Description des m´ ethodes employ´ ees

po-lynˆomes en n variables. Nous esquissons les preuves du th´eor`eme 4.1.3. Enfin, dans la section 4.4.3 nous donnons d’autres exemples de d´eveloppements asymptotiques de la r´egularit´e pour des suites semi-r´eguli`eres sur F2, obtenus en utilisant l’une des deux m´ethodes pr´esent´ees.

Les r´esultats de ce chapitre ont ´et´e obtenus en collaboration avec Bruno Salvy. Ils ont fait l’objet d’une pr´esentation `a la conf´erence ICPSS en Novembre 2004 [BFS04]. Pour le cas particulier d’´equations `a coefficients et solutions dans F2 un article est disponible sous forme de rapport de recherche INRIA [BFS03].

4.2 Description des m´ethodes employ´ees

Nous d´ecrivons bri`evement deux m´ethodes qui permettent, sous certaines condi-tions, de calculer un d´eveloppement asymptotique d’une int´egrale de la forme

I = I

e^{tf (z)}g(z)dz, lorsque t → ∞.

Les deux m´ethodes consid`erent les points cols de la fonction `a int´egrer, qui sont les points z₀ tels que f⁰(z₀) = 0, et montrent qu’asymptotiquement, l’essentiel de l’int´egrale est concentr´ee au voisinage de ces points cols.

Nous donnons une description g´en´erale de la m´ethode du col section4.2.1. Dans le cas o`u la fonction f (z) est param´etr´ee, pour toute valeur fixe du param`etre λ la m´ethode du col va fournir un d´eveloppement asymptotique de l’int´egrale. Le probl`eme se pose lorsque, pour une valeur λ<sub>0</sub> du param`etre, deux cols coalescent. Dans ce cas, les approximations obtenues par la m´ethode du col pour λ 6= λ₀ ne tendent pas vers celle pour λ = λ0 : la m´ethode des cols ne donne pas d’ap-proximation uniforme au voisinage de λ = λ₀. Nous d´ecrivons Section 4.2.2 la m´ethode des cols coalescents de Chester-Friedmann-Ursell, qui permet de donner un d´eveloppement asymptotique uniforme au voisinage de λ0.

4.2.1 M´ethode du col

Un point col est dit d’ordre k si f(i)(z₀) = 0 pour 1 ≤ i ≤ k et f(k+1)(z₀) 6= 0. Un point col d’ordre 1 est appel´e point col simple. La m´ethode du col s’applique quel que soit l’ordre des points cols, mais nous la d´ecrivons dans le cas ou tous les cols sont simples (qui sera le cas rencontr´e dans nos applications).

D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy, on peut d´eformer le lacet d’int´egration sans changer la valeur de l’int´egrale. La m´ethode du col fait passer le lacet d’int´egration par certains points cols simples, et montre que l’int´egrale est essentiellement donn´ee par la somme des contributions de ces points cols, la contribution des autres parties

84 Chapitre 4. Analyse asymptotique de la r´egularit´e de suites semi-r´eguli`eres ´

etant asymptotiquement n´egligeable :

I ∼ ^X

z0 point col simple

e^{tf (z}0)

s 2π

−f00(z₀)t^{g(z0) (4.7)} Nous voyons sur cette formule que seuls les points cols pour lesquels |ef (z0)| est maximal vont contribuer asymptotiquement `a l’int´egrale.

D´ecrivons les trois ´etapes qui permettent d’obtenir la formule (4.7). Nous mon-trons successivement que :

1. Seules les parties du lacet au voisinage des cols contribuent asymptotiquement `

a l’int´egrale,

2. Au voisinage de ces points cols, la fonction sous l’int´egrale peut ˆetre approch´ee par une fonction gaussienne, int´egr´ee sur un voisinage de 0,

3. Cette fonction gaussienne peut ˆetre int´egr´ee sur R tout entier sans changer la valeur asymptotique de l’int´egrale.

Plus pr´ecis´ement :

1. Pour z voisin d’un point col z₀, on a f (z) = f (z₀) + ¹₂f⁰⁰(z₀)(z − z₀)2 + . . .. Choisissons la direction du lacet de sorte que ¹₂f⁰⁰(z₀)(z − z₀)² soit r´eel n´egatif au voisinage de z0. En faisant le changement de variable u² = −₂^tf⁰⁰(z0)(z − z0)², la variable u sera r´eelle au voisinage de u = 0 (disons dans l’intervalle (−, )). Le changement de variable s’´ecrit u =

q −t

2f00(z₀)(z − z₀), la racine ´etant choisie telle que du soit positif lorsque dz a la direction positive de circulation du lacet, et l’on se ram`ene `a l’int´egrale :

I = e^{tf (z}0)

Z  −

g(z(u))e^−u2+O(u3) s

2

−f00(z₀)t^{du + R}

0

o`u R<sup>0</sup> correspond `a l’int´egrale I sur le reste du lacet (en dehors du voisinage de z₀). 2. Nous obtenons alors une int´egrale r´eelle pour laquelle nous appliquons la m´ethode de Laplace, en approchant la fonction sous l’int´egrale :

I = e^{tf (z}0) s 2 −f00(z₀)t Z  − g(z₀)e^−u2du + R⁰+ R⁰⁰

o`u R<sup>00</sup> correspond `a l’erreur commise en approchant la fonction g(z(u))e^−u2+O(u3) par g(z₀)e^−u2 sur l’intervalle (−, ),

3. Nous ´ecrivons enfin I = e^{tf (z}0) s 2 −f00(z₀)t^g(z0) Z ∞ −∞ e^−u2du + R⁰ + R⁰⁰+ R⁰⁰⁰

Section 4.2 Description des m´ethodes employ´ees 85 o`u R⁰⁰⁰ est l’erreur commise en int´egrant la gaussienne sur tout l’intervalle R,

Il reste `a montrer que R⁰, R⁰⁰ et R⁰⁰⁰ sont asymptotiquement n´egligeables devant e^{tf (z}0)^q 2

−f00(z0)tg(z₀)^R_−∞^∞ e^−u2du ; on obtient alors la formule (4.7).

Pour obtenir les termes suivants du d´eveloppement asymptotique de I, il suffit d’approcher plus pr´ecis´ement g(z(u))e^−u2+O(u3) = (P

k≥0aku^k)e^−u2. On se ram`ene alors `a des sommes d’int´egrales de la forme

Z ∞ −∞ e^−tu2u^2k+1du = 0 pour k ≥ 0 (4.8) Z ∞ −∞ e^−tu2u^2kdu = ¹ tk+1/2Γ(k + ¹ 2^{) pour k ≥ 0} = ¹ tk+1/2 (2k)! k!22k √ π. (4.9)

4.2.2 M´ethode des points cols coalescents

Supposons maintenant que la fonction f (z) d´epende d’un param`etre λ, tel que pour λ 6= λ₀ on ait deux points cols z₀⁺ et z₀⁻, et pour λ = λ₀ un unique point col double z₀. En utilisant la m´ethode du col, on obtient un d´eveloppement asymp-totique en (tf⁰⁰(z₀^±))^−1/2 lorsque λ 6= λ₀ et en (tf⁰⁰⁰(z₀))^−1/3 lorsque λ = λ₀. Ces deux ´equivalents sont radicalement diff´erents : le premier devient singulier lorsque λ → λ₀, et t est d’ordre −1/2 dans le premier et −1/3 dans le second.

La m´ethode des cols coalescents [CFU57] donne un ´equivalent asymptotique de I uniforme, valable pour λ dans un voisinage de λ₀. L’id´ee est d’introduire un changement de variable cubique de la forme f (z) = ^u₃³ − ζu + η, pour se ramener `a l’int´egrale d’une fonction d’Airy (voir annexe A.4 page 146),

Ai(x) = ¹ 2iπ

Z

C1

e^v33 −xvdv

o`u C<sub>1</sub> est un chemin d’origine un point `a l’infini dans le secteur −^π₂ ≤ arg(v) ≤ −π

6 et de fin un point dans le secteur conjugu´e. Les constantes ζ et η d´ependent ´

evidemment de λ. Pour que le changement de variable soit r´egulier, les points cols z₀⁺ et z⁻₀ doivent correspondre aux points cols u^±₀ = ±ζ1/2 de la nouvelle fonction en u, et coalescer en u0 = 0 lorsque λ = λ0. Cela impose de choisir

ζ³2 = ³ 4^{(f (z} − 0) − f (z₀⁺)) et η = ¹ 2^{(f (z} − 0) + f (z₀⁺))

En choisissant bien le chemin d’int´egration au voisinage des points cols, et en sup-posant pour simplifier que g(z) = 1, nous obtenons

I = e^tη Z C1∩D e^t(u33 −ζu)dz(u) du ^{du + R} 0

86 Chapitre 4. Analyse asymptotique de la r´egularit´e de suites semi-r´eguli`eres o`u D est un voisinage de u^±₀ et R⁰ est l’int´egrale sur le reste du chemin. ´Ecrivons

dz(u) du ⁼

X

i≥0

(u²− ζ)i(b_i+ c_iu).

En int´egrant terme `a terme et en rempla¸cant le chemin C₁∩ D par C₁ entier, nous obtenons I = e^tη Z C1 X l≥0 e^t(u33 −ζu) (u²− ζ)^l(b_l+ c_lu)du + R⁰+ R⁰⁰⁰ I = e^tη2iπ " Ai(t²3ζ) t¹3 X 0≤m≤M B_m tm + ^Ai 0 (t²3ζ) t²3 X 0≤m≤M C_m tm # + R⁰+ R⁰⁰⁰+ R_M⁰⁰ (4.10)

o`u les coefficients B_m et C_mpeuvent s’exprimer en fonction des coefficients b_m et c_m (posons G₀(u) = _du^dz, alors pour tout m ≥ 0, on a G_m(u) = B_m+C_mu+(u²−ζ)H_m(u) et G_m+1(u) = dHm

du (u)).

Comme dans la m´ethode du col, pour prouver la formule (4.10) il faut mon-trer que R⁰, R⁰⁰_M pour tout M > 0 et R⁰⁰⁰ sont asymptotiquement n´egligeables. Les auteurs de [CFU57] prouvent, sous des hypoth`eses simples de r´egularit´e des fonc-tions int´egr´ees (par exemple elles doivent ˆetre analytiques en z et λ), que R⁰⁰⁰ est n´egligeable et que

∃C_M, D_M > 0 : |R⁰⁰_M| ≤ ^CM

tM +1/3| Ai(t²3ζ)| + ^DM

tM +2/3| Ai⁰(t²3ζ)|.