Approche g´en´erale

Le mod`ele des “Balloons” a ´et´e introduit par Laurent D. Cohen, [38], [40], [39], [41] et [43]. Comme nous l’avons expliqu´e pr´ec´edemment, un des principaux probl`emes des “snakes”

provient de la condition initiale. En effet, si la condition initiale n’est pas assez proche de la solution, le contour n’´evolue pas suffisamment et tend `a se localiser sur un minimum local non significatif. L’int´erˆet du mod`ele des “Balloons” r´eside dans la r´esolution de ce probl`eme.

On ajoute une force suppl´ementaire que l’on peut appeler “force de gonflage”. La courbe est assimil´ee `a un ballon que l’on gonfle. Deux possibilit´es sont alors envisageables:

1. Soit la nuance (dans le cas des intensit´es) est assez forte et la courbe s’arrˆete.

1.F est d´efini parF(v) =−∇P(v) tel queP(v) =−|∇I(v)|². Lorsqu’on se situe sur un point de maximum de gradient, on a donc un minimum local de P etF s’annule par cons´equent.

Part. I, Chap. 2. Pr´esentation de la m´ethode de Contours Actifs 47

2. Soit la nuance est trop faible et la courbe la surmonte pour aller chercher plus loin.

Grˆace `a ce mod`ele des “Balloons”, on peut donc r´esoudre deux des inconv´enients principaux des “snakes”:

1. L’arrˆet pr´ematur´e de la courbe sur un point non desir´e.

2. Le choix d’une condition initiale tr`es proche du contour `a extraire.

Ceci est mis en ´evidence par la figure suivante. On constate qu’avec le mod`ele classique, le contour s’arrˆete sur un point qui correspond `a un bruit, point non-significatif. Avec le mod`ele des “Balloons”, la courbe passe par dessus et se colle parfaitement au contour mˆeme si la condition initiale est tr`es loin du r´esultat escompt´e.

Fig. 2.4 – Comparatif entre la m´ethode classique et la m´ethode des “Bal-loons”: en haut, le contour s’arrˆete sur un point non-significatif. En bas, la force de gonflage est adjointe au mod`ele, (voir Cohen [38] et http://www.ceremade.dauphine.fr/∼cohen/habilpub.html#habilpub).

48 Part. I, Chap. 2. Pr´esentation de la m´ethode de Contours Actifs

2.6.2 Approche math´ematique

Partant d’une courbe initiale orient´ee, on ajoute au mod`ele une force de gonflage d´efinie par: k<sub>1</sub>~n(v(s)), o`u ~nest la normale unitaire ext´erieure `a la courbe au pointv(s). On aboutit alors `a l’expression suivante de la forceF:

F =k₁~n(v(s))−k ∇P

|∇P|.

Si l’on change le signe de k₁, cela nous donne un d´egonflage au lieu d’un gonflage. Notons aussi quek₁ etksont approximativement du mˆeme ordre. Le param`etre k est cependant un peu plus grand quek1 pour que le “snake” soit arrˆet´e par les bons points.

Quelques applications sont propos´ees par la suite.

Fig. 2.5 – Application `a une image par r´esonance magn´etique nucl´eaire issue des travaux de Cohen [38] - http://www.ceremade.dauphine.fr/∼cohen/habilpub.html#habilpub. Evolu-tion du contour pour d´etecter le ventricule gauche.

I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques 49

Chapitre 3

Mod` eles d´ eformables:

repr´ esentation de structures g´ eologiques

Une application des techniques de surfaces d´eformables (extension des mod`eles d´eformables en 3 dimensions, cf. Cohenet al.[35], [36] et [37] et Cohenet al.[42]) a ´et´e r´ealis´ee par Vieira-Test´e [107] dans la repr´esentation de structures g´eologiques sous contraintes g´eom´etriques, dans le cadre de son doctorat effectu´e chez Total.

La structure g´eologique que l’on cherche `a reconstruire est complexe car elle correspond `a l’intersection de surfaces: failles, horizons, prolongements de faille. Vieira-Test´e utilise les techniques de mod`eles d´eformables qui permettent d’interagir sur la mod´elisation: cela per-met de faire ´evoluer en temps et en espace la repr´esentation du mod`ele vers la solution du probl`eme de minimisation introduit dans la mod´elisation. Les contraintes g´eom´etriques sont constitu´ees par des “donn´ees de puits” (voir la figure 3.2 ) `a interpoler.

En deux dimensions, la repr´esentation du mod`ele est donc un ensemble de courbes corres-pondant aux diff´erentes interfaces entre les milieux. Les diff´erences majeures que l’on peut relever par rapport aux techniques des mod`eles d´eformables classiques sont:

• l’utilisation d’un mod`ele topologique permettant d’obtenir une repr´esentation param´etr´ee globale de l’objet,

• l’utilisation de plusieurs attributs,

• l’utilisation d’un d´eveloppement de Taylor `a l’ordre kdes termes non lin´eaires associ´es aux potentiels,

• le raccord global C⁰ des ´el´ements finis localementC¹,

• l’introduction de contraintes g´eom´etriques dans le mod`ele.

Ces contraintes conduisent `a r´esoudre le probl`eme de minimisation sur un convexe ferm´e d’un espace de Hilbert.

Dans ce qui suit, nous rappelons bri`evement les principales ´etapes de la construction du mod`ele et de sa r´esolution, en se fondant sur les travaux de Vieira-Test´e [107].

50 I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques

Fig. 3.1 –Structure g´eologique en 2 dimensions: intersections de courbes correspondant `a des horizons et des failles (figure issue de Vieira-Test´e [107]).

3.1 Param´ etrisation de la structure

Dans Vieira-Test´e [107], on suppose que les donn´ees, qui sont de deux types (donn´ees d’attributsous forme d’images voxels et donn´ees de puits), sont d´efinies dans un bloc deR³. Pour un attribut A donn´e (vitesse de propagation de l’onde sismique, amplitude de l’onde sismique), les donn´ees sont exploit´ees sous la forme (xⁱ,A(xⁱ)) o`u les xⁱ ∈ R³ sont les coor-donn´ees du centre de gravit´e du voxel etA(xⁱ) la valeur de l’attribut A en ce voxel.

Les donn´ees de puits sont des donn´ees de profondeur sous forme de conditions d’interpolation:

x^j ∈R³ (la troisi`eme composante dex^j ´etant la profondeur) et des donn´ees de plans tangents.

L’id´ee est donc de coupler dans le mod`ele, les donn´ees d’attributs et les donn´ees de puits.

Fig. 3.2 – Donn´ees de puits et de plans tangents dans le bloc: les vecteurs v~1 et v~2 sont d´etermin´es `a partir de l’angle de pendage et de l’angle d’azimut (figure issue de Vieira-Test´e [107]).

I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques 51

L’identification des ´el´ements de la structure g´eologique: faille, prolongement de faille, horizon et des connexions topologiques qui les unissent permet d’´elaborer un mod`ele a priori. Ce mod`ele est `a la base de la param´etrisation de la structure.

A chaque composante de la structure g´eologique on associe un ensemble de 4 points et une

´etiquette pr´ecisant sa nature: faille (Γ_F), prolongement de faille (Γ_{P F}), horizon (Γ_H): ces

´el´ements peuvent ˆetre appr´ehend´es comme des quadrilat`eres. Chaque quadruplet ainsi form´e est connect´e par deux de ses points `a un autre quadruplet associ´e `a un autre ´el´ement.

Fig. 3.3 – A gauche, la structure g´eologique. A droite, le mod`ele topologique associ´e (figure issue de Vieira-Test´e [107]).

A partir de ce mod`ele topologique, on cr´ee le mod`ele a priori en introduisant un bloc ainsi qu’une grille r´eguli`ere de ce bloc par des cubes ´egaux (voir la figure 3.4).

52 I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques

Fig. 3.4 – A gauche, le mod`ele topologique. A droite, le mod`ele a priori associ´e (figure issue de Vieira-Test´e [107]).

La construction de l’espace de repr´esentations admissibles coh´erent avec le mod`elea priori n´ecessite la d´etermination d’un domaine de param´etrage. Soit S la structure `a repr´esenter.

On param`etre S par une fonctionv telle que:

v:

( M →S ⊂R³

(s,r)7→v(s,r) = (x₁(s,r),x₂(s,r),x₃(s,r)),

o`uM d´esigne le domaine de param´etrage de la structure. L’id´ee de Vieira-Test´e est de plonger le mod`ele a priori dans un mod`ele de r´ef´erence: on utilise par exemple le cube unit´e de R<sup>3</sup>, Ω. Le domaine de param´etrage est alors l’image par cette transformation de l’ensemble des¯ faces ferm´ees verticales et horizontales constituant le mod`ele a priori.

Fig. 3.5 – A gauche, le mod`ele a priori. A droite, le mod`ele de r´ef´erence (figure issue de Vieira-Test´e [107]).

I, 3. Mod`eles d´eformables: repr´esentation de structures g´eologiques 53

Une fois le domaine de param´etrage d´efini, il s’agit d’expliciter l’espace de solutions ad-missibles.

γ d´esignant la r´eunion des bords communs `a une face horizon et une face faille deM etγ^o son int´erieur, on pose:

M⁰ =

o

M\γ ,^o l’int´erieur de M\γ^o.

L’espace de repr´esentations admissiblesV est alors d´efini par:

V =H²(M⁰,R³)\

C⁰(M,R³), o`uH²(·,·) est l’espace de Sobolev classique.