Estimation de l’image du r´esidu

a restaurer. (b) Identification par○ des pixels `a traiter pour l’´etape en cours. (c) Passage de la

convolution sur le pixel marqu´e par ×. (d) Mise `a jour des marqueurs.

´etape, nous allons estimer la valeur d’un pixel `a restaurer `a partir de la moyenne des pixels

marqu´es (figure 2.13 (c)).

Cette simple m´ethode permet une r´egularisation de l’image en un seul passage (pas

de traitement it´eratif sur l’image dans son ensemble). Par contre, l’image produite n’est

pas encore compatible avec une transform´ee en ondelettes s´eparable consid´erant le signal

comme p´eriodique. En effet, dans la d´emarche de la transform´ee, le but de l’ensemble

associ´e `a un contour est de ne contenir qu’une seule singularit´e correspondant au contour.

Si nous appliquons une transform´ee en ondelettes s´eparables 2D sur l’image 2.12 (b),

nous aurons une fronti`ere aussi marqu´ee au bord de l’image qu’au niveau du contour.

Pour rem´edier `a ce probl`eme, nous allons sym´etriser la zone.

Si nous reprenons le r´esultat 2.12 (b) et que nous le sym´etrisons (figure 2.14) nous

nous assurons qu’aucune singularit´e n’´emerge au niveau de la fronti`ere lors du traitement

p´eriodique de l’ensemble. Nous pouvons donc `a partir de tous ces traitements construire

l’ensemble des coefficients de bandelettes par l’application de la transform´ee en ondelettes

s´eparables 2D.

Il nous reste, pour garantir une reconstruction parfaite de l’image, `a d´efinir la notion

de r´esidu.

2.1.5 Estimation de l’image du r´esidu

Afin de prendre en charge les pixels qui ne sont pas directement repr´esent´es par les

coefficients de bandelettes, la premi`ere ´etape consiste `a estimer une image uniquement `a

partir des coefficients de bandelettes. Nous utilisons encore une fois la m´ethode

d’inpain-ting que nous venons de d´efinir pour combler la zone externe de nos pixels de bandelettes.

Par contre, comme la propagation de l’information ne se fait plus dans une boite

englo-bante isol´ee mais plutˆot dans une image dont le support correspond `a l’image initiale,

nous allons confronter la propagation de l’information des diff´erentes bandes. Nous allons

donc appliquer un traitement suppl´ementaire pour nous assurer de la r´egularit´e globale

de l’image.

CHAPITRE 2. TRANSFORM´EE EN BANDELETTES PREMI`ERE G´EN´ERATION

A A A A B C B C B C B C

Figure 2.14: Donn´ee sym´etris´ee.

(a) (b)

Figure 2.15: Estimation de l’image Metaballs uniquement `a partir des pixels cod´es par les

coefficients de bandelettes. (a) Pixels cod´ees par les coefficients de bandelettes. (b) Image estim´ee

avec la m´ethode de restauration utilis´ee pour les zones de contours (voir figure 2.12).

CHAPITRE 2. TRANSFORM´EE EN BANDELETTES PREMI`ERE G´EN´ERATION

Nous appliquons dans un premier temps la m´ethode de propagation de l’information

propos´ee pour les bandes dans les boites englobantes. La figure 2.15 est un exemple de

r´esultat sur l’estimation de l’image Metaballs par diffusion de l’information des bandes

cod´ees par les coefficients de bandelettes. Nous constatons que la propagation, produit

des singularit´es.

Pour r´egulariser cette image, nous allons utiliser directement l’outil que nous avons

`a disposition (i.e. la transform´ee en ondelettes s´eparables 2D). Le processus it´eratif de

r´egularisation sera ici obtenu par la r´ep´etition de deux phases : mise `a jour des pixels

de bandelettes (pixels que codent les coefficients de bandelettes) puis suppression de

cer-tains coefficients d’ondelettes. La suppression des coefficients de bandelettes permet de

r´egulariser l’image en supprimant ses d´etails. Comme elle supprime ´egalement les d´etails

contenus dans les pixels de bandelettes, nous r´einitialisons la valeur de ces pixels.

Nous nous sommes inspir´es de l’inpainting par ´equation aux d´eriv´ees partielles

uti-lisant un processus multi-´echelle que nous pouvons retrouver par exemple dans la th`ese

de Bourdon P. [10]. Nous ´eliminons d’abord tous les coefficients d’ondelettes jusqu’`a une

´echelle N et it´erons le processus jusqu’`a une certaine stabilisation (l’´evolution de

l’es-timation mesur´ee en terme d’´energie descend en dessous d’un certain seuil). Une fois

cette stabilisation obtenue nous passons `a l’´echelle N−1, c’est `a dire que nous ´eliminons

tous les coefficients d’ondelettes jusqu’`a cette ´echelle et it´erons jusqu’`a stabilisation. Nous

continuons ce processus jusqu’`a l’´echelle 1.

(a) (b)

Figure 2.16: Estimation de l’image Metaballs uniquement `a partir des pixels cod´es par les

coefficients de bandelettes. (a) Image originale. (b) L’image estim´ee `a partir des coefficients de

bandelettes.

Nous voyons dans la figure 2.16 avec l’image (a) l’ensemble des pixels cod´es `a partir

des coefficients de bandelettes. Les pixels qui ne sont pas associ´es `a un contour sont donc

”restaur´es” en obtenant une estimation de l’image Metaballs `a partir de ses coefficients

de bandelettes : image (b) de la figure 2.16.

Une fois cette estimation obtenue nous pouvons traiter efficacement le reste de

l’infor-mation. En effet, de par l’estimation de l’image, les coefficients de bandelettes repr´esentent

CHAPITRE 2. TRANSFORM´EE EN BANDELETTES PREMI`ERE G´EN´ERATION

la majeure partie de l’information basse fr´equence de l’image plus l’information haute

fr´equence des zones de bandelettes. Les d´etails de l’image qu’il reste `a coder seront pris

en charge `a partir de l’image de r´esidu. Elle correspond `a la diff´erence entre l’image

es-tim´ee et l’image initiale. Les coefficients d’ondelettes de l’image de r´esidu ne code plus que

l’information haute fr´equence des zones externes aux zones de bandelettes et une faible

partie de l’information basse fr´equence toujours dans les zones externes. L’exemple que

nous proposons `a la figure 2.16 permet de construire une image de r´esidu dont l’´energie

correspond `a 0.227% de l’´energie de l’image initiale.

La transform´ee est donc associ´ee aux donn´ees suivantes :

– Les informations de contours : positions de d´epart et codes de Freeman.

– Les coefficients de bandelettes.

– Les coefficients d’ondelettes du r´esidu.

Nous allons maintenant reprendre les diff´erentes ´etapes pour d´efinir la proc´edure

per-mettant, `a partir de ces donn´ees, la reconstruction de l’image initiale.

Dans le document Ondelettes géométriques adaptatives : vers une utilisation de la distance géodésique (Page 50-53)