Construction du graphe non orient´e

A noter qu’en passant `a un graphe non orient´e nous sommes pass´es de l’ensemble A

des arcs `a l’ensembleE des arˆetes.

Pour obtenir la distance g´eod´esique entre deux sommets du graphe, nous devons donc

obtenir un graphe non orient´e. Se pose alors la question de ce qu’implique le passage

d’un ensemble d’arcs `a un ensemble d’arˆetes pour le graphe dans son ensemble : quelles

implications a ce passage pour le comportement de la distance g´eod´esique.

3.4.2 Construction du graphe non orient´e

Nous allons proposer deux strat´egies simples de construction d’un graphe orient´e

sym´etrique qui seront suivis d’une discussion sur les cons´equences de cette sym´etrisation.

Nous avons vu `a la section 3.4.1 ce que nous entendons par graphe sym´etrique : le graphe

devient au final un graphe strict, non orient´e, valu´e. Les valeurs associ´ees aux arcs sont

les distances euclidiennes entre les ´el´ements de S correspondant aux extr´emit´es de l’arc.

Donc, si ils existent dans le graphe orient´e, deux arcs de mˆemes extr´emit´es et

d’orien-tations oppos´ees, ont n´ecessairement la mˆeme valeur. Ceci simplifie la construction du

graphe non orient´e `a partir du graphe orient´e puisqu’il nous suffit, soit de compl´eter

chaque arc par son arc associ´e d’orientation oppos´ee avec la mˆeme valeur, soit de

sup-primer les arcs qui dans le graphe ne sont pas associ´es `a un arc oppos´e. Nous proposons

quelques cas de figures pour montrer les cons´equences de ces traitements sur la distance

que nous obtiendrons par la suite.

Dans le cas d’´el´ement au milieu d’une zone uniforme, la sym´etrisation ne change pas

le graphe orient´e. La figure 3.8 illustre ce cas o`u l’on constate que le graphe (form´e `a

partir des 2 plus proches voisins) est d´ej`a un graphe orient´e sym´etrique et ne devrait donc

pas changer. Ce cas de figure devrait ˆetre fr´equent dans le cadre des images naturelles

puisqu’elles sont constitu´ees essentiellement de zones uniformes.

CHAPITRE 3. ONDELETTES ET DISTANCE G´EOD´ESIQUE

Figure 3.8: Configuration de graphe orient´e (2 plus proches voisins) d’un signal 1D, pour

l’´echantillon● dans une zone uniforme.

(a) (b) (c)

Figure 3.9: Configuration de graphe orient´e (a) pour l’´echantillon ● isol´e dans une zone

uni-forme. La sym´etrisation (b) par ajout d’arcs ne modifie pas les composantes connexes du graphe

alors que la sym´etrisation (c) par suppression d’arcs va isoler l’´el´ement dans une composante

connexe.

Par contre, dans le cadre d’´el´ements isol´es (figure 3.9), nous constatons que l’utilisation

de la sym´etrisation apporte des r´eponses diff´erentes suivant que l’on utilise l’ajout ou la

suppression d’arcs. Nous constatons par exemple que dans le cadre de la sym´etrisation

par ajout, l’´el´ement isol´e (valeur ´eloign´ee des ´el´ements proches en ce qui concerne le

maillage) se retrouve associ´e aux ´el´ements de la zone uniforme alors que dans le cadre

de la sym´etrisation par suppression d’arcs ce mˆeme ´el´ement se retrouve isol´e. `A noter

que ce genre de configuration de sommets sans arcs ne pose aucun probl`eme : toutes les

distances g´eod´esiques que l’on pourrait mesurer impliquant ce sommet seront infinies.

Cette configuration synth´etique peut ˆetre vue comme une illustration du comportement

du traitement face `a des ´el´ements dans une zone bruit´ee. Dans une zone bruit´ee tous

les ´el´ements sont diff´erents. Il y a donc une forte probabilit´e que nous soyons confront´es

au mˆeme type de configuration de sommets qui, apr`es sym´etrisation, n’ont plus du tout

d’arcs incidents (arcs partant d’un autre sommet que ● et pointant ●).

La figure 3.10 repr´esente un dernier cas ou deux zones uniformes se retrouvent isol´ees

par l’application de la construction du graphe de 2 plus proches voisins. La sym´etrisation,

qu’elle soit par ajout (b) ou par suppression (c) changera effectivement l’ensemble de

d´epart. Pour autant, l’influence de ce changement sera ´equivalent `a la zone uniforme de

la figure 3.8 : il n’y a pas de changement des composantes connexes du graphe. Ce cas de

figure correspond en fait `a nos fameuses singularit´es d’une image r´eelle que nous cherchons

`a prendre en compte avec notre graphe : la sym´etrisation n’aura donc pas une influence

CHAPITRE 3. ONDELETTES ET DISTANCE G´EOD´ESIQUE

(a) (b) (c)

Figure 3.10:Configuration de graphe orient´e (a) pour deux ensembles d’´echantillons dissoci´es.

Dans les deux cas (ajout (b) ou suppression (c) d’arcs) la sym´etrisation change la configuration

du graphe, mais ne change pas de mani`ere significative les distances impliqu´ees (pas d’apparition

de distances infinies suppl´ementaires).

trop importante sur cette prise en compte.

Toutes ces illustrations introduisent un aspect important de la prise en compte d’un

voisinage diff´erent lors de l’´etude d’un signal : la topologie que nous construisons remet

en cause la connexit´e de l’ensemble. Ramen´e au graphe repr´esentant cette topologie, la

connexit´e s’exprime de la fa¸con suivante :

D´efinition 3.4.8 Un grapheG est connexe si quelques soient deux sommets de ce graphe

ils sont reli´es par une chaˆıne.

Elle introduit ´egalement la notion de composantes connexes :

D´efinition 3.4.9 Les composantes connexes d’un graphe G sont les sous-graphes

en-gendr´es connexes maximaux (sous-graphes connexes de cardinal maximum).

Suivant ces deux d´efinitions (3.4.8) et (3.4.9) il apparaˆıt donc que, dans les cas (b)

et (c) de la figure 3.10, les deux op´erations ne changent pas la connexit´e puisqu’il existe,

apr`es sym´etrisation, toujours des chemins pour lier chaque partie uniforme des deux cˆot´es

de la singularit´e.

Par contre dans le cas de l’´echantillon isol´e (figure 3.9) nous constatons que l’ajout

d’arcs (b) conserve la connexit´e puisqu’il existe toujours une chaˆıne associant le sommet

de l’´echantillon isol´e aux autres sommets du graphe alors que dans le cas de la suppression

d’arc (c), l’op´eration supprime la possibilit´e de construire une chaˆıne allant d’un sommet

du graphe vers le sommet de l’´echantillon isol´e.

Ce changement de connexit´e am`ene donc la construction de nouvelles composantes

connexes. Illustr´ee sur un ´el´ement isol´e, cette d´econnexion peut ´egalement s’op´erer sur

CHAPITRE 3. ONDELETTES ET DISTANCE G´EOD´ESIQUE

d´epend uniquement d’arcs qui n’ont pas d’´equivalent dans la direction oppos´ee lors de la

suppression par sym´etrisation. Cette apparition de composantes connexes am`ene

l’appari-tion de distances infinies entre ´el´ements de composantes diff´erentes. Cette distance infinie

est la cons´equence la plus marquante du comportement tr`es particulier des distances

g´eod´esiques par rapport `a la distance euclidienne : les distances g´eod´esiques ne d´ependent

pas seulement des deux ´el´ements impliqu´es dans la distance mais bien de l’ensemble des

´el´ements de la vari´et´e. En d’autres termes, la distance n’est pas uniquement fonction des

deux ´el´ements mesur´es mais bien d’une configuration plus globale de l’ensemble ´etudi´e

par rapport `a ces deux ´el´ements. C’est ce comportement que nous cherchons `a mettre `a

profit pour la prise en compte de la g´eom´etrie de l’image (la configuration plus globale de

l’ensemble ´etudi´e) dans notre transform´ee en ondelettes g´eom´etriques adaptatives.

Le choix entre l’ajout ou la suppression d’arcs pour la sym´etrisation du graphe d´epend

donc de l’application ; selon que nous voulons profiter de la cr´eation de composantes

connexes amplifiant l’isolement de certains ´echantillons ou plutˆot que nous souhaitons

conserver les composantes connexes initiales. Dans notre cas nous avons opt´e pour la

sym´etrisation du graphe par suppression d’arcs sans ´equivalent dans la direction oppos´ee

car nous souhaitons profiter de la remise en cause de la connexit´e pour mettre en valeur

les singularit´es de l’image.

Nous avons donc `a partir de cette ´etape un graphe orient´e, sym´etrique, valu´e (en

respectant la sym´etrie arc par arc), strict. Il n’est plusk-r´egulier puisque nous supprimons

les arcs sans prendre en compte la conservation d’un nombre fixe d’arcs par sommet. Nous

allons montrer comment, `a partir de ce graphe, nous pouvons construire le plus court

chemin s’appuyant sur la valeur des arcs et ainsi obtenir notre distance g´eod´esique.

Dans le document Ondelettes géométriques adaptatives : vers une utilisation de la distance géodésique (Page 98-101)