Equations de la m´ecanique des fluides

y^∗ Vitesse lin´eaire de pilonnement y/U˙ _∞

¨

y^∗ Acc´el´eration lin´eaire de pilonnement yc/U¨ _∞² θ^∗ Position angulaire de tangage θ θ˙^∗ Vitesse angulaire de tangage θc/U˙ _∞ θ¨^∗ Acc´el´eration angulaire de tangage θc˙ ²/U_∞²

2.1.2 Equations de la m´´ ecanique des fluides

Dans la section pr´ec´edente, les ´equations de mouvement de l’aile oscillante passive (´eq.

2.21 et 2.22) ont ´et´e formul´ees `a partir du principe fondamental de la dynamique. Dans l’inventaire des actions m´ecaniques ext´erieures agissant sur le syst`eme figurent celles des supports ´elastiques et celles de l’´ecoulement fluide sur l’aile. Ces derni`eres r´esultent de l’effet int´egral sur le profil des contraintes normales et de cisaillement, li´ees aux champs de pression et de vitesse de l’´ecoulement, respectivement.

Dans la pr´esente section, on introduira les principes fondamentaux de la m´ecanique des fluides qui nous permettrons de mod´eliser le comportement de l’´ecoulement autour de l’aile.

L’application des principes de conservation m`enera aux ´equations de Navier-Stokes. Ces derni`eres gouvernent les variations des champs de pression et de vitesse dans le milieu fluide, permettant ainsi le calcul des efforts hydrodynamiques agissant sur l’aile oscillante.

2.1.2.1 Le principe de conservation d’une propri´et´e φ

Soit un volume de contrˆole Ω `a l’int´erieur d’un domaine fluide, fix´e dans un r´ef´erentiel galil´een (O,x,ˆ y,ˆ z), conforme illustr´e par la figure 2.4. On notera Γ la fronti`ere de Ω. Soitˆ V~(t, x, y, z) le vecteur vitesse de l’´ecoulement et φ(t, x, y, z) une propri´et´e extensive du fluide au point (x, y, z) et `a l’instantt. `A partir d’une description eul´erienne, on s’int´eresse aux variations int´egrales (temporelle et spatiale) de la propri´et´eφ `a l’int´erieur du volume de contrˆole Ω. Ces variations sont dues `a deux ph´enom`enes distincts :

(i) La propri´et´eφ est advect´ee par la vitesse de l’´ecoulement V~ `a travers les fronti`eres Γ

ˆ

Figure2.4 – Repr´esentation du vecteur vitesseV~ et du vecteur unitaire ˆnnormale `a une surface infinit´esimale dΓ de la fronti`ere d’un volume de contrˆole Ω.

du volume de contrˆole ;

(ii) La propri´et´eφvarie intrins`equement `a l’int´erieur de Ω `a cause des termes sources et puits.

Le principe de conservation determine que la variation temporelle de la propri´et´e φ `a l’int´erieur du volume de contrˆole Ω est ainsi donn´ee par la somme de la quantit´e de φ advect´ee par l’´ecoulement vers l’int´erieur de Ω et la quantit´e de φproduite par les termes sources s_φ. On peut ´ecrire :

avec ˆn le vecteur unitaire normal `a l’´el´ement de surface dΓ, orient´e vers l’ext´erieur du volume Ω.

Par l’application du th´eor`eme de transport de Leibniz-Reynolds, l’op´erateur diff´erentiel temporel du premier terme de l’´equation 2.23 peut ˆetre d´eplac´e `a l’int´erieur de l’int´egrale car le domaine d’int´egration Ω ne varie pas dans le temps. En plus, d’apr`es le th´eor`eme de Green-Ostrogradski, le terme advectif peut ˆetre exprim´e en termes de l’int´egrale de la divergence du champ vectoriel φ~V sur le volume Ω.

L’´equation 2.23 s’exprime ainsi par une somme d’int´egrales sur le volume Ω ´equivalant `a z´ero. Ceci implique que la somme des int´egrandes doit ˆetre ´egalement nulle. On obtient :

∂φ

∂t +∇ ·~ (φ~V) +s= 0 (2.24)

avec ∇·~ l’op´erateur divergence.

Quelque soit la propri´et´e extensive φd’un fluide, sa variation ob´eit au principe de conser-vation exprim´e par l’´equation 2.24. Les ´equations d´ecrivant le comportement d’un fluide sont ainsi obtenues en rempla¸cant φpar ses propri´et´es extensives, notamment la masse, la quantit´e de mouvement et l’´energie.

2.1.2.2 Equations de Navier-Stokes´

On consid`ere, dans un premier temps, le principe de conservation appliqu´e `a la masse du fluide. ´Etant donn´e que le volume de Ω ne varie pas, cela implique la conservation de la masse volumique ρ sur Ω. Consid´erant l’absence de source ou puits de mati`ere `a l’int´erieur de Ω, le remplacement de φ parρ dans l’´equation 2.24 conduit `a l’´equation de continuit´e :

∂ρ

∂t +∇ ·~ (ρ~V) = 0 (2.25)

Si on se place dans la condition d’´ecoulement incompressible, la masse volumique ρ est constante au cours du temps et uniforme dans l’espace et l’´equation de continuit´e (´eq. 2.25) se r´eduit `a :

∇ ·~ V~ = 0 (2.26)

En pratique, l’hypoth`ese d’incompressibilit´e est valable si la vitesse de l’´ecoulement est inf´erieure `a un tiers de la vitesse de propagation du son dans le fluide. Cette hypoth`ese est amplement v´erifi´ee dans le cadre des ´ecoulements d’eau qui font objet de la pr´esente mod´elisation.

On applique, dans la suite, le principe de conservation (´eq. 2.24) `a la quantit´e de mouvement ρ~V du fluide. Cette fois-ci, l’existence d’un terme source non-nul ne contredit aucune loi physique. En effet, le terme source de quantit´e de mouvement correspond `a la somme des forces de volume et des forces de surface subies par le fluide.

Parmi les forces de volume, on consid`ere uniquement la force de la pesanteur au sein d’un champ gravitationnel d’acc´el´eration constante~g. Les forces de surface dues aux contraintes normales et de cisaillement sont d´ecrites par le tenseur des contraintes σ. En rempla¸cantφ par la quantit´e de mouvement ρ~V dans l’´equation 2.24 et en d´eveloppant le terme source, on obtient :

∂(ρ~V)

∂t +∇ ·~ (ρ~V ⊗V~) =∇ ·~ σ+ρ~g (2.27) avec ⊗ le produit tensoriel.

Le tenseur des contraintes σ peut ˆetre ´ecrit comme la somme des contraintes de pression (normales) et des contraintes visqueuses (tangentielles) comme il suit :

σ =−pI+τ (2.28)

avec p le champ scalaire de pression,I la matrice identit´e et τ le tenseur des contraintes visqueuses. La d´efinition du tenseur des contraintes visqueuses repose sur l’adoption d’une loi de comportement pour le fluide.

Dans les fluides dits newtoniens (ce qui est le cas pour la vaste majorit´e des fluides, y compris l’eau), une relation lin´eaire est observ´ee entre le tenseur des contraintes visqueuses

et le tenseur des d´eformations infinit´esimales. Pour un ´ecoulement incompressible, cette lin´earit´e s’exprime `a travers la viscosit´e dynamique du fluide µ comme il suit :

τ =µ

∇ ⊗~ V~ +

∇ ⊗~ V~T

(2.29) En r´eutilisant les r´esultats exprim´es par les ´equations 2.26 et 2.29, on peut r´e´ecrire l’´equation de la conservation de la quantit´e de mouvement pour l’´ecoulement incompressible d’un fluide newtonien. Il en suit :

∂ ~V

∂t +∇ ·~ (V~ ⊗V~) =−1

ρ∇~p+ν ~∇²V~ +~g (2.30) avec ν =µ/ρ la viscosit´e cin´ematique du fluide.

L’ensemble des ´equations 2.26 et 2.30 forme les ´equations de Navier-Stokes pour un

´ecoulement incompressible. Ce syst`eme d’´equations non lin´eaires aux d´eriv´ees partielles mod´elise la dynamique de l’´ecoulement au sein du syst`eme hydrolien `a l’aile oscillante passive, d´ecrivant les variations des champs de pression et de vitesse.

Enfin, l’application du principe de conservation (´eq. 2.24) `a l’´energie du fluide rajouterait une ´equation suppl´ementaire au syst`eme, d´ecrivant la variation temporelle du champ thermique de l’´ecoulement. Sous l’hypoth`ese d’´ecoulement incompressible, cette derni`ere

´equation reste d´ecoupl´ee de celles pour la conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement. De plus, les transferts thermiques dans les ´ecoulements qui font l’objet de la pr´esente mod´elisation sont suppos´es n´egligeables. Cette ´equation suppl´ementaire ne sera donc pas int´egr´ee au mod`ele.