Γ.

Fig. 3.5 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ 1, 6153, k = 4, M−= 0, 1 et M+= 0, 5

3.2. ´Ecoulement cisaill´e discontinu 71

Fig. 3.6 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ 3, 0959, k = 4, M−= 0, 1 et M+= 0, 5

(`a gauche composante u1, `a droite composante u2).

Fig. 3.7 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ 9, 4467 + 6, 0596i, k = 4, M− = 0, 1

et M+ = 0, 5 (`a gauche composante u1, `a droite composante u2).

Fig. 3.8 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ 9, 4467 − 6, 0596i, k = 4, M− = 0, 1