Estimateur `a noyau

Nous pr´esentons ici une technique permettant de construire un estimateur non param´etrique de la densit´e spectrale, l’estimateur `a noyau. Cette approche, qui effectue un lissage du p´eriodogramme en fr´equence, exploite les propri´et´es du p´eriodogramme que nous avons mises en ´evidence dans le

0

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

n = 1024

π

Fig. 3.5 – P´eriodogramme en dB pour un AR(2) de param`etres[1,−1,0.9]et σ²= 1calcul´e surn= 1024´echantillons, en fonction de la fr´equenceλ∈(0, π).

La courbe en pointill´e donne le seuil de confiance `a90%.

paragraphe pr´ec´edent. Nous supposons dans toute cette partie que {X_t} est un processus lin´eaire fort, satisfaisant les conditions d’applications du th´eor`eme 3.4.

D’apr`es le th´eor`eme 3.4, `a la limite des grands ´echantillons, les coordonn´ees du p´eriodogramme aux fr´equences de Fourierλ_k= 2πk/nsont des variables d´ecorr´el´ees d’´ecart typeσ²|ψ(e^−iλk)|²/(2π).

La fonctionλ→ |ψ(e^−iλ)|² est continue, elle varie donc “peu” sur de “petits” intervalles de fr´equence.

Ceci sugg`ere de construire un estimateur de la densit´e spectrale `a la fr´equence λ en moyennant les coordonn´ees du p´eriodogramme aux fr´equences de Fourier dans un “voisinage” de la fr´equenceλ.

Nous appelons un noyau une fonction W :R→R⁺ satisfaisant les propri´et´es suivantes : – W(u) = 0 pour|u|>1,i.e.le noyau a un support compact

– R₁

−1W(u)du= 1 etR₁

−1uW(u)du= 0,

– W est deux fois continˆument diff´erentiables et W⁰(−1) = lim_u→−1⁺W⁰(u) = 0 et W⁰(1) = lim_u→1−W⁰(u) = 0.

Soit{b_n}_n≥0 une suite d´ecroissante au sens large de r´eels positifs, satisfaisant

n→∞lim b_n= 0. (3.9)

Nous consid´erons l’estimateur `a noyau de la densit´e spectrale, d´efini par fˆ_n^X(λ) = 2π

nb_n Xn

k=1

W £

b⁻¹_n (λ−λ_k)¤

I_n^X(λ_k). (3.10)

Le param`etre b<sub>n</sub> est appel´elargeur de bande, i.e. en modifiant b<sub>n</sub> nous agissons sur la ”largeur” du noyau b<sup>−1</sup><sub>n</sub> W(b<sup>−1</sup><sub>n</sub> ·). Nous allons, de fa¸con informelle, caract´eriser la fa¸con dont le param`etreb_n influe

sur la qualit´e de l’estimateur et essayer de d´eduire de ce comportement heuristique, des proc´edures permettant de choisir de mani`ere automatique ce param`etre. Nous allons tout d’abord ´etudier le biais de cet estimateur, `a savoir la diff´erence entre la moyenne de l’estimateurE

hfˆ_n^X(λ) i

etf_X(λ), `a une fr´equence λ 6= 0, π (mod) 2π (pour traiter ces valeurs limites, il conviendrait d’utiliser d’autres noyaux). En utilisant le th´eor`eme 3.3, nous savons queE£

I_n^X(λ_k)¤ Ceci montre que lim_n→∞E

hfˆ_n^X(λ) i

= f(λ), i.e. fˆ_n,b(λ) est un estimateur asymptotiquement sans biais de la densit´e spectralef(λ). Pour comprendre de fa¸con plus pr´ecise la fa¸con dont le biais d´epend de la largeur de bande b_n, nous supposons dans la suite que la densit´e spectrale f_X est deux fois continˆument diff´erentiable. Nous avons donc, pour toutλ∈[−π, π] etν ∈[−1,+1], ce qui montre que le biais de l’estimateur ˆf_n^X(λ) est une fonction qui croˆıt comme le carr´e de la largeur de bande b_n et qui est proportionnelle `a la d´eriv´ee seconde de la densit´e spectrale en λ. Notons que comme nous avons suppos´e que le noyau a exactement un moment nul,R₁

−1νW(ν)dν = 0, le biais ne d´epend pas de la d´eriv´ee de la densit´e spectrale f⁰(λ) en λ. Il est facile de voir qu’il est possible de r´eduire le terme de biais en consid´erant des noyaux d’ordre sup´erieur.

Pour comprendre les performances de cet estimateur de la densit´e spectrale, nous allons ´evaluer son biais et sa variance. Pour simplifier l’analyse, nous supposerons dans la suite que la fonction λ → |ψ(e^−iλ)|² est trois fois diff´erentiable sur [−π, π] et que la d´eriv´ee troisi`eme est born´ee. En utilisant les r´esultats du th´eor`eme 3.3 nous avons :

E deux fois continˆument diff´erentiables, nous avons, pour|k| ≤m,

f_X(g(n, λ) + 2πk/n) =f_X(g(n, λ)) +f_X⁰ (g(n, λ)(2πk/n) + (1/2)f_X⁰⁰(g(n, λ)(2πk/n)²+R_k,m,n

o`u R_k,m,n ≤ cmax|f_X⁰⁰⁰(λ)|(m/n)³ pour |k| ≤ m. Comme la fenˆetre de pond´eration est sym´etrique,

et o`u|R_m,n| ≤cmax|f_X⁰⁰⁰(λ)|(m/n)³. En prenant par exemple la fenˆetre de pond´eration rectangulaire, nous avonsW_m,n ∝m²/n² ce qui montre que le biais de l’estimateur varie comme le carr´e du nombre de points de fr´equence pris en compte dans le calcul de la moyenne pond´er´ee. Le calcul de la variance de cet estimateur s’´ecrit :

E

|k|≤mW_m,n² (k)(m/n). On voit ici que la troisi`eme des conditions (??) assure que la variance tend vers 0 quand n tend vers l’infini. En s’appuyant encore sur l’exemple de la fenˆetre rectangulaire, nous avons Wf<sub>m,n</sub> ∝ 1/m ce qui montre que la variance de l’estimateur est inversement proportionnelle au nombre de points pris en compte dans le calcul de la moyenne locale. En conclusion dans le cas d’une fenˆetre rectangulaire, le param`etrem(qui d´etermine le nombre de coordonn´ees de p´eriodogramme moyenn´ees) a un effet n´efaste pour le biais et b´en´efique pour la variance de l’estimateur. Le risque quadratique de l’estimateur (qui prend en compte ces deux effets) a pour expression :

Il est naturel de choisir le param`etre m de fa¸con `a minimiser l’erreur quadratique moyenne. Dans le cas o`u W_m,n(k) = 1/(2m+ 1), cette optimisation peut ˆetre effectu´ee de fa¸con explicite. Une autre fenˆetre couramment utilis´ee est la fenˆetre triangulaire d´efinie par :

W_m,n(k) =

Elle v´erifie les conditions (??) et pr´esente l’avantage d’assurer au spectre estim´e d’ˆetre positif. Les r´esultats obtenus avec la fenˆetre rectangulaire ont un caract`ere g´en´eral : l’utilisation de fenˆetre de pond´eration permet d’obtenir un risque qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Ce r´esultat s’ac-compagne en g´en´eral d’un biais asymptotiquement non nul. En r`egle g´en´erale, la valeur de m, qui d´etermine la largeur de la fenˆetre, doit tendre vers l’infini, quand n → +∞, mais suffisamment len-tement pour que le rapportn/m tende aussi vers l’infini. Il faut donc ajouter aux conditions (??) la condition suivante :

m(n)→ ∞ etm(n)/n→0 quandn→ ∞ Typiquement on auram(n) =n^α avec 0< α <1.