G´ en´ eration du plan d’exp´ eriences

Dans ce paragraphe, nous d´ecrirons les diff´erents aspects `a consid´erer lors de la g´en´eration de notre plan d’exp´eriences.

5.2.1 Espace de design Un hypercube

L’espace dans lequel se trouvent nos tests, ou espace de design, n’est pas juste un espace `

a six dimensions. En effet, certaines contraintes doivent ˆetre appliqu´ees `a nos param`etres afin de ne pas cr´eer de tests d´eg´en´er´es. On ´evitera ainsi les g´eom´etries telles celle repr´esent´ee `a la figure 5.3.

Figure 5.3 G´eom´etries d´eg´en´er´ees

Pour restreindre l’espace de design aux valeurs des param`etres qui nous int´eressent, nous devons imposer des contraintes `a l’algorithme qui cr´ee le plan d’exp´eriences. Malheureuse- ment, cette fonctionnalit´e n’existe pas dans la version 8 de JMP. Il a donc ´et´e choisi d’appli- quer les contraintes a posteriori :

1. On choisit un nombre N de tests amplement sup´erieur `a celui que l’on veut obtenir finalement.

2. On g´en`ere un plan de N exp´eriences dans l’espace de design non-restreint, hypercubique. 3. On ´elimine les tests g´en´er´es qui ne respectent pas les contraintes que l’on veut imposer. 4. Si le nombre de tests restants est insuffisant, on recommence le processus en augmentant

N .

En bref, nous avons invers´e les deux premi`eres ´etapes du diagramme 5.1.

Le choix des contraintes est ici crucial : c’est elles qui vont d´efinir les bornes de notre espace, et imposer ainsi des limites `a notre futur mod`ele.

Param`etres d’entr´ee du probl`eme

Il est n´ecessaire de bien choisir les six param`etres d’entr´ee de notre probl`eme. On pourrait facilement penser que les param`etres qui ont ´et´e choisis pour d´ecrire les exp´eriences effectu´ees en laboratoire sont judicieux pour g´en´erer notre plan d’exp´eriences, et d´ecrire nos simulations num´eriques.

Mais en pratique, alors que ces param`etres sont parfaitement adapt´es `a la description des donn´ees exp´erimentales, ils le sont beaucoup moins pour ce qui est des exp´eriences num´e- riques. Pour bien le comprendre, rappelons que les donn´ees de J.H. Lang ´etaient d´ecrites de la fa¸con suivante. Nous ferons ici abstraction de la pression en sortie de joint pour simplifier la formulation.

CQ = f  L c, H c , T c, R c, 1 √ Euθ , 1 Re  Avec CQ= Q c2q∆p ρ , _Re1 = η cq∆p_ρ et 1 √ Euθ = nc q _ρ ∆p.

Nous pouvons facilement constater que les facteurs _Re1 et √1

Euθ, ainsi que la r´eponse CQ

d´ependent tous les trois de la diff´erence de pression aux bornes du joint ∆p. Cela ne pose pas de probl`eme quand il s’agit de d´ecrire de mani`ere optimale les donn´ees exp´erimentales, puisqu’elle est alors connue. Mais dans le cas des simulations num´eriques, comme une condi- tion limite d’entr´ee de vitesse est utilis´ee, ∆p est le r´esultat final du calcul, et n’est donc pas connu a priori.

Nous ne pouvons donc pas d´ecrire les exp´eriences `a mener avec les mˆemes param`etres que ceux qui ont ´et´e utilis´es pour les r´esultats exp´erimentaux. Afin de simplifier le probl`eme et de diminuer le nombre de calculs interm´ediaires, nous utiliserons pour d´ecrire les conditions de l’´ecoulement les nombres de Reynolds axial Rez =

ρcQ_S

η et tangentiel Reθ = ρcωR

η .

Restrictions de l’espace

Pour ´eviter les d´eg´en´erescences, nous allons imposer plusieurs contraintes `a l’espace de design.

La plus ´evidente est de choisir des bornes pour nos param`etres : on ne va pas travailler sur un hypercube infini.

Ensuite, nous voulons ´eviter les g´eom´etries incoh´erentes comme celles de la figure 5.3. Nous allons donc borner le rapport de forme H_T de la cavit´e, ainsi que le rapport L_T, pour ´

eviter que la cavit´e ne prenne toute la longueur du joint test´e, ou inversement, qu’elle ne soit trop fine.

En plus de ces contraintes ´evidentes et g´eom´etriques, nous devons imposer des restrictions quant `a certains param`etres physiques de l’´ecoulement. Ainsi, la vitesse de rotation du rotor ne pouvant ˆetre extrˆemement grande par rapport `a la vitesse axiale de l’´ecoulement, le rapport

Reθ

Rez se doit d’ˆetre born´e.

Finalement, nous pouvons r´esumer les contraintes restreignant l’espace dans le tableau 5.1. Les valeurs num´eriques reprises dans ce tableau correspondent aux valeurs r´esultant des tests de validation du mod`ele (cf. tableau 4.7, page 51). On peut ´egalement choisir les valeurs ayant ´et´e utilis´ees lors des 99 tests men´es en laboratoire. N´eanmoins, cette s´erie de tests comportant des g´eom´etries d´eg´en´er´ees, il est n´ecessaire d’effectuer pr´ealablement un tri.

Ces contraintes permettent de restreindre l’espace de design aux tests dont nous savons qu’ils seront pertinents. On a en fait ici tronqu´e l’hypercube d’origine pour n’en garder que certaines zones.

Tableau 5.1 Contraintes impos´ees `a l’espace de design Type Contraintes Bornes 1153 ≤ Rez ≤ 60254 0 ≤ Reθ ≤ 74485 0 ≤ H ≤ 80 0 ≤ T ≤ 19 63 ≤ L ≤ 267 90 ≤ R ≤ 600 G´eom´etriques 0.1 ≤ H T ≤ 1.65 2 ≤ L T ≤ 9 Physique 0 ≤ Reθ Rez ≤ 9.69

L’application d’une de ces contraintes est repr´esent´ee pour un cas simplifi´e `a trois dimen- sions `a la figure 5.4. Espace non-contraint a ≤ L T ≤ b

⇒

Dans un espace `a six dimensions, l’espace contraint est plus complexe, mais le principe reste le mˆeme.

5.2.2 Plan d’exp´eriences g´en´er´e

Le plan d’exp´eriences g´en´er´e par JMP nous donne un tableau semblable au tableau 5.2. L’int´egralit´e de la liste des tests utilis´es est reprise en annexe C, page 115.

Tableau 5.2 Extrait du plan hypercube latin g´en´er´e par JMP Test Rez Reθ T H L R 1 60254.28 53562.21 60.22 15.58 177.57 393.71 2 26387.35 16738.19 44.04 13.02 262.1 141.57 3 27051.41 40171.65 25.17 7.69 191.27 101.46 .. . ... ... ... ... ... ... 34 19746.78 26781.1 54.83 7.26 241.54 577.08

Les tests list´es dans ce plan d’exp´eriences ont ´et´e simul´es afin d’obtenir 34 r´eponses permettant la cr´eation d’un mod`ele statistique.

5.2.3 Qualit´e du plan d’exp´eriences

Int´eressons nous rapidement `a l’application a posteriori des contraintes. Ayant tronqu´e une partie de l’espace pour obtenir notre espace de design ne contenant pas de g´eom´etries d´eg´en´er´ees, on peut constater que les propri´et´es de l’hypercube latin ne sont pas conserv´ees sur notre sous-espace. En particulier, l’homog´en´eit´e de la r´epartition des projections des tests sur les diff´erents axes de l’espace n’est plus v´erifi´ee.

5.3 Mod´elisation des joints labyrinthe