5. Bases de sous-espaces
5.3. Dimension d’une somme de sous-espaces
x1 = −(a1,r+1xr+1+a1,r+2xr+2+· · ·+a1nxn) x2 = −(a2,r+1xr+1+a2,r+2xr+2+· · ·+a2nxn)
...
xr = −(ar,r+1xr+1+ar,r+2xr+2+· · ·+arnxn) Ses solutions sont
V =
− Xn j=r+1
a1,jxj,− Xn j=r+1
a2,jxj, . . . ,− Xn j=r+1
arjxj, xr+1, . . . , xn
xr+1, . . . , xn∈K
. Consid´erons les solutions particuli`eres suivantes obtenues en donnant `a l’une des variablesxr+1, . . . , xn la valeur 1 et aux autres la valeur 0 :
er+1 = (−a1,r+1,−a2,r+1, . . . ,−ar,r+1,1,0, . . . ,0) er+2 = (−a1,r+2,−a2,r+2, . . . ,−ar,r+2,0,1, . . . ,0)
...
en = (−a1n,−a2n, . . . ,−arn,0,0, . . . ,1);
alors
− Xn j=r+1
a1,jxj,− Xn j=r+1
a2,jxj, . . . ,− Xn j=r+1
arjxj, xr+1, . . . , xn
=
er+1xr+1+er+2xr+2+· · ·+enxn, ce qui montre que
V = sevher+1, . . . , eni. Par ailleurs, pourαr+1, . . . , αn∈K,
er+1αr+1+· · ·+enαn= (∗, . . . ,∗, αr+1, . . . , αn),
donc le membre de gauche ne peut ˆetre nul que si αr+1 = · · ·=αn = 0. Cela prouve que la suite (er+1, . . . , en) est libre ; c’est donc une base deV, et par cons´equent
dimV =n−r.
On a ainsi prouv´e :
5.5. Proposition. La dimension de l’espace des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires ho-mog`enes en ninconnues est n−ro`u r est le nombre de lignes non nulles d’une matrice sous forme r´eduite de Gauss–Jordan obtenue en effectuant des op´erations ´el´ementaires sur les lignes de la matrice des coefficients du syst`eme.
On pourrait voir que l’entierr qui intervient dans cet ´enonc´e est aussi le nombre de lignes non nulles de toute matrice `a lignes ´echelonn´ees obtenue en effectuant des op´erations ´el´ementaires sur les lignes de la matrice des coefficients. (Voir aussi la Proposition 6.9, p. 41.)
5.3. Dimension d’une somme de sous-espaces
5.6. Proposition. Si V1, . . . , Vn sont des sous-espaces d’un espace vectoriel E, alors une suite g´en´eratrice de V1+· · ·+Vn s’obtient en juxtaposant des suites g´en´eratrices deV1, . . . , Vn. Si de plus la sommeV1+· · ·+Vn est directe, alors une base de V1⊕ · · · ⊕Vn s’obtient en juxtaposant des bases de V1,. . .,Vn; par cons´equent,
dim(V1⊕ · · · ⊕Vn) = dimV1+· · ·+ dimVn.
5. BASES DE SOUS-ESPACES 34
D´emonstration. Soient
(e1, . . . , er) une suite g´en´eratrice de V1, (f1, . . . , fs) une suite g´en´eratrice deV2,
· · ·
(g1, . . . , gt) une suite g´en´eratrice de Vn. Il faut prouver que la suite
u= (e1, . . . , er, f1, . . . , fs, . . . , g1, . . . , gt) engendreV1+· · ·+Vn.
Tout vecteur de cette somme s’´ecrit
x=v1+· · ·+vn
o`uv1∈V1,v2∈V2,. . .,vn∈Vn. En d´ecomposant chaquevi comme combinaison lin´eaire de la suite g´en´eratrice donn´ee deVi, on obtient
v1=e1α1+· · ·+erαr, v2=f1β1+· · ·+fsβs,
· · ·
vn=g1γ1+· · ·+gtγt; d’o`u, en additionnant,
x=e1α1+· · ·+erαr+f1β1+· · ·+fsβs+· · ·+g1γ1+· · ·+gtγt. Cela montre que la suiteuengendreV1+· · ·+Vn et prouve la premi`ere partie de l’´enonc´e.
Pour prouver la seconde partie, supposons que la somme V1+· · ·+Vn soit directe et que les suites g´en´eratrices choisies dansV1, . . . , Vn soient des bases, et montrons que la suiteuest une base deV1⊕ · · · ⊕Vn. Il suffit de prouver qu’elle est libre, puisque l’on vient de prouver qu’elle engendre V1⊕ · · · ⊕Vn. Supposons
e1α1+· · ·+erαr+f1β1+· · ·+fsβs+· · ·+g1γ1+· · ·+gtγt= 0.
(‡)
En rassemblant les termes, on fait apparaˆıtre des vecteurs deV1, . . .,Vn dont la somme est nulle : (e1α1+· · ·+erαr)
| {z }
∈V1
+ (f1β1+· · ·+fsβs)
| {z }
∈V2
+· · ·+ (g1γ1+· · ·+gtγt)
| {z }
∈Vn
= 0.
Comme la somme deV1, . . .,Vn est directe, cette relation entraˆıne e1α1+· · ·+erαr= 0, f1β1+· · ·+fsβs= 0,
· · ·
g1γ1+· · ·+gtγt= 0.
Comme par ailleurs les suites (e1, . . . , er), (f1, . . . , fs),. . ., (g1, . . . , gt) sont libres (puisque ce sont des bases deV1, V2,. . ., Vn respectivement), on en d´eduit
α1=· · ·=αr= 0, β1 =· · ·=βs= 0,
· · · γ1=· · ·=γt= 0.
Tous les coefficients de la relation de d´ependance lin´eaire (‡) sont donc nuls, et la suiteu est libre.
C’est donc bien une base deV1⊕ · · · ⊕Vn. 2
Lorsque la somme V1+· · ·+Vn n’est pas directe, il est plus difficile d’en trouver une base. Voici cependant une indication utile concernant les sommes de deux sous-espaces :
5.7. Proposition. SiV etW sont deux sous-espaces de dimension finie d’un espace vectorielE, alorsV +W est de dimension finie et
dim(V +W) + dim(V ∩W) = dimV + dimW.
5. BASES DE SOUS-ESPACES 35
D´emonstration. Soit (z1, . . . , zr) une base de V ∩W. On prolonge cette suite d’une part en base de V, soit (z1, . . . , zr, v1, . . . , vs), d’autre part en base (z1, . . . , zr, w1, . . . , wt) de W. On a donc dim(V ∩W) = r, dimV = r+s et dimW = r+t. On se propose de prouver que la suite (z1, . . . , zr, v1, . . . , vs, w1, . . . , wt) est une base deV +W. Il en r´esultera queV +W est de dimension finie et
dim(V +W) =r+s+t= (r+s) + (r+t)−r= dimV + dimW−dim(V ∩W), comme annonc´e.
Montrons d’abord que la suite ci-dessus engendre V +W. D’apr`es la Proposition 5.6, la suite (z1, . . . , zr, v1, . . . , vs, z1, . . . , zr, w1, . . . , wt), obtenue en juxtaposant des bases de V et de W, en-gendreV +W. Or, on a ´evidemment
sevhz1, . . . , zr, v1, . . . , vs, z1, . . . , zr, w1, . . . , wti= sevhz1, . . . , zr, v1, . . . , vs, w1, . . . , wti, donc la suite (z1, . . . , zr, v1, . . . , vs, w1, . . . , wt) engendreV +W.
Montrons pour terminer que cette suite est libre. Supposons avoir trouv´e une relation de d´ epen-dance lin´eaire
z1α1+· · ·+zrαr+v1β1+· · ·+vsβs+w1γ1+· · ·+wtγt= 0.
Il s’agit de prouver que tous les coefficients αi, βj, γk sont nuls. Pour cela, on fait passer dans le second membre les derniers termes de l’´egalit´e pr´ec´edente :
z1α1+· · ·+zrαr+v1β1+· · ·+vsβs=−(w1γ1+· · ·+wtγt).
Comme les vecteurszisont dansV∩W et lesvj dansV, le premier membre de cette derni`ere ´equation est dansV; cependant, le second membre est dansW puisque les vecteurs wk sont dansW. D`es lors, les deux membres sont dansV ∩W, et l’on peut ´ecrire le second membre comme combinaison lin´eaire de la base (z1, . . . , zr) deV ∩W :
−(w1γ1+· · ·+wtγt) =z1δ1+· · ·+zrδr
pour certains scalairesδ1, . . . , δr. En rassemblant tous les termes dans un membre, on obtient z1δ1+· · ·+zrδr+w1γ1+· · ·+wtγt= 0,
et l’on en tireδ1=· · ·=δr=γ1=· · ·=γt= 0, car (z1, . . . , zr, w1, . . . , wt) est une suite libre (c’est mˆeme une base deW). En revenant `a la relation de d´ependance lin´eaire dont on est parti, et en tenant compte de ce que les coefficients γk sont nuls, on a
z1α1+· · ·+zrαr+v1β1+· · ·+vsβs= 0.
Comme (z1, . . . , zr, v1, . . . , vs) est une suite libre (c’est mˆeme une base de V), on en d´eduit : α1 =
· · ·=αr=β1=· · ·=βs= 0. 2
Exercices
(5.1) SoitV = sevh(1,−2,0,3),(2,3,0,1),(2,−1,2,1)i ⊆R4. Trouvez une base deV.
(5.2) Soit e1 = (1,2,3,4), e2 = (2,5,10,13), e3 = (1,4,11,18) et e4 = (0,1,4,7). Consid´erons V = sevhe1, e2, e3, e4i ⊆ R4. Sachant que dimV = 3, trouvez une base de V dont les ´el´ements soient parmie1, e2, e3, e4. A priori, suffit-il de prendre 3 ´el´ements ei au hasard sans effectuer aucune v´erification ?
(5.3)Consid´erons un espace vectorielEde dimensionnsur un corpsKetV un sous-espace vectoriel deE, de dimensionk < n. Soientb= (e1, . . . , ek) etb0= (e01, . . . , e0k) deux bases deV. On prolongeb en une base (e1, . . . , ek, ek+1, . . . , en) deE. La suite (e01, . . . , e0k, ek+1, . . . , en) obtenue en prolongeant b0 au moyen des mˆemes ´el´ements est-elle ´egalement une base deE?
(5.4) SoitE un espace vectoriel. Consid´erons trois vecteurse1, e2, e3 tels que dim sevhe1, e2, e3i= 2.
– Est-il vrai qu’il existei, j∈ {1,2,3}tels que (ei, ej) soit une base de sevhe1, e2, e3i?
5. BASES DE SOUS-ESPACES 36
– Est-il vrai que, quels que soienti, j∈ {1,2,3}, (ei, ej) est une base de sevhe1, e2, e3i?
(5.5) On consid`ere les matrices M =
1 i 3 −i
, N =
i 0 2 i
, L=
1 0 1 −2i
. Trouvez une base deV = sevhM, N, Li ⊆C2×2 et compl´etez-la en une base de C2×2.
(5.6)SoitE, un espace vectoriel etV, W ⊆E, des sous-espaces vectoriels. D´emontrez que si dimV+ dimW >dimE, alorsV ∩W 6={0}.
(5.7) On consid`ere V et W, deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Soit (e1, . . . , en), une base deV et (f1, . . . , fm), une base deW.
– D´emontrez que (e1, . . . , en, f1, . . . , fm) est une suite g´en´eratrice deV +W. – D´emontrez que si V ∩W ={0},
alors (e1, . . . , en, f1, . . . , fm) est une base deV ⊕W.
– D´emontrez que si (e1, . . . , en, f1, . . . , fm) est une base de V +W, alorsV ∩W ={0}.
– Trouvez un contre-exemple montrant que (e1, . . . , en, f1, . . . , fm) n’est pas n´ecessairement une base deV +W.
– Une suite dont les ´el´ements sont ceux de l’ensemble {e1, . . . , en} ∩ {f1, . . . , fm} est-elle une base deV ∩W? Si non, une telle suite peut-elle ˆetre prolong´ee en une base deV ∩W? (5.8) SoientV1 = sevh(1,2,3),(4,5,6)i ⊆R3
V2 = sevh(0,3,6),(0,9,12)i ⊆R3 V3 = sevh(0,3,6),(10,11,12)i ⊆R3.
Quelles sont les dimensions de V1, V2, V3? V1 est-il ´egal `a V2? V1 est-il ´egal `a V3? Quelle est la dimension deV1∩V2? Donnez une base deV1+V3 et deV2∩V3. (Essayez de faire le moins de calculs possible, en utilisant des arguments de dimension.)
(5.9) Donnez une base deV1∩V2 et deV1+V2, o`uV1 etV2 sont les deux sous-espaces complexes de C[X]63 suivants :
V1 = {P ∈C[X]63|P(0) = 2P(1)} V2 = {P ∈C[X]63|P(0) =P(1)}.
(5.10)Donnez une base deV1∩V2 et deV1+V2, o`uV1etV2sont les deux sous-espaces r´eels deR2×2 suivants :
V1 = {M ∈R2×2|M est antisym´etrique} V2 = sev
1 2 3 4
,
1 1 4 4
,
3 5 10 12
.
CHAPITRE III