Nous allons voir que, dans le cadre des variables al´eatoires de carr´e int´egrable, l’esp´erance condi-tionnelle par rapport `a une sous-tribu B est la projection orthogonale sur l’ensemble des variables al´eatoires de carr´e int´egrable qui sont B-mesurables. Ainsi E[X|Y] peut ˆetre vue comme la fonction deY qui fournit la meilleure pr´ediction quadratique deX. En g´en´eral cette fonction n’est paslin´eaire de Y sauf dans le mod`ele gaussien. Nous allons tout d’abord donner une d´efinition ´el´ementaire de l’esp´erance conditionnelle `a partir d’´ev´enements simples, puis nous ´etendrons cette d´efinition aux variables al´eatoires de carr´e int´egrable. Enfin nous donnerons une d´efinition plus g´en´erale pour les variables al´eatoires posotives ou int´egrables.
Construction ´el´ementaire
Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit B ∈ F un ´ev´enement tel que P(B) >0 etA∈ F un autre ´ev´enement. On appelleprobabilit´e conditionnellede A sachantB la quantit´e :
P(A|B) = P(A∩B) P(B)
En notant IA la variable al´eatoire qui vaut 1 si ω ∈ A et 0 sinon (indicatrice de A), on peut alors
que l’on note E[IA|B]. En g´en´eralisant cette expression `a toute variable al´eatoire X int´egrable, on d´efinit l’esp´erance conditionnellede X sachantB par la quantit´e :
E[X|B] = 1 P(B)
Z
B
XdP
L’esp´erance conditionnelle E[X|B] repr´esente l’esp´erance de la variable al´eatoire X sachant que l’´ev´enementB s’est r´ealis´e.
Exemple A.5
SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dans l’ensemble des entiers naturelsN. La loi deX est sp´ecifi´ee par la donn´ee des probabilit´espk =P(X=k), pourk∈N. La moyenne deX est donn´ee parE[X] =P
k∈Nkpk. Consid´erons l’´ev´enement B ={X ≥k0}. Nous avons P(B) =P
k≥k0pk que nous supposerons non nul par hypoth`ese. L’esp´erance conditionnelle deX sachantB est donn´ee par :
E[X|B] = 1
Consid´erons maintenant la tribu B={∅,Ω, B, Bc}(c’est-`a-dire la plus petite tribu contenantB).
On appelle l’esp´erance conditionnelle de X sachant la tribu B la variable al´eatoire, not´ee E[X|B] et d´efinie par :
E[X|B] =E[X|B]IB+E[X|Bc]IBc
Cette variable al´eatoire prend, suivant le r´esultat de l’exp´erience, soit la valeurE[X|B] soit la valeur E[X|Bc]. De fa¸con plus g´en´erale, si{Bk, k≥0}d´esigne une famille d’´ev´enements formant une partition de Ω et telle que P(Bk)>0 et si B est la plus petite tribu engendr´ee par ces ´ev´enements, on d´efinit l’esp´erance conditionnellede X sachantB par la variable al´eatoire :
E[X|B] =X
k≥0
E[X|Bk]IBk (A.6)
On remarque que la variable al´eatoire E[X|B] est B-mesurable et que, pour tout B ∈ B, R
BE[X|B]dP =R
BXdP. On a donc la caract´erisation suivante :
Proposition A.12. L’esp´erance conditionnelle de la variable al´eatoire X sachant la tribu B est l’unique variable al´eatoire E[X|B] qui soitB-mesurable et telle que, pour tout B∈ B, on ait :
Z
D’apr`es l’´equation (A.7), on remarque que, pour tout B ∈ B, on a : Z
Ω
(E[X|B]−X)IBdP= 0 et donc que toute variable al´eatoireB-mesurable de la formeY =P
k≥0ykIBk (o`uyk est une suite de r´eels),E[(E[X|B]−X)Y)] = 0.
Esp´erance conditionnelle pour les variables al´eatoires de carr´e int´egrable
Le th´eor`eme A.12, qui suit, g´en´eralise la notion pr´ec´edente d’esp´erance conditionnelle aux variables al´eatoires de carr´e int´egrable. Ce th´eor`eme est la cons´equence directe de la structure Hilbertienne de l’ensembleL2(Ω,B,P) des variables al´eatoires de carr´e int´egrable et du th´eor`eme 4.2 de projection.
Th´eor`eme A.12. Soit {Ω,F,P} un espace de probabilit´e et B ⊂ F une sous-tribu de F. On note L2(Ω,F,P) (resp. L2(Ω,F,P)) l’espace des variables al´eatoires F-mesurables (resp. B-mesurables) de carr´e int´egrable. Soit X une variable al´eatoire de L2(Ω,F,P). Alors il existe une unique va-riable al´eatoire appartenant `a L2(Ω,B,P), not´ee E[X|B] et qui v´erifie simultan´ement, pour tout Y ∈L2(Ω,B,P), les deux relations suivantes :
kX−E[X|B]k2≤ kX−Yk2 (A.8)
(X−E[X|B], Y) = 0 (A.9)
Remarquons, que, siB est une sous-tribu deF, l’espaceL2(Ω,B,P) est un sous-espace lin´eaire de L2(Ω,F,P), ferm´e par application de la proposition A.10. Nous pouvons donc appliquer le th´eor`eme de projection. Le th´eor`eme A.12 donne un sens `a l’esp´erance conditionnelle pour des variables al´eatoires de carr´e int´egrable. Pour ´etendre cette d´efinition aux variables al´eatoires positives et/ou int´egrables, nous avons besoin du lemme ´el´ementaire d’unicit´e suivant :
Lemme A.5. Soient X et Y deux variables al´eatoires B-mesurables toutes deux positives ou toutes deux int´egrables v´erifiant, pour toutB ∈ B :
Z
B
XdP≥ Z
B
Y dP(resp. =) Alors,X ≥Y (resp. =) P-p.s.
Th´eor`eme A.13. Soit X une variable al´eatoire positive (resp. int´egrable). Il existe une variable al´eatoireY positive (resp. int´egrable) B-mesurable, telle que, pour toutB ∈ B, on ait :
Z
B
XdP= Z
B
Y dP
Cette variable est unique `a une ´equivalence pr`es.
D´emonstration. L’unicit´e d´ecoule du lemme A.5. Montrons l’existence. On suppose tout d’abord que X≥0. Pourn∈N, d´efinissonsXn=X∧n:= min(X, n).Xn∈L2(Ω,F,P), et il existe donc une v.a.
Yn≥0,B-mesurable, unique `a une ´equivalence pr`es, telle que, pour toutB ∈ B, on ait : Z
B
XndP= Z
B
YndP
Par application de A.5,YnestP-p.s. une suite positive et croissante. En effet, pour toutB ∈ B, on a : Z
B
Yn+1dP= Z
B
Xn+1dP≥ Z
B
XndP= Z
B
YndP
D´efinissons Y = lim↑ Yn. Y est B-mesurable, et par application du th´eor`eme de Beppo-Levi, pour
Notons que, siX est int´egrable, alorsY l’est aussi (prendreB = Ω). Pour ´etendre le r´esultat au cas int´egrable, nous allons prouver que, pourX, Y deux v.a. positives int´egrables, et pour a, b∈R, nous avons (lin´earit´e de l’esp´erance conditionnelle) :
E[aX+bY|F] =aE[X|F] +bE[Y|F] conditionnelle pour les variables al´eatoires positives et la lin´earit´e de l’esp´erance conditionnelle. ¥ Proposition A.13. On note L1(Ω,F,P) l’ensemble des variables al´eatoires int´egrables d´efinies sur l’espace de probabilit´e{Ω,F,P}. On note B une sous-tribu de F.
1. Pour tout couple de variables al´eatoires X, Y ≥0 (resp. ∈ L1(Ω,F,P)) et pour tout couple de
4. Pour toute variable al´eatoireX ∈L1(Ω,F,P)et toute variable al´eatoireY born´ee etB-mesurable, on aE[(X−E[X|B])Y] = 0.
La proposition, qui suit, regroupe des propri´et´es essentielles de l’esp´erance conditionnelle.
Proposition A.14. On note L1(Ω,F,P) l’ensemble des variables al´eatoires int´egrables d´efinies sur {Ω,F,P}.
1. Soit G la tribu grossi`ere : G = {Ω,∅}. Alors, pour tout X ≥ 0 (ou X ∈ L1(Ω,F,P)), on a E[X|G] =E[X].
2. Soit A ⊂ B deux sous-tribus de F. Alors, pour toute variable al´eatoire X ≥ 0 (ou X ∈ L1(Ω,F,P)), on a :
E[E[X|B]|A] =E[X|A]
3. SoitX≥0(ouX ∈L1(Ω,F,P)) une variable al´eatoire ind´ependante deBalors on a E[X|B] = E[X].
4. Soit X ≥ 0 (ou X ∈ L1(Ω,F,P)) et Y ≥ 0 (ou Y ∈ L1(Ω,F,P)) une variable al´eatoire B-mesurable, alors on a E[XY|B] =YE[X|B].
D´emonstration. Les fonctions mesurables par rapport `a la tribu grossi`ere sont les fonctions constantes.
Or, pour toutB ∈ G (B =∅ou B = Ω), on a : Z
B
E[X]dP= Z
B
XdP
et donc la fonction constanteE[X] v´erifie (A.7), ce qui prouve le point (1). Prouvons maintenant (2).
Soit Y une variable al´eatoire A-mesurable born´ee. Notons que A ⊂ B implique que Y est aussi B-mesurable. Par cons´equent, par d´efinition de l’esp´erance conditionnelle appliqu´ee `a la variable al´eatoire Z =E[X|B], on a successivement :
E[E[Z|A]Y] =E[ZY] =E[XY] =E[E[X|A]Y]
et donc, pour toute variable al´eatoireY qui estA-mesurable born´ee, on aE[E[Z|A]Y] =E[E[X|A]Y].
Ce qui entraˆıne que les deux variables al´eatoiresA-mesurables E[Z|A] et E[X|A] co¨ıncident, ce qui prouve (2). Soit maintenant X une variable al´eatoire ind´ependante de B. Alors, par d´efinition de l’ind´ependance, pour toute variable al´eatoireY qui estB-mesurable born´ee, on aE[XY] =E[X]E[Y].
On en d´eduit que :
E[E[X|B]Y] =E[XY] =E[X]E[Y] =E[E[X]Y]
ce qui prouve (3). Consid´erons finalement (4). On a, pour toute variable al´eatoire Z born´ee B-mesurable :
E[E[XY|B]Z] =E[Y XZ] =E[(E[Y|B]X)Z]
la derni`ere ´egalit´e est justifi´ee puisque XZ est B-mesurable. Comme la variable al´eatoire E[Y|B]X est elle-mˆeme B-mesurable, elle s’identifie `aE[XY|B]. Ce qui prouve (4). ¥ Proposition A.15. Les propri´et´es suivantes sont l’extension `a l’esp´erance conditionnelle de propri´et´es fondamentales de l’esp´erance.
1. (Convergence monotone conditionnelle) Soit(Xn)n≥0 une suite de variables al´eatoires telles que 0≤Xn↑X. AlorsE[Xn|B]↑E[X|B].
2. (Lemme de Fatou conditionnel) Soit (Xn)n≥0 une suite de variables al´eatoires positives. Alors E[lim infXn|B]≤lim infE[Xn|B].
3. (Convergence domin´ee conditionnelle) Soit (Xn)n≥0 une suite de variables al´eatoires telle que
|Xn| ≤V P-p.s., avecE[V]<∞ et Xn→X P-p.s. Alors, E[Xn|B]→E[X|B]P-p.s.
4. (In´egalit´e de Jensen conditionnelle) Soit c : R → R convexe telle que E[|c(X)|] < ∞. Alors, E[c(X)|B]≤c(E[X|B]).
5. (Contraction des normes) Pour p≥1, kE[X|B]kp ≤ kXkp, o`u kYkp := (E[|Y|p])1/p.
D´efinition A.19. Soit deux variables al´eatoires d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e{Ω,F,P}.
On appelle esp´erance conditionnelle deX par rapport `a Y : E[X|Y] =E[X|σ(Y)]
o`u σ(Y) d´esigne la tribu engendr´e par Y (la plus petite tribu rendant Y mesurable).