L'un de nos objectifs est de comparer le procédé d'estimation employant une forme fonctionnelle flexible à l'approche paramétrique standard généralement présente dans la littérature pour déterminer s'il est justifié de considérer les splines comme outil potentiel d'estimation des préférences face au risque. Les maximums de vraisemblance sont parfois utilisés (Harrison et al., 2004, Booij et al., 2009, etc.), mais, dans le contexte de nos travaux, nous avons opté pour la méthode des moindres carrés non linéaires en raison de sa simplicité. Nous utilisons pour nos simulations les mêmes informations (nombre d'individus fictifs postulés, fonctions d'utilité réelles, intervalles d'aversion, règles d'arrondissement, etc.) que pour l'approche s'appuyant sur les splines cubiques.
Lorsque nous avons obtenus nos points sur les courbes d'utilité, nous spécifions donc la forme fonctionnelle désirée et nous estimons le paramètre inconnu r à l'aide des moindres carrés non linéaires. Encore une fois, les calculs ont été effectués à l'aide d'Oxmetrics. Le programme utilisé s'appuie sur un processus par itérations pour identifier le meilleur estimateur du paramètre inconnu. Il requiert cependant une valeur de départ que nous devons lui fournir. Les bornes inférieures des intervalles d'aversion au risque ont été utilisées à cette fin. Ainsi, lorsque nous estimons l'aversion relative, la valeur -1 est le point de départ du processus itératif. Dans le cas absolu, il s'agit bien entendu de -0.002. À la fin du processus, nous obtenons une valeur du paramètre inconnu r qui estime le coefficient d'aversion absolue au risque (alors noté ARA*(x)) lorsque nous spécifions la fonction exponentielle ou le coefficient d'aversion relative au risque (alors noté RRA*(x)) lorsque nous spécifions la fonction puissance. Cette estimation peut ensuite être comparée avec la véritable valeur à la base des calculs et avec l'estimation obtenue à l'aide des splines. Lorsque nous procédons à ces comparaisons, nous devons encore une fois distinguer le cas où la véritable fonction d'utilité est connue du cas où elle ne l'est pas.
Dans le premier cas, l'analyse permet de comparer les performances des deux approches en absence d'erreurs de spécification. Pour ce faire, nous comparons les écarts en pourcentage entre les estimations résultant des deux méthodes et les véritables valeurs d'aversion au risque. Dans le cas des splines cubiques, nous utilisons les écarts résultant de la meilleure estimation (moyenne ou ponctuelle) identifiée précédemment. Les écarts en pourcentage entre ARA*(x) et ARA(x) ainsi qu'entre RRA*(x) et RRA(x) résultant de l'approche paramétrique classique pour un individu peuvent être calculés de la même manière que pour la méthode flexible utilisant les splines, (voir les équations 3.9, 3.11, 3.13 et 3.14). Toutefois, puisque nous nous intéressons à un groupe d'individus, nous posons également les équations 3.15 à 3.22 s'appliquant à un nombre m d'individus.
= _ 1 v-""1
AARA(x) = — ) AARAAx) (3.15)
26
1 v
r ARRA(x) = - ) ARRAj(x) (3.16) mz_i;=i AARA(x)= — - > > AARAj(Xi) (3.17) 1 ^ - i T n ^ - , n - l ARRA(x) = — — > > ARRAdXi) (3.18) m ( n - l ) Z _ i; =i Z _ i i= 1 J AARA*(x) = — > A4i?A*(x) (3.19) mZ_i7 = 1 1 V m ARRA*(x) = — > ARRA*(x) (3.20) mZ_-.;=1 ' AiWM*(x)= — - > > \ „ w N X100 (3.21) ARM*(x) = — - > > ' , ; xlOO (3.22) ^ ( n - l ) ^ ! / ! , ^ ! V ««^y(Xi) /Si A4/?i4(Xi) > AJ4/?y4(x) pour la majorité des cas, alors si AARA(x) est inférieur à
AARA*(x) et que ARRA(x) est inférieur à ARRA*(x), les splines cubiques fournissent des estimations plus précises que la méthode paramétrique lorsque la forme de la courbe d'utilité est connue. De même, si AARA(xt) < AARA(x), alors nous parvenons à la même conclusion si
AÀRA(x) est inférieur à AARA*(x) et que ARRA(x) est inférieur à ARRA*(x).
Dans le cas où la fonction d'utilité est inconnue et que nous suspectons que l'imposition d'une fonction non flexible puisse donner lieu à des erreurs de spécification, nous devons, pour tous les agents étudiés, comparer les écarts en pourcentage moyens entre les estimations et les vraies valeurs d'aversion au risque à chacun des points intérieurs des courbes d'utilité normalisées et ce, pour les deux approches. À cette fin, nous n'utilisons que les équations 3.17, 3.18, 3.21 et 3.22. Si AÀRA(x) < AÀRA*(x) et que ARRA(x) < ARRA*(x), alors une approche flexible employant les splines engendre en moyenne moins d'erreurs et pourrait donc être considérée comme meilleur outil d'estimation des préférences face au risque que les procédés paramétriques habituels.
L'exemple suivant illustre une application des formules et du raisonnement à un cas concret. Un individu fictif A, décrit au sous-chapitre précédent, ayant une fonction d'utilité de type exponentielle participe à une expérience basée sur la méthode de l'arbitrage. À la fin de l'expérience, nous obtenons, pour cet individu, une courbe d'utilité normalisée à cinq points. Nous avons déjà mentionné que son aversion absolue au risque est constante et égale à 0.001. Supposons toutefois que nous n'avons pas cette information et que nous nous intéressons à son aversion au risque relative. Une aversion absolue constante implique nécessairement une aversion relative croissante (Si ARA(x) est constant, alors RRA(x) = x • ARA(x) est croissant
en x). Supposons de plus qu'ici, l'aversion relative de l'individu A augmente de sorte qu'elle soit de RRA(xx) = 0.1 au premier point intérieur de la courbe d'utilité, RRA(x2) = 0.3 au
deuxième et de RRA(x3) = 0.6 au troisième. A l'aide de la méthode des splines, nous trouvons,
pour l'individu A, RRA(x1) = 0.2 au premier point, RRA(x2) = 0.35 au deuxième et
RRA(x3) = 0.55 au troisième. L'écart moyen en pourcentage ARRA(x) entre les estimations
ponctuelles et les vraies valeurs d'aversion au risque est donc de 41.67%. Ensuite, nous estimons l'aversion relative à l'aide d'une approche paramétrique. Si nous commettons une erreur de spécification en imposant une forme fonctionnelle de type puissance pour l'utilité, nous obtenons une estimation constante unique pour l'aversion relative sur toute la courbe d'utilité. Supposons que l'estimation obtenue soit RRA*(x) = 0.3. Alors la moyenne des écarts en pourcentage entre cette estimation et les vraies valeurs d'aversion à chacun des trois points intérieurs est ARRA*(x) - 83.33%, soit le double de l'écart obtenu avec les splines. Dans ce cas, ces dernières apparaissent comme un moyen efficace d'éviter ou de diminuer l'ampleur du biais occasionné par une erreur de spécification.
Après avoir étudié les cas où la fonction d'utilité est correctement spécifiée, nous étudions donc les cas où la vraie fonction d'utilité est de forme exponentielle, mais où l'aversion relative est estimée de manière paramétrique en spécifiant une fonction de type puissance ainsi que les cas où la vraie fonction est de type puissance, mais où l'aversion absolue est estimée de manière paramétrique en spécifiant une fonction de type exponentielle. Rappelons que lorsque nous étudions l'aversion relative, la fonction exponentielle présente des propriétés IRRA et que lorsque nous étudions l'aversion absolue, la fonction puissance exhibe des caractéristiques DARA. Spécifier des fonctions retournant des coefficients d'aversion au risque constants dans les deux cas engendrera donc nécessairement des erreurs de spécification. En comparant les écarts en pourcentage entre les estimations obtenues dans ce contexte et les véritables valeurs d'aversion au risque aux points intérieurs des courbes d'utilité normalisées avec les écarts en pourcentage résultants de la démarche utilisant les splines cubiques, nous serons en mesure de déterminer si l'emploi de celles-ci peut être avantageux pour éviter les biais résultant d'erreurs de spécification.