La formulation variationnelle de ce probl`eme en prenant commme fonction test une fonc-tion de l’espace stafonc-tionnaire V est r´ealis´ee au moyen des multiplicateurs de Lagrange.
La discr´etisation est r´ealis´ee comme suit:
– un sch´ema de type diff´erences finies est appliqu´e pour la discr´etisation temporelle ainsi qu’un d´eveloppement de Taylor `a l’ordre k par rapport au temps de la composante non-lin´eaire li´ee au potentiel. Cette technique propos´ee par Vieira-Test´e [107] permet de tenir compte d’un plus grand nombre de voxels.
– le probl`eme approch´e en temps est ensuite discr´etis´e par une m´ethode ´el´ements finis dont l’´el´ement fini de base est l’´el´ement fini de Bogner-Fox-Schmit (cf. Ciarlet [32]) de classe C1.
3.4 Pr´ esentation de quelques applications
Dans ce qui suit, nous proposons quelques applications issues des travaux de Vieira-Test´e [107].
56 I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques
Fig. 3.6 –En orange, la condition initiale, en jaune le r´esultat final (figure issue de Vieira-Test´e [107]). Sans conditions d’interpolation, on remarque que la condition initiale est tr`es proche du r´esultat final, condition sine qua non pour obtenir un r´esultat acceptable lorsqu’on utilise la m´ethode des mod`eles d´eformables.
I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques 57
Fig.3.7 –Image d’un mod`ele de vitesse avec 6 points `a interpoler (carr´es blancs). En orange, la condition initiale, en jaune le r´esultat final (figure issue de Vieira-Test´e [107]).
Part. I, Chap. 4. Une approche fond´ee sur une analogie optique 59
Chapitre 4
Une approche fond´ ee sur une analogie optique
On s’int´eresse donc dans ce chapitre `a la m´ethode fond´ee sur le principe de Fermat, m´ethode introduite par Del´echelle et Lemoine [46]. Nous verrons que cette m´ethode s’abstrait des param`etres de r´egularisation qui sont d´eterminants dans les m´ethodes de contours actifs classiques. En revanche, le formalisme est identique dans les deux m´ethodes, en particulier dans la formulation variationnelle issue de l’´equation d’Euler-Lagrange.
Le principe de Fermat s’´enonce de la fa¸con suivante : “Pour aller d’un point `a un autre, la lumi`ere emprunte le trajet pour lequel le temps de parcours est minimum”.
Le trajet de la lumi`ere est d´efini `a la fois dans l’espace et dans le temps; il est donc spatio-temporel mais on appr´ehende en g´en´eral le rayon lumineux comme un fil indivisible, i.e.
comme une courbe occup´ee par la lumi`ere `a chaque instant et en tout point.
Dans ce qui suit, nous conservons les notations de Del´echelle et Lemoine [46].
Le principe de Fermat donne pour le temps de parcoursT entre deux pointsAetBla relation : T =
Z B
A
ds v ,
avec v la vitesse de la lumi`ere dans le milieu qui est une fonction de l’indice de r´efraction de ce milieu, v= c
n,c´etant la vitesse de la lumi`ere.
Si le milieu n’est pas homog`ene, l’indice de r´efraction varie en fonction de s, d’o`u : T = 1
c Z B
A
nds.
Si l’on se place dans le cas d’une trajectoire planaire, le chemin emprunt´e entre deux points peut ˆetre d´ecrit par la trajectoire y =f(x). On peut d´efinir le param`etrage suivant:
( x=t y=f(t).
On a la relationds=p
(dx2+dy2) et six d´efinit le param`etre de la trajectoire,T s’exprime de la fa¸con suivante :
T = 1 c
Z xB
xA
np
(1 + ˙y2)dx. (4.1)
60 Part. I, Chap. 4. Une approche fond´ee sur une analogie optique
Intuitivement, on voit que cette expression traduit le rapport entre la distance parcourue et la vitesse. En effet, si l’on consid`ere une courbe Φ, param´etr´ee par tet d´efinie par :
Φ : la longueur de la courbe est d´efinie par :
long =
Dans notre cas, le param`etre est x, donc la longueur de la courbe y(x) est donn´ee par : long =
Z x1
x0
p(1 + ˙y2)dx.
Le principe de Fermat ouprincipe du moindre tempsdonne queT est minimum sur la trajec-toire. Nous sommes donc ramen´es `a un probl`eme de calcul variationnel et plus pr´ecis´ement `a un probl`eme de minimisation de fonctionnelle.
Ce probl`eme est r´esolu en appliquant le th´eor`eme d’Euler-Lagrange (cf. partie I, chapitre 2).
Dans notre cas, le lagrangienLest d´efini par:L(x, y(x), y0(x)) = n
L’´equation d’Euler-Lagrange nous donne finalement : 1
On multiplie cette ´egalit´e par c(1 + ˙y2)32 et on obtient finalement:
n¨y+ ˙y3∂n
∂x −y˙2∂n
∂y + ˙y∂n
∂x −∂n
∂y = 0. (4.3)
On peut ´egalement ´ecrire (4.3) sous la forme :
n¨y+αy˙=β, (4.4)
Part. I, Chap. 4. Une approche fond´ee sur une analogie optique 61
La m´ethode de r´esolution peut ˆetre une m´ethode variationnelle obtenue `a l’aide des diff´erences finies classiques :
˙
yj = yj+1−yj−1 2h ,
¨
yj = yj+1−2yj+yj−1
h2 .
Ainsi, pour j= 1, · · · , L, on a : yj = 1
2(yj+1+yj−1) +hαj
4nj(yj+1−yj−1)− h2
2njβj. (4.5)
Une m´ethode it´erative de type Gauss-Seidel utilisant cette relation est envisageable mais la non-lin´earit´e de l’´equation aux d´eriv´ees partielles retarde la convergence de l’algorithme. Nous nous sommes donc int´eress´es `a une technique de r´esolution num´erique qui est la programma-tion dynamique( cf. Bellman [19] et Sakarovitch [93]). Nous pr´esentons dans la section suivante le principe de cette m´ethode, une grande partie de ces ´el´ements de pr´esentation provenant de Sakarovitch [93].
4.1 La programmation dynamique
Le principe de la programmation dynamique qui est une technique d’optimisation peut se formuler de la mani`ere suivante :
“dans une s´equence optimale de d´ecisions, quelle que soit la premi`ere d´ecision prise, les d´ecisions subs´equentes forment une sous-s´equence optimale, compte-tenu des r´esultats de la premi`ere d´ecision”, (d’apr`es Sakarovitch [93]).
On remarque que ce principe d’optimalit´e implique que le probl`eme `a ´etudier puisse ˆetre formul´e comme celui de l’´evolution d’un syst`eme. Il est n´ecessaire pour cela que l’on puisse de mani`ere plus ou moins artificielle d´ecomposer le probl`eme en ´etapes. Le nombre d’´etapes est suppos´e fini et ´egal `a n. Dans la suite, nous conservons les notations de Sakarovitch [93].
A chaque ´etape k, deux ensembles sont `a examiner:
– l’ensembleXk des d´ecisions que l’on peut prendre `a cette ´etape.
– l’ensembleEk des ´etats dans lesquels on peut se trouver suite `a la d´ecision prise.
La d´efinition de la fonction objectif ou fonction coˆut est li´ee `a la d´ecision prise `a l’´etape k.
En effet, une d´ecision xk∈Xk alors que le syst`eme se trouve dans l’´etatek−1∈Ek−1 a pour effet :
1. de faire passer le syst`eme `a l’´etat ek∈Ek `a la fin de la k`eme´etape.
2. d’engendrer un coˆut ´egal `ack(ek−1, xk).
C’est `a dire qu’on associe `a chaque k= 1,2, · · · , ndeux applications :
½ Fk =Ek−1 ×Xk −→Ek (fonction de transition) ck=Ek−1×Xk −→R (fonction de coˆut).
On appellepolitique de l’´etatei−1 ∈Ei−1 `a l’´etatej ∈Ej une s´equence de d´ecisions :
℘(ei−1, ej) = (xi, xi+1, · · ·, xj−1, xj)∈Xi×Xi+1× · · · ×Xj−1×Xj telle queek=Fk(ek−1, xk),k=i, i+ 1, · · · , j−1, j.
62 Part. I, Chap. 4. Une approche fond´ee sur une analogie optique
Le coˆut de la politique℘(ei−1, ej) est :
c(℘(ei−1, ej)) = Xj
k=i
ck(ek−1, xk), lesek ´etant d´efinis comme pr´ec´edemment.
Le principe d’optimalit´e se traduit par :
Soit℘(e\0, en) une politique optimale conduisant de l’´etat e0 ∈E0 `a l’´etaten∈En et passant par les ´etats ei ∈Ei etej ∈Ej (0≤i≺j ≤n). La restriction de ℘(e\0, en) joignant ei `a ej est alors optimale.
On en d´eduit que quelle que soit la d´ecision prise `a l’´etapek qui am`ene le syst`eme de l’´etat ek−1 ∈Ek−1 `a l’´etatek ∈ Ek, la portion de la politique optimale \
℘(e0, ek) entre e0 etek−1 est optimale.
Si l’on pose :
½ zk(ek) = coˆut d’une politique optimale de e0 `a ek∈Ek , z0(e0) = 0.
On a les formules de r´ecurrence :
zk(ek) = min
xk∈Xk/ek=Fk(ek−1, xk)
·
ck(ek−1, xk) +zk−1(ek−1)
¸ .
Nous avons appliqu´e cette technique de recherche d’extremum `a notre probl`eme. Nous d´etaillons dans la section suivante l’approche math´ematique du probl`eme.