Pr´eparation du gaz

Le point de d´epart est le gaz quasi-2D produit dans le pi`ege quadrupolaire habill´e

par la radiofr´equence, d´ecrit en 2.2.6. Les fr´equences de pi´egeage, mesur´ees suivant

la proc´edure d´ecrite en 2.5, sont ω

x

= 2π×33 Hz, ω

y

= 2π ×44 Hz et µ/(~ω

z

) ∼

1.5. La d´etection se fait in situ suivant l’axe vertical, et la densit´e optique pic est

maintenue inf´erieure `a 6 en repompant seulement une petite fraction du nuage, de

l’´etat fondamental hyperfin F = 1 vers la transition cyclante utilis´ee pour l’imagerie.

Ainsi on limite les probl`emes de saturation de l’absorption (voir l’annexe A).

3.3.1 Analyse du bruit

On commence par analyser une s´erie de 27 images prises dans les mˆemes conditions

et sans exciter le nuage. Les images ne seront pas parfaitement identiques `a cause des

vibrations m´ecaniques, de la lumi`ere parasite, des fluctuations du nombre d’atomes. La

d´ecomposition PCA identifie toutes ces sources de bruit, comme l’illustre la fig. 3.2.

La figure3.2(c) repr´esente probablement les fluctuations du nombre d’atomes (voir

figure 3.3), les figures 3.2(b) et (d) indiquent des vibrations de la cam´era [108] et les

composantes suivantes (figures 3.2(e) `a (h)) refl`etent la pr´esence de franges

d’interf´e-rence dans le profil d’intensit´e de la sonde. Pour chacune de ces composantes, la valeur

propre correspondante indique son poids sur la variance totale.

3.3.2 Excitation du nuage et analyse des modes

Une excitation s´elective des modes est possible grˆace au contrˆole pr´ecis de la

g´eo-m´etrie du pi`ege, `a travers la radiofr´equence ou le champ magn´etique. Dans le but de

prouver que l’algorithme de la PCA associe chaque mode d’oscillation `a une composante

principale, on d´eplace le minimum du pi`ege, on tourne ses axes et on varie l´eg`erement

les fr´equences de pi´egeage, de fa¸con `a exciter un grand nombre de modes. Dans le

nou-veau pi`ege le gaz est ainsi hors ´equilibre et on enregistre son ´evolution en prenant des

images (133 en tout) apr`es diff´erents temps d’attente, couvrant un intervalle de temps

jusqu’`a 100 ms.

3.3 Pr´eparation du gaz 61

Figure 3.2 – Analyse du bruit en utilisant la PCA. Figure a : image moyenne

(61×61 pixels). Figures b `a l : les premi`eres 11 composantes principales, par ordre

de valeur propres d´ecroissantes. Le nombre entre crochets est la valeur propre de la

composante principale, exprim´ee comme fraction de la variance totale.

Noise analysis using PCA. Figure a : averaged image (61×61 pixels). Figures b through

l : the eleven largest principal components, sorted by decreasing eigenvalue. The number

in brackets is the eigenvalue of the principal component, expressed as a fraction of the

total variance.

On applique la PCA `a ce nouveau jeu de donn´ees. Le r´esultat, illustr´e dans la

figure3.4, montre que par rapport `a la figure3.2les composantes principales ont chang´e.

Les deux premi`eres (figure 3.4(b) et (c)) montrent deux lobes orient´es

respective-ment le long de deux axes orthogonaux : cela est caract´eristique de l’oscillation

dipo-laire. Ce mouvement du centre de masse est dˆu au d´eplacement du minimum du pi`ege

lors de l’excitation. La troisi`eme composante principale (figure 3.4 (d)) indique une

variation globale du signal, qui peut ˆetre interpr´et´ee comme une variation du nombre

total d’atomes. Cela est dˆu en partie `a la dur´ee de vie finie des atomes dans le pi`ege :

au fur et `a mesure que le temps d’attente dans le pi`ege final augmente on perd de

plus en plus d’atomes. La quatri`eme composante (figure 3.4 (e)) poss`ede le motif `a

4 lobes caract´eristique de l’excitation ciseaux [25]. Les lobes sont orient´es `a 45

◦

par

rapport aux axes du pi`ege (align´es avec les deux premi`eres composantes principales).

Les deux composantes suivantes (figure 3.4(f) et (g)) sont des modes de compression :

un minimum de densit´e au centre correspond `a un maximum de densit´e sur les bords

du nuage.

Les composantes principales sont pr´esent´ees par valeur propre d´ecroissante : elles

contribuent de moins en moins `a la variance totale. Pour ce jeu de donn´ees l’excitation

principale est l’oscillation du centre de masse, suivie par la r´eponse `a la rotation des

3.3 Pr´eparation du gaz 63

Figure 3.4 – Premi`eres composantes principales d’un jeu de donn´ees de 133

images (61×61 pixels). La figure a est l’image moyenne, et les images successives (b

jusqu’`a l) sont les composantes principales par ordre de valeur propre d´ecroissante.

Le nombre entre parenth`eses est la valeur propre correspondante, exprim´ee comme

fraction de la variance totale.

First principal components of an ensemble of 133 images (61×61 pixels sampling an

interval of 100 ms. Figure a is the mean, and the subsequent images (b through l) are the

first principal components sorted by decreasing eigenvalue. The number into brackets is

the corresponding eigenvalue, expressed as a fraction of the total variance.

Les composantes (f) et (g) de la figure3.4 sont les modes monopole et quadrupole.

On s’attendrait donc `a que leurs poids oscillent aux fr´equences propres de ces modes

qui, pour un pi`ege 2D anisotrope

3

, valent [116,117] :

ω

_M²

= ³

2^(ω

2 x

+ω

²_y

) +

r

ω

2 x

ω

2 y

+ ⁹

4^(ω

2 x

ω

2 y

)

2

, (3.5)

ω

_Q²

= ³

2^(ω

2 x

+ω

_y²

)

r

ω

2 x

ω

2 y

+⁹

4^(ω

2 x

ω

2 y

)

2

. (3.6)

Cependant, leur poids n’´etant pas suffisamment grands, on n’a pas r´eussi `a ajuster leurs

oscillations et identifier ces fr´equences. Les simulations num´eriques pr´esent´ees dans la

section 3.5 montreront qu’il s’agit bien du mode monopole et quadrupole.

3. Dans le cas d’un pi`ege 2D isotrope de fr´equenceω

0

ces fr´equences se simplifient `aω

M

= 2ω

0

et

ω

Q

=√

64 Modes collectifs d’un gaz 2D

Figure 3.5 – Les disques bleus repr´esentent le poids des deux dipˆoles et des

ci-seaux en fonction du temps. Les lignes noires sont leurs ajustements sinuso¨ıdaux.

L’´echelle verticale est arbitraire et ind´ependante pour chaque courbe. La premi`ere

composante principale peut ˆetre identifi´ee avec la plus forte direction de confinement

horizontale, oscillant `a 44 Hz, la deuxi`eme `a la plus faible direction de confinement,

correspondant `a une fr´equence de 33 Hz. La troisi`eme composante pr´esente une

oscillation plus compliqu´ee, `a 12 Hz, 55 Hz et 77 Hz. On estime avec la proc´edure

de fit une incertitude sur la fr´equence de 1 Hz.

Solid blue disks : time-dependent weight of the two dipoles and scissors components. Solid

black line : sinusoidal fit to the data. The vertical scale is arbitrary and independent for

each curve. The first principal component can be identified with the strongest horizontal

harmonic trap direction, oscillating at 44 Hz, the second to the weakest, corresponding

to a frequency of 33 Hz. The third component exhibits a more complicated behavior, with

oscillations at 12 Hz, 55 Hz and 77 Hz. The uncertainty of the frequency determination

is estimated at the 1-Hz level by the fitting procedure.

Dans le document Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidité et piège annulaire (Page 61-65)