Equation de la diffusion : d´emonstration `a partir de l’ETR

Nous avons ´etabli que la propagation de particules soumises `a une marche al´eatoire peut ˆetre d´ecrite par une ´equation de la diffusion. Cependant, on peut raisonnablement se demander si l’approche particulaire utilis´ee est n´ecessaire ou pertinente dans le cas de la lumi`ere. Nous allons voir ici que l’´equation de la diffusion peut ˆetre ´etablie directement `a partir de l’ETR, moyennant certaines hypoth`eses.

La d´emarche propos´ee ici (tir´ee de [Ishimaru 1999]) est tout `a fait analogue `a celle utilis´ee pour obtenir une ´equation de transport dans les gaz ou les plasmas `a partir de l’´equation de Boltzmann [Bittencourt 2004]. En calculant les N premiers moments de l’ETR, on obtient N ´equations liant les N + 1 premiers moments de la luminance. Il est alors n´ecessaire d’introduire une relation de fermeture, relation introduite sur une base arbitraire ou ph´enom´enologique, et liant le moment d’ordre N + 1 de la luminance aux moments d’ordre inf´erieur.

Moment d’ordre 0 de l’ETR

On cherche `a ´etablir une ´equation d’´evolution de la densit´e d’´energie ´electromagn´etique uω(r, t), qui n’est autre que l’int´egrale de la luminance sur les directions de l’espace. En r´ealisant cette int´egration dans les diff´erents membres de l’ETR, on obtient son moment d’ordre 0 : ∂ ∂tuω(r, t) + Z 4π u · ∇Lω(r, u, t)dΩ = − [κabs,ω+ κsc,ω] uω(r, t) +κsc,ω 4π Z 4π Lω(r, u0, t) Z 4π pω(u, u0) dΩ dΩ0 + Z 4π ηωdΩ (I.35)

o`u l’´eventuelle d´ependance spatiale et temporelle des coefficients de diffusion et d’absorp- tion a ´et´e omise par souci de concision. La d´efinition du vecteur flux radiatif (equation

I.2) nous permet de r´e´ecrire le second terme du premier membre : Z 4π u · ∇Lω(r, u, t)dΩ = ∇ · Z 4π u Lω(r, u, t)dΩ = ∇ · qω(r, t) (I.36) En utilisant le fait que l’int´egrale sur les directions de la fonction de phase vaut 4π, d’une part, que l’int´egrale du terme source est simplement la puissance S ´emise par unit´e de volume, il vient finalement pour le moment d’ordre 0 de l’ETR :

∂

∂tuω(r, t) + ∇ · qω(r, t) + vEκabs,ω(r, t) uω(r, t) = S(r, t) (I.37) On obtient ainsi une ´equation d’´evolution de la densit´e spectrale d’´energie uω qui fait intervenir le vecteur flux radiatif, moment d’ordre 1 de la luminance.

Moment d’ordre 1 de l’ETR

On peut it´erer le processus pr´ec´edent, en calculant le moment d’ordre 1 de l’ETR pour obtenir une ´equation liant le vecteur flux radiatif au moment d’ordre 2 de la luminance. Il vient : 1 vE ∂ ∂tqω(r, t) + Z 4π u [u · ∇Lω(r, u, t)] dΩ = − [κabs,ω+ κsc,ω] qω(r, t) +κsc,ω 4π Z 4π Lω(r, u0_{, t)} Z 4π u pω(u, u0_{) dΩ dΩ}0 (I.38) Pour des raisons de sym´etrie, la fonction de phase p(u, u0_{) ne d´epend que de l’angle} entre u et u0_{. Cela permet d’obtenir :}

Z

4π

u pω(u, u0) dΩ = u0 Z

4π

u0· u pω(u, u0) dΩ = 4πgu0 (I.39) En reportant dans le dernier terme de l’´equation I.38, on fait apparaitre le vecteur flux radiatif. Le moment d’ordre 1 de l’ETR s’´ecrit ainsi :

1 vE ∂ ∂tqω(r, t) + [κabs,ω+ κsc,ω(1 − g)] qω(r, t) = −∇ · Z 4π u ⊗ u Lω(r, u, t)dΩ (I.40) On obtient cette fois une ´equation d’´evolution du vecteur flux radiatif qui fait apparaitre dans son membre de droite le moment d’ordre 2 de la luminance.

Relation de fermeture : Approximation P1

Une relation de fermeture peut ˆetre obtenue en d´eveloppant la luminance sur une base de polynˆomes de Legendre. Ici, on suppose que la luminance est quasi isotrope - ce qui n’a bien sˆur de sens que dans des milieux de taille L grande devant le libre parcours moyen lsc. On se limite en cons´equence `a un d´eveloppement `a l’ordre 1. Ce d´eveloppement nous permet de lier le moment d’ordre 2 de la luminance aux moments d’ordres inf´erieurs. Il s’´ecrit :

Lω(r, u, t) = L0

ω(r, t) + 3

4πqω(r, t) (I.41)

On obtient ainsi, avec les deux premiers moments de l’ETR, un syst`eme ferm´e. En introduisant cette forme de la luminance dans l’´equation I.40, il vient :

1 vE ∂ ∂tqω(r, t) + [κabs,ω+ κsc,ω(1 − g)] qω(r, t) = − vE 3 ∇uω (I.42)

I.2 Le mod`ele diffusif 37

Loi de Fick et ´equation de la diffusion

Lorsque les variations du vecteur flux radiatif sont lentes devant le temps mis par la lumi`ere pour parcourir le libre parcours moyen – typiquement de l’ordre de la nanose- conde dans un nuage d’atomes froids passif - le premier terme de l’´equationI.42devient n´egligeable devant le second. On peut alors exprimer directement le vecteur flux radiatif par une loi de Fick :

qω(r, t) = −D ∇uω (I.43)

o`u le coefficient de diffusion D est donn´e par :

D = vE

3 [κabs,ω+ κsc,ω(1 − g)] (I.44)

Dans la limite de faible absorption (κabs,ω  κsc,ω(1 − g)), il se simplifie : D = vE ltr

3 (I.45)

On retrouve ainsi une l’expression du coefficient de diffusion obtenue via un mod`ele de marche al´eatoire markovienne (´equation I.27), dont la taille typique des pas est cette fois donn´ee par la longueur de transport ltr et non le libre parcours moyen lsc. Dans la suite, on consid`erera uniquement des diffuseurs isotropes et l’on ne distinguera plus ces deux longueurs. g vaut alors 0, de sorte que l’on peut r´e´ecrire le coefficient de diffusion :

D = vE lext

3 (I.46)

Finalement, on obtient `a partir de l’´equation de conservation de l’´energie I.37 et de la loi de FickI.43 :

 ∂

∂t−D∆ + vEκabs,ω(r, t) 

uω(r, t) = S(r, t) (I.47) Nous venons de montrer que l’´equation de transfert radiatif dans un milieu dif- fusant de taille grande devant le libre parcours moyen se ram`ene, moyennant plusieurs hypoth`eses (luminance quasi-isotrope, vecteur flux radiatif lentement variable) `

a une ´equation de la diffusion. En r´egime de diffusion isotrope, le coefficient de diffu- sion s’exprime alors en fonction de la vitesse de l’´energie et de la longueur d’extinction.

Conditions aux limites de l’´equation de la diffusion

L’´ecriture des conditions aux limites de l’´equation de la diffusion est quelque peu probl´e- matique ; en effet, la densit´e spectrale d’´energie hors du milieu n’est `a priori pas connue.

En revanche, on peut facilement ´ecrire des conditions aux limites sur la luminance. On montre ainsi qu’il est ´equivalent d’imposer l’annulation des luminances entrantes dans le milieu sur une surface donn´ee et d’´ecrire une condition d’annulation de la densit´e spectrale d’´energie `a une distance fix´ee d de cette surface[Case 1967]. Pour un milieu sph´erique passif de diam`etre L, form´e de diffuseurs isotropes, on a :

d= ξ 2ξ + L

lsc

L (I.48)

o`u ξ ' 0.71 est une constante. Finalement, lorsque la taille du milieu est grande devant le libre parcours moyen de diffusion, on peut simplement imposer uω = 0 sur la surface du milieu ; on d´ecrira ainsi les syst`emes non soumis `a un ´eclairage ext´erieur.