3.7 Conclusion
4.1.3 Energie du pli unique 101 ´
Dans notre ´etude de l’origami capillaire, nous avons d´ecrit la d´eformation des membranes ´elastiques en terme de flexion. Nous avons ainsi consid´er´e que les d´efor- mations en jeu ´etaient isom´etriques (c’est `a dire qu’elles pr´eservent les distances). Dans son theorema egregium Gauss a montr´e qu’une transformation isom´etrique pr´eservait le produit des courbures principales (courbure de Gauss). Ainsi, les types de d´eformations isom´etriques possibles d’un plan sont tr`es limit´es : essentiellement des formes cylindriques ou coniques. Tout autre transformation d’un surface plane met donc en jeu de l’´etirement (ou de la compression).
portionnelle `a Eh3 alors que que l’´energie d’´etirement varie comme Eh. ´Etirer
une membrane tr`es fine est ainsi plus coˆuteux que de la courber. Cependant les conditions aux limites n’autorisent pas n´ecessairement la transformation d’une feuille plane en cˆone ou en cylindre. Si nous froissons une feuille de papier dans notre main (figure 4.9-a), nous observons une multitude de points singuliers dans lesquels les zones d’extension sont focalis´ees au point de d´eformer plastiquement le mat´eriau. En dehors de ces singularit´es, la feuille reste relativement d´evelop- pable. La focalisation des r´egions ´etir´ees n’est cependant pas g´en´erale. Aoyanagi et al. [68] ont par exemple mis en ´evidence des cloques de d´elamination obliques qui ne sont pas coniques tant que leur amplitude demeure mod´er´ee. La situation que nous ´etudions ici en est un autre exemple, pour une raison diff´erente. En effet, dans le cas d’une plaque comprim´ee d’une quantit´e , mais dont l’un des bords est encastr´e (ce qui est diff´erent de notre cas o`u la longueur d’onde certes petite mais finie) a ´et´e ´etudi´e [69], et il a ´et´e montr´e que la solution en cascade r´egu- li`ere (sans focalisation d’´energie au sens du froissement) est optimale du point de vue ´energ´etique [70]. Nous pouvons penser que ce r´esultat est pertinent pour nos cascades incompl`etes. Ces configurations pr´esentent alors une ´energie d’´etirement diffuse [70], comme l’indiquent des simulations num´eriques r´ecentes [71]. Nous l’in- terpr´etons en disant qu’il n’existe pas de surface isom´etrique permettant de passer d’une longueur d’onde `a une autre, mˆeme singuli`ere. On peut s’en convaincre en observant que mˆeme si l’on plie une feuille comme sur la figure 4.10a pour passer d’une longueur d’onde λ `a 2λ, en autorisant une courbure localement infinie, ce pliage est incompatible. La connexion entre les deux r´egions n´ecessite une ouver- ture sur la feuille de papier. Sans cette ouverture, la feuille serait en effet ´etir´ee. D’un point de vue quantitatif, cet ´etirement en direction de x est de l’ordre de α2,
o`u α ∼ A/Lp est la pente moyenne de la membrane dans la connexion entre les
deux longueurs d’onde (figure 4.10b).
L’´energie de la formation ´el´ementaire est donc donn´ee par :
Us ∼ Ehα4Lpλ. (4.4)
Il existe cependant d’autres d´eformations non-isom´etriques dans la zone de rac- cord entre les plis. En particulier des mesures du profil de la membrane d´eform´ee nous ont permis de d´eterminer que la crˆete du d´efaut parabolique poss`ede une
Figure 4.9 – Feuille comprim´ee `a la main : les zones ´etir´ees sont focalis´ees en des points singuliers, ce qui permet de pr´eserver une surface d´eveloppable malgr´e le grand changement topographique impos´e (a). Dans sa structure on peut trouver diff´erents types de singularit´es, des cˆones (b, clich´es extraits de [72]) et ridges (c, clich´es extraits de [73]).
courbure de Gauss non-nulle (figure 4.13). L’´energie de ce type de d´eformations a ´et´e consid´er´ee par Pogorelov [74] (voir aussi [70,75]) lors de son ´etude des d´efauts g´en´er´es lorsqu’une coque sph´erique (une balle de ping-pong par exemple) est en- fonc´ee (figure 4.12). Pogorelov a d´eriv´e une expression pour estimer l’´energie de cette structure qui est donn´ee par l’expression :
Usp ∼ Eh5/2β5/2r1/2, (4.5)
o`u β ∼ /r, d ´etant la profondeur du d´efaut, r le rayon du d´efaut et h l’´epaisseur de la coque. En analogie avec notre probl`eme d’´etude, nous trouvons que d/r ∼ A/Lp
et r ∼ ρ. Nous pouvons donc estimer l’´energie dans la point de nos d´efauts `a : Usp ∼ Eh5/2α5/2ρ1/2. (4.6)
Cependant, si nous comparons cette ´energie avec l’´energie d’´etirement de l’´equa- tion 4.4, nous trouvons Esp/Es ∼ (h/A)3/2, qui est de l’ordre de 0, 04 pour nos
exp´eriences. D´esormais nous n´egligerons les contributions ´energ´etiques dues `a la courbure gaussienne non nulle dans la crˆete des d´efauts.
`
A l’´energie d’extension s’ajoute l’´energie de flexion de la feuille. Nous d´eduisons `a partir de l’´equation 4.1 pr´esent´ee dans la section pr´ec´edente que l’´energie de
Figure 4.10 – (a) Illustration du doublement de la longueur d’onde par le pliage d’une feuille de papier. La feuille ´etant tr`es peu extensible, la transition n´ecessite une incision de la feuille. (b) Sch´ema de la zone de transition dans notre situation.
flexion int´egr´ee sur la longueur Lp s’´ecrit :
Ub = Eh3
A λ2
2
Lpλ. (4.7)
Comme comment´e pr´ec´edemment, l’´energie de courbure va favoriser les petites valeurs de Lp, car cela correspond `a passer plus rapidement vers une longueur
d’onde plus grande. En revanche, l’´energie d’´etirement sera d’autant plus faible que la transition est douce, c’est `a dire que Lpest grand. C’est donc la comp´etition
entre ces deux ´energies qui va d´eterminer l’extension de la transition de doublement de longueur d’onde. Finalement, si nous minimisons l’´energie totale Utot = Ub+ Us
par rapport `a Lp, nous obtenons :
Lp = λ
r A
h, (4.8)
ce qui est en tr`es bon accord avec nos r´esultats exp´erimentaux pr´esent´es dans la figure 4.6.
Cette loi d’´echelle avait ´et´e trouv´ee pr´ec´edemment dans des ´etudes sur la d´e- croissance d’une courbure impos´ee dans une feuille [77], ainsi que lors de l’estima- tion de la persistance du d´efaut apparaissant sur un paille flexible lorsqu’elle est pinc´ee `a une de ses extr´emit´es [78].
Figure 4.11 – Mesures de la courbure de gauss `a partir du profil de hauteur d’une feuille d´eform´ee. L’´epaisseur de la feuille est h = 50 µm. a) profil impos´e au bord A = 5 mm, λ = 24 mm, b) A = 3 mm, λ = 24 mm. Nous avons utilis´e une technique de profilom´etrie d´ev´elopp´e par Maurel et al. [76] pour r´ealiser les mesures du profil.