b Erreur de représentativité

L’erreur de représentativité est due au fait que le pluviomètre est un point de mesure alors que la mesure radar est surfacique. La différence entre mesures ponctuelles et surfaciques est couramment mentionnée sous le terme de « régularisation » (Journel et Huijbregts, 1978). Afin d’obtenir un ordre de grandeur de l’erreur de représentativité, une méthode géostatistique a été implémentée.

Si le semi-variogramme⁸ (noté γ) du champ pluvieux est connu, la variance d’estimation de la valeur surfacique d’un champ pluvieux, au niveau d’une surface d’aire S contenant un appareil de mesure ponctuel situé en x, peut être calculée de la façon suivante (Journel et Huijbregts, 1978) :

∫ ( )

^{∫ ∫ ( ) ( ) I.9}

où |x-u| est la distance entre les points x et u et |u-v| la distance entre les points u et v.

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Si le champ pluvieux est supposé stationnaire, alors le semi-variogramme est relié au corrélogramme spatial⁹ r(d) :

( ) [ ( )] ^I.10

où d représente une distance et σ²Pluie, la variance du champ pluvieux.

En supposant l’absence de pépite10, on obtient dans ce cas l’expression suivante pour la variance d’estimation :

[ ∫ [ ( )]

^{∫ ∫ [ ( ) ]] I.11} Dans cette étude de cas, la surface S correspond à un pixel radar de 1 km x 1 km contenant un ou plusieurs pluviomètres. Le corrélogramme spatial, à pas de temps faibles et à très courtes distances, est nécessaire pour calculer la variance d’estimation (cf. équation I.11). Ciach et Krajewski (2006) ont pu faire une analyse des champs pluvieux à échelle fine grâce à un réseau dense de pluviomètres, pour des pas de temps de 5, 15 et 60 min, et ont proposé un modèle de corrélogramme. Moreau et al. (2009) ont obtenu, pour leur part, des résultats différents en analysant des données radar et pluviométriques. Dans cette étude, nous avons estimé le corrélogramme spatial, en nous basant sur deux groupes de trois pluviomètres chacun qui mesurent la pluie de façon continue, au cours d’une période d’un an et au niveau de deux petits bassins versants urbains localisés à proximité de Nantes. Ces deux groupes de pluviomètres sont distants l’un de l’autre de 15 km et recouvrent des surfaces représentatives de pixels de, respectivement, 0.5 km x 0.5 km et 1.5 km x 1.5 km(Figure I.9).

Figure I.9 : Deux groupes de trois pluviomètres (triangles) recouvrent des surfaces représentatives de pixels de 0.5 km x 0.5 km(à gauche) et de 1.5 km x 1.5 km (à droite).

9 Un corrélogramme spatial représente l’évolution du coefficient de corrélation r, calculé entre différents points de mesure distants de d, en fonction de d.

10 L’effet pépite est défini dans le Chapitre 2.

1.5 km 0.5 km

0.5 km

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La Figure I.10 présente, pour chaque pas de temps, le corrélogramme c'est-à-dire l’évolution du coefficient de corrélation r calculé en fonction de la distance (d) séparant chaque paire de pluviomètres. A partir du corrélogramme calculé et pour chaque pas de temps, le coefficient de corrélation peut s’exprimer comme étant une fonction de la distance d et du pas de temps ΔT, selon l’expression suivante :

( ) ^{[ ( ) ] I.12}

avec a(5 min) = 0.25, a(15 min) = 0.12, a(30 min) = 0.08 et a(60 min) = 0.05.

Figure I.10 : Corrélogramme pour chaque pas de temps avec l’ajustement linéaire correspondant : 5 min (points), 15 min (cercles), 30 min (plus) et 60 min (étoiles).

Afin de calculer la variance d’estimation, nous avons considéré trois positions différentes de pluviomètre, à l’intérieur d’un même pixel radar, c'est-à-dire au centre du pixel radar (P1), à mi-distance entre le centre et le coin (P2) et au niveau du coin (P3), comme illustré en Figure I.11.

Figure I.11 : Le pixel radar est un carré de largeur L = 1 km et P est la position du pluviomètre. Les trois positions différentes sont notées P1, P2 et P3.

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Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau I.3, pour chaque pas de temps et pour chacune des trois positions P. Si l’on considère la position P2 du pluviomètre, par exemple, l’écart-type d’estimation, au pas de temps de 60 min, atteint 14 % de l’écart-type du champ pluvieux contre 30% à 5 min. Ce résultat montre bien l’amélioration de la représentativité spatiale de la mesure pluviométrique lorsque le pas de temps augmente.

Tableau I.3 : Valeurs du rapport de l’écart-type d’estimation à l’écart-type du champ pluvieux, pour les quatre pas de temps considérés, et pour les trois localisations du pluviomètre, à l’intérieur du pixel radar.

L’écart-type du champ pluvieux (σPluie) a été pris égal à l’écart-type calculé entre les mesures des 69 pluviomètres (cf. Paragraphe I.5.2.2). De plus, pour chaque champ pluvieux considéré, l’écart-type de l’erreur de représentativité est supposé équivalent à l’écart-type d’estimation à l’échelle du pixel : σr = σs=1km²

L’écart-type de l’erreur de représentativité est ainsi finalement obtenu en multipliant, par l’écart-type du champ pluvieux, les coefficients listés dans le Tableau I.3. Du fait que la position exacte des pluviomètres dans les pixels radar n’est pas déterminée, nous avons supposé que leur position correspondait à l’emplacement P2.

I.5.3 Méthodologie

Les données pluviométriques ont été prises comme données de référence. Chaque mesure pluviométrique a été comparée à la donnée du pixel radar contenant le pluviomètre et, ceci, entre 0 et 80 km du radar. Les résultats ont été examinés, dans un premier temps, en tenant compte de deux indicateurs statistiques : le Biais et le coefficient de détermination (r²). Le Biais indique si la donnée radar tend à surestimer (biais positif) ou à sous-estimer (biais négatif) la pluie par rapport à la donnée pluviométrique (la valeur optimale étant la valeur nulle). r² est, quant à lui, représentatif du niveau de co-fluctuation entre les données.

^∑ _∑ ^∑ I.13 ^∑ [( ̅ )( ̅ )] √∑ [( ̅ ) ( ̅ ) ] I.14

σS / σPluie 5 min 15 min 30 min 60 min

P1 0.24 0.17 0.14 0.11

P2 0.30 0.21 0.17 0.14

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où RPi et RRi sont respectivement les intensités pluviométriques et les intensités mesurées par radar, au pas de temps considéré, n est le nombre de mesures étudiées, et ̅ et ̅ sont respectivement les valeurs moyennes des intensités pluviométriques et radar.

L’influence du pas de temps, de la distance au radar, du code qualité et du type de précipitation, ainsi que de la méthode de calibrage, a été analysée selon ces deux indicateurs statistiques (Paragraphe I.5.4).

Dans un second temps, l’exactitude de la donnée de référence a été considérée (Paragraphe I.5.5), en prenant en compte l’écart-type de l’erreur totale (σtot). On peut considérer que la mesure radar n’est pas statistiquement différente de la mesure pluviométrique, à un niveau donné de précision, si la mesure radar appartient à l’intervalle de confiance correspondant. Le critère, considéré ici, est le pourcentage de mesures radar appartenant à l’intervalle de confiance à 68% (noté PC68 dans l’équation I.15). En d’autres termes, si cette proportion atteint 68%, on peut admettre qu’il n’existe pas de différence significative entre les données au sol et les données radar :

[ ] I.15

avec RP l’intensité pluviométrique en mm/h et σtot l’écart-type de l’erreur totale, également exprimé en mm/h (Equation I.7).