5. Bases de sous-espaces
5.1. Sous-espaces donn´ es par une suite g´ en´ eratrice
eγ(v1), . . . ,eγ(vn)
est libre.
– Si (v1, . . . , vn) est une base de E, alors
eγ(v1), . . . ,eγ(vn)
est une base deKn. D´emontrez ´egalement les trois r´eciproques.
(4.5) (pr´erequis) Quelles sont les bases usuelles de Rn, Rn×m et R[X]6n, munis des structures habituelles d’espace vectoriel surR?
(4.6) Donnez une base deCmuni de la structure habituelle d’espace vectoriel surR.
(4.7) Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K, donnez une base de l’espace vectoriel E×F (voir l’exercice 3.5, page 23, pour la d´efinition deE×F).
(4.8) Donnez une base des sous-espaces vectoriels suivants :
– A={P ∈R[X]64|P(2) =P(3) =P0(−1)} (sous-espace r´eel deR[X]64).
– B=
M ∈R2×2|M·
0 1
−1 0
=
0 1
−1 0
·M
(sous-espace r´eel de R2×2).
(4.9) La suiteb=
(1,0,2),(2,5,4),(−2,1,0)
est une base deR3 (vous pouvez le v´erifier). Trouvez les coordonn´ees de (17,26,18) dansb. Trouvez les coordonn´ees dansbd’un ´el´ement (x, y, z) quelconque deR3.
(4.10) En utilisant les affirmations de l’exercice 4.4 et les calculs de l’exercice 4.9, – montrez queb=
1 + 2X2,2 + 5X+ 4X2,−2 +X
est une base deR[X]62;
– trouvez les coordonn´ees dansbd’un polynˆome quelconque a0+a1X+a2X2 deR[X]62. (4.11) (pour aller plus loin) Quel est l’ensemble des matrices deR2×2 qui commutent avec toutes les matrices deR2×2? Montrez que cet ensemble est un sous-espace vectoriel deR2×2. Trouvez-en une base.
5. Bases de sous-espaces
Dans cette section, on se propose de donner des indications g´en´erales sur les dimensions de sous-espaces d’un espace vectoriel fix´e et de mettre au point diverses techniques permettant de trouver des bases de sous-espaces.
5.1. Sous-espaces donn´es par une suite g´en´eratrice
Le r´esultat technique suivant est souvent utile pour prouver l’ind´ependance lin´eaire d’une suite de vecteurs :
5.1. Lemme. Soit V un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E sur un corps K et soit (v1, . . . , vm)une suite libre de V. Siuest un vecteur deE qui n’est pas dans V :
u∈ErV, alors la suite(v1, . . . , vm, u)est une suite libre de E.
5. BASES DE SOUS-ESPACES 30
D´emonstration. Soit
v1α1+· · ·+vmαm+uβ= 0 (∗)
une relation de d´ependance lin´eaire. Il faut prouverα1=· · ·=αm=β = 0. Siβ 6= 0, alors on peut diviser les deux membres de l’´equation ci-dessus parβ et isolerudans un membre :
u=v1(−α1/β) +· · ·+vm(−αm/β).
D`es lorsuest une combinaison lin´eaire dev1, . . . , vmet il est donc dansV contrairement `a l’hypoth`ese.
On doit donc avoirβ= 0 ; alors la relation (∗) ci-dessus entraˆıneα1=· · ·=αm= 0 puisquev1, . . . , vm
sont lin´eairement ind´ependants. 2
5.2. Proposition. SoitV un sous-espace vectoriel d’un espace vectorielEde dimensionn(finie).
1. V admet une suite g´en´eratrice dont le nombre de vecteurs est au plusn. En particulier, dimV 6n.
2. SidimV =n, alorsV =E.
3. Toute base deV peut ˆetre prolong´ee en base de E.
D´emonstration. 1. Supposons au contraire queV n’admette pas de suite g´en´eratrice de moins den+ 1 vecteurs. Pour toute suite (v1, . . . , vm) de vecteurs deV, on a donc l’inclusionstricte
sevhv1, . . . , vmi(V tant quem6n.
On construit alors dansV une suite libre den+ 1 vecteurs, de la mani`ere suivante : Soitv1un vecteur non nul de V et soitv2 ∈V rsevhv1i. Le lemme pr´ec´edent (appliqu´e au sous-espace sevhv1i (V) montre que la suite (v1, v2) est libre. Sin>2, choisissons encore v3∈V rsevhv1, v2i, puis (sin>3) v4 ∈V rsevhv1, v2, v3i et ainsi de suite. Le lemme pr´ec´edent montre successivement que les suites (v1, v2, v3), (v1, v2, v3, v4), etc. sont libres. On peut de la sorte construire une suite libre (v1, . . . , vn+1) deV — donc aussi deE. Cela contredit la Proposition 4.3 (p. 27) ; il est donc absurde de supposer queV n’admet pas de suite g´en´eratrice d’au plus nvecteurs.3
2. Si dimV =n, alors toute base de V est une suite libre deE dont le nombre d’´el´ements est ´egal `a la dimension deE; c’est donc une base deE, d’apr`es le Corollaire 4.5 (p. 28). L’espace engendr´e par cette suite est doncV =E.
3. Cela r´esulte directement du Corollaire 4.5, car les bases deV sont des suites libres de E. 2 Les op´erations ´el´ementaires dont il a ´et´e question dans la section 1.1 livrent un algorithme per-mettant de d´eterminer une base d’un sous-espace vectoriel dont on connaˆıt une suite g´en´eratrice.
Remarquons d’abord que ces op´erations peuvent aussi ˆetre utilis´ees sur les suites de vecteurs : une op´eration ´el´ementaire de type I consiste `a remplacer un des vecteurs de la suite par la somme de ce mˆeme vecteur et d’un multiple d’un autre vecteur de la suite ; une op´eration ´el´ementaire de type II consiste `a ´echanger deux vecteurs de la suite, et une op´eration ´el´ementaire de type III `a multiplier un vecteur par un scalaire non nul, appel´efacteur de l’op´eration ´el´ementaire.
5.3. Proposition. On ne modifie pas le sous-espace vectoriel engendr´e par une suite de vecteurs quand on effectue sur celle-ci une ou plusieurs op´erations ´el´ementaires.
D´emonstration. Cela est clair pour les op´erations de type II ou III. Pour les op´erations ´el´ e-mentaires de type I, il s’agit de prouver :
sevhx1, . . . , xni= sevhx1, . . . , xi−1, xi+xjλ, xi+1, . . . , xni
(o`u i 6= j et λ est un scalaire arbitraire). Or, la forme des vecteurs de la suite de droite montre que chacun de ceux-ci est combinaison lin´eaire de ceux de gauche. Inversement, montrons que chaque vecteur de gauche est combinaison lin´eaire de ceux de droite : il suffit de le v´erifier pour xi, puisque tous les autres apparaˆıssent aussi `a droite ; pourxi, on a
xi= (xi+xjλ)−xjλ.
3Cela ne veut pas dire quetoutesles suites g´en´eratrices deV ont au plusnvecteurs. Au contraire, on peut former des suites g´en´eratrices dont le nombre de vecteurs est arbitrairement grand en ajoutant des vecteurs nuls `a une suite g´en´eratrice quelconque.
5. BASES DE SOUS-ESPACES 31
L’´egalit´e des sous-espaces engendr´es r´esulte `a pr´esent de la Proposition 3.1 (p. 22). 2 Supposons `a pr´esent que les vecteurs donn´es soient dans l’espaceKn : soit
v1, . . . , vm∈Kn. Chacun des vecteurs vi est donc unn-uple :
vi= (vi1, . . . , vin).
On dit que la suite (v1, . . . , vm) est´echelonn´ee si le nombre de composantes nulles au d´ebut de chaque vi augmente avec l’indicei, l’augmentation ´etant stricte tant quevi6= 0 :
sivij = 0 pourj6k, alorsvi+1,j= 0 pour j6k+ 1.
En d’autres termes, la suite (v1, . . . , vm) est ´echelonn´ee si et seulement si la matrice de genre (m, n)
v1
... vm
dont les lignes sontv1, . . . , vmest une matrice `a lignes ´echelonn´ees.
5.4. Proposition. Toute suite ´echelonn´ee de vecteurs non nuls de Kn est libre.
D´emonstration. Soit (v1, . . . , vm) une suite ´echelonn´ee de vecteurs non nuls deKn. Supposons avoir trouv´eα1, . . . , αm∈K tels que
v1α1+· · ·+vmαm= 0.
(†)
Il faut prouver :α1=· · ·=αm= 0.
Soit j1 le plus petit indice tel que v1j1 6= 0. Comme la suite (v1, . . . , vm) est ´echelonn´ee, on a vij1= 0 pour touti >1. D`es lors, la composante d’indicej1 des deux membres de l’´egalit´e (†) est
v1j1α1+ 0α2+· · ·+ 0αm= 0.
On en d´eduitα1= 0. L’´egalit´e (†) peut alors se r´e´ecrire v2α2+· · ·+vmαm= 0.
Soitj2 le plus petit indice tel que v2j2 6= 0. En comparant les composantes d’indicej2 dans les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente, on obtient de mˆeme
α2= 0,
et on continue ainsi de suite. Le raisonnement s’applique pour touti= 1, . . . , m, puisque chacun des
vecteursv1, . . . , vmposs`ede une composante non nulle. 2
Soit (v1, . . . , vm) une suite finie quelconque de vecteurs de Kn. Par des op´erations ´el´ementaires sur les lignes de la matrice
A=
v1
... vm
∈Km×n
dont les lignes sontv1, . . . , vm, on peut obtenir une matrice `a lignes ´echelonn´ees, d’apr`es le Th´eor`eme 1.1.
Soit
A0 =
w1
... wm
∈Km×n
une telle matrice. La Proposition 5.3 montre que le sous-espace deKn engendr´e par les lignes de A0 est le mˆeme que celui qui est engendr´e par les lignes deA:
sevhv1, . . . , vmi= sevhw1, . . . , wmi.
5. BASES DE SOUS-ESPACES 32
Le proc´ed´e pr´ec´edent s’applique ´egalement aux sous-espaces V d’un espace arbitraireE de di-mension finie, moyennant le choix d’une basee= (e1, . . . , en) deE. Une telle base d´etermine en effet un isomorphismeeγ: E→Kn qui permet d’identifierV `a un sous-espace de Kn.