S´ eries g´ en´ eratrices

  x^d1 1 , . . . , x^dn n , ^X

m monˆome de degr´e dn+1 m

 



de n+1 ´equations de degr´es d₁, . . . , d_n+1 en n variables est semi-r´eguli`ere sur K = Q. Une des particularit´es de l’indice de r´egularit´e H(I) qui fait que la preuve pr´ec´edente marche dans ce cas est que H(I) peut ˆetre calcul´e explicitement, et a une forme simple en fonction de n et des degr´es d<sub>1</sub>, . . . , d<sub>m</sub> des polynˆomes. Dans tous les cas autres que m ≤ n + 1, H(I) ne poss`ede pas de forme explicite simple. Cela nous incite `a penser que le probl`eme de trouver un exemple explicite de suites semi-r´eguli`ere pour m ≥ n + 2 en utilisant l’approche de l’algorithme F5 est un probl`eme difficile.

La suite que nous exhibons a l’avantage de rester semi-r´eguli`ere sur F2, cepen-dant sur F2 le nombre total de suites de degr´es d<sub>1</sub>, . . . , d<sub>m</sub> `a coefficients dans F2

est fini, donc la d´efinition 3.1.1 de g´en´ericit´e n’a pas de sens, et il ne suffit plus de donner un exemple pour montrer que “presque toute” suite est semi-r´eguli`ere. Nous conjecturons que la proportion de suites semi-r´eguli`eres sur F2 tend vers 1 lorsque le nombre de variables tend vers l’infini.

Nous avons fait de nombreuses exp´eriences num´eriques avec des suites al´eatoires, et nous avons toujours obtenu des suites semi-r´eguli`eres (dans le cas g´en´eral, et sur F2 lorsque n est suffisamment grand).

3.3 S´eries g´en´eratrices

Dans cette section, nous calculons explicitement la formule de r´ecurrence v´erifi´ee par la fonction de Hilbert d’un syst`eme de polynˆomes homog`enes tant qu’il n’y a pas de r´eductions `a z´ero. Nous calculons la s´erie g´en´eratrice associ´ee, et la relions `a la s´erie de Hilbert de suites semi-r´eguli`eres. Cette s´erie g´en´eratrice sera ´egalement tr`es utile pour l’analyse asymptotique du chapitre suivant. Nous montrons comment calculer H(I) `a partir de ces quantit´es pour des suites semi-r´eguli`eres.

Soit f₁, . . . , f_m une suite de polynˆomes de S_n de degr´es d_m = (d₁, . . . , d_m). Notons I = hf₁, . . . , f_mi et HF_d,m,dm(n) la fonction de Hilbert de I en degr´e d. Nous allons calculer exactement le nombre de lignes et de colonnes de la matrice M_d,m construite par l’algorithme F5-matriciel en degr´e d pour une suite semi-r´eguli`ere, et en d´eduire la fonction de Hilbert associ´ee.

3.3.1 S´erie de Hilbert d’une suite semi-r´eguli`ere

Rappelons que le nombre de colonnes de la matrice M_d,m est simplement le nombre de monˆomes en degr´e d :

Section 3.3 S´eries g´en´eratrices 65 Lemme 3.3.1 Le nombre M_d(n) de monˆomes en x₁, . . . , x_n de degr´e d dans S_n est donn´e par sa s´erie g´en´eratrice :

X d≥0 M_d(n)z^d = ¹ (1 − z)n =^X d≥0 n + d − 1 d  z^d

Tant que les lignes de M_d,m sont ind´ependantes, la fonction de Hilbert de I est donn´ee par le nombre de colonnes moins le nombre de lignes de M_d,m.

Lemme 3.3.2 Tant qu’il n’y a pas de r´eduction `a z´ero au cours de l’algorithme F5-matriciel, alors la fonction de Hilbert HF_d,m,d

m(n) v´erifie la formule de r´ecurrence suivante :

HFd,m,d_m(n) = HFd,m−1,d_m−1(n) − HFd−dm,m−1,d_m−1(n) avec comme conditions initiales HF_d,m,d

m(n) = M_d(n) si m = 0 ou d < min_k≤m{d_k}. D´emonstration Comme toutes les matrices sont de rang plein, pour construire la matrice M_d,m `a partir de la matrice M<sub>d,m−1</sub>, il suffit d’ajouter toutes les lignes d’´etiquette (m<sub>l</sub>, f<sub>m</sub>) et de supprimer autant de lignes qu’il y en a dans M<sub>d−dm,m−1</sub> (crit`ere g´en´eral). Si l’on note U_d,m(n) le nombre de lignes de M_d,m, on obtient :

Ud,m(n) − Ud,m−1(n)

| {z }

# lignes de la forme mlfmen degr´e d

= Md−dm(n) | {z }

# monˆomes de degr´e d−dm

− Ud−dm,m−1(n) | {z }

Crit`ere g´en´eral

avec comme conditions initiales Ud,m(n) = 0 si m = 0 ou d < mink≤m{dk}. Comme HF_d,m,d

m(n) = M_d(n) − U_d,m(n) alors HF_d,m,d

m(n) − HF_d,m−1,d

m−1(n) = U_d,m−1(n) −

U_d,m(n) ce qui termine la preuve. 2

La s´erie g´en´eratrice associ´ee `a la formule de r´ecurrence du lemme 3.3.2 a une forme tr`es simple, et tant qu’il n’y a pas de r´eduction `a z´ero alors HF_d,m,d

m(n)= # colonnes - # lignes est donn´e par le coefficient de degr´e d de cette s´erie, et est donc tr`es facile `a calculer.

Proposition 3.3.3 Soit h_d,m(n) une suite v´erifiant la formule de r´ecurrence du lemme 3.3.2, i.e.

h_d,m(n) = h_d,m−1(n) − h_d−dm,m−1(n)

avec pour conditions initiales h_d,m(n) = M_d(n) si m = 0 ou d < min_k≤m{d_k}. Alors la s´erie g´en´eratrice de h_d,m(n) est

S_m,n(z) =^X d>0 h_d,m(n)z^d = m Y k=1 (1 − z^dk)^.(1 − z)ⁿ (3.3) D´emonstration En utilisant la formule de r´ecurrence on obtient :

X d>0 h_d,m(n)z^d = ^X d>0 h_d,m−1(n)z^d− zdm^X d>0 h_d,m−1(n)z^d = (1 − z^dm)^X d>0 h_d,m−1(n)z^d = m Y k=2 (1 − z^dk)^X d>0 h_d,1(n)z^d

66 Chapitre 3. Suites semi-r´eguli`eres. Complexit´e de F5. On a h_d,1(n) = M_d(n) − M_d−d1(n) ce qui donne X d>0 h_d,1(n)z^d = (1 − z^d1)^X d>0 M_d(n)z^d = ^{1 − z} d1 (1 − z)n. . 2

Corollaire 3.3.4 La s´erie de Hilbert d’une suite semi-r´eguli`ere de m polynˆomes homog`enes de degr´es respectifs d1, . . . , dm est

h m

Y

i=1

(1 − z^di)(1 − z)nⁱ (3.1) R´eciproquement, toute suite homog`ene de m polynˆomes de degr´es d<sub>1</sub>, . . . , d<sub>m</sub> ayant pour s´erie de Hilbert (3.1) est une suite semi-r´eguli`ere.

D´emonstration Tant que h_d,m(n) > 0, la fonction de Hilbert v´erifie la formule de r´ecurrence du lemme3.3.2, et les coefficients de la s´erie de Hilbert et de la s´erie (3.1) sont ´egaux. Consid´erons le premier d pour lequel le coefficient de la s´erie g´en´eratrice est n´egatif. Comme la suite est semi-r´eguli`ere, on a d =H(I) et tous les monˆomes sont atteints (sinon il y aurait une r´eduction `a z´ero avant le degr´e H(I)). Ainsi la fonction de Hilbert vaut z´ero pour d⁰ ≥ d, ce qui est aussi le cas pour les coefficients de la s´erie (3.1).

R´eciproquement, supposons que la suite f1, . . . , fm a pour s´erie de Hilbert la s´erie (3.1). Le d`eme coefficient HF_d,m,d

m(n) de la s´erie de Hilbert correspond au nombre de colonnes de la matrice M_d,m moins son rang. Si l’on note P

d≥0a_dzd la s´erie (3.3), alors adcorrespond au nombre de colonnes de Md,m moins le nombre de lignes, et tant que a_d> 0 on a HF_d,m,d

m(n) = a_d de sorte que la matrice M_d,m est de rang plein, il n’y a pas de r´eduction `a z´ero. Si a<sub>d</sub> ≤ 0, alors HF<sub>d,m,dm</sub>(n) = 0 de sorte que tous les monˆomes de degr´e d sont atteints et la suite est semi-r´eguli`ere. 2

3.3.2 S´erie de Hilbert d’une suite semi-r´eguli`ere sur F

Sur F2, le crit`ere g´en´eral et le crit`ere de Frobenius de l’algorithme F5-matriciel sont ind´ependants, ce qui permet comme dans le cas g´en´eral de compter exactement le rang de chaque matrice Md,m, et de d´eterminer la s´erie de Hilbert et l’indice de r´egularit´e de suites semi-r´eguli`eres homog`enes sur F2.

Lemme 3.3.5 Le nombre M_d(n) de monˆomes en x₁, . . . , x_n de degr´e d dans R^h_nest donn´e par la s´erie g´en´eratrice :

X d≥0 Md(n)z^d= (1 + z)ⁿ=^X d≥0 n d  z^d

Section 3.3 S´eries g´en´eratrices 67 Lemme 3.3.6 ´Etant donn´ee une suite f₁, . . . , f_m, tant qu’il n’y a pas de r´eduction `

a z´ero, la fonction de Hilbert HF_d,m,dm(n) v´erifie la formule de r´ecurrence : HF_d,m,dm(n) = HF_{d,m−1,dm−1}(n) − HF_d−dm,m,dm(n)

avec pour conditions initiales HFd,m,d_m(n) = Md(n) si m = 0 ou d < mink≤m{dk}. D´emonstration Comme toutes les matrices sont de rang plein, pour construire la matrice M_d,m `a partir de la matrice M<sub>d,m−1</sub>, il suffit d’ajouter toutes les lignes d’´etiquette (m<sub>l</sub>, f<sub>m</sub>) et de retirer un nombre de lignes ´egal au nombre de lignes de M<sub>d−dm,m</sub>, ce qui correspond `a l’application des crit`eres g´en´eraux et de Frobenius. Si l’on note U_d,m(n) le nombre de lignes de M_d,m, alors on a :

U_d,m(n) − U_d,m−1(n)

| {z }

# lignes de la forme m_lfmen degr´e d

= M_d−dm(n) | {z }

# monˆomes de degr´e d−dm

− U_d−dm,m(n) | {z }

(Crit`ere g´en´eral + Frobenius)

avec pour conditions initiales U_d,m(n) = 0 si m = 0 ou d < min_k≤m{d_k}. Comme HF_d,m,dm(n) = M_d(n) − U_d,m(n) alors HF_d,m,dm(n) − HF_{d,m−1,dm−1}(n) = U_d,m−1(n) −

Ud,m(n). 2

La s´erie g´en´eratrice associ´ee `a la formule de r´ecurrence du lemme3.3.6est simple `

a calculer :

Proposition 3.3.7 Soit h_d,m(n) une suite v´erifiant la formule de r´ecurrence du lemme 3.3.6, soit

h_d,m(n) = h_d,m−1(n) − h_d−dm,m(n)

avec pour conditions initiales hd,m(n) = Md(n) si m = 0 ou d < mink≤m{dk}. Alors la s´erie g´en´eratrice de h_d,m(n) est

S_m,n(z) = ^X d>0 h_d,m(n)z^d= (1 + z)^n. m Y k=1 1 + z^dk
(3.4) D´emonstration A partir de la formule de r´ecurrence on obtient :

X d>0 h_d,m(n)z^d = ^X d>0 h_d,m−1(n)z^d− zdm^X d>0 h_d,m(n)z^d et ainsi X d>0 h_d,m(n)z^d= _1+z¹_dm^X d>0 h_d,m−1(n)z^d= Qmk=2(¹1+zdk) X d>0 h_d,1(n)z^d

Nous avons h_d,1(n) = M_d(n) − h_d−d1,1(n) ce qui donne X d>0 hd,1(n)z^d= ¹ 1 + zd1 X d>0 Md(n)z^d= ^{(1 + z)} n 1 + zd1 . 2

68 Chapitre 3. Suites semi-r´eguli`eres. Complexit´e de F5. Corollaire 3.3.8 La s´erie de Hilbert d’une suite semi-r´eguli`ere de m polynˆomes homog`enes de degr´es respectifs d₁, . . . , d_m sur F2 est

h (1 + z)^n m Y i=1 (1 + z^di)ⁱ (3.2)

R´eciproquement, toute suite de m polynˆomes homog`enes de degr´es d<sub>1</sub>, . . . , d<sub>m</sub> ayant pour s´erie de Hilbert (3.2) est une suite semi-r´eguli`ere.

3.3.3 Calcul explicite de H(I) pour les suites semi-r´eguli`eres

Pour un syst`eme de dimension z´ero, le lemme suivant permet de calculer l’indice de r´egularit´e H(I) `a partir de la s´erie g´en´eratrice (sur un corps quelconque) : Lemme 3.3.9 Soit f₁, . . . , f_m une suite semi-r´eguli`ere ayant un nombre fini de solutions, notons S_m,n(z) = ^X

d>0

h_d,m(n)z^d sa s´erie g´en´eratrice. Alors ∀d ≤ H(I), h_d,m(n) = HF_d,m,dm(n) et H(I) est caract´eris´e par

(∀d < H(I), h_d,m(n) > 0) et h_H(I),m(n) ≤ 0

D´emonstration Comme la suite est semi-r´eguli`ere, pour d <H(I) il n’y a aucune r´eduction `a z´ero, de sorte qu’il y a plus de colonnes que de lignes et HF_d,m,d

m(n) = h_d,m(n) > 0 (il ne peut pas y avoir ´egalit´e `a z´ero par d´efinition de H(I)). Pour d =H(I), tous les monˆomes de degr´e H(I) sont atteints, le rang de la matrice est exactement ´egal au nombre de colonnes, et h_H(I),m(n) = # colonnes − # lignes ≤

# colonnes − rang = 0. 2

Il est donc tr`es facile de calculer H(I) `a partir des s´eries g´en´eratrices : il suffit d’´evaluer les premiers coefficients de la s´erie, jusqu’`a trouver le premier n´egatif.

Consid´erons par exemple le cas de n + 1 ´equations quadratiques. La s´erie g´en´ e-ratrice est S_n+1,n(z) = (1 + z)ⁿ(1 − z²) = 1 + nz + ¹ 2^{(n + 1)(n − 2)z} 2 +¹ 6^{n(n + 1)(n − 4)z} 3 +¹ 24^{(n − 1)n(n + 1)(n − 6)z} 4 + ¹ 120^{(n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n − 8)z} 5 + O(z⁶)

Le coefficient en z est n, qui est toujours positif, donc on a H(I) ≥ 1. Le coefficient en z² est ≤ 0 pour n ≤ 2, et > 0 pour n > 2, ce qui donne H(I) = 2 pour n ≤ 2 et H(I) ≥ 3 pour n > 2. Le coefficient en z3 a une racine positive 4, donc il est n´egatif pour 2 < n ≤ 4 et H(I) = 3, et positif pour n ≥ 5, et H(I) ≥ 4.

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