Endommagements

L’endommagement thermique du b´eton observ´e exp´erimentalement est en fait la

r´esultante de plusieurs m´ecanismes ´el´ementaires qui se produisent `a diff´erentes ´echelles.

Dans ce mod`ele on distingue deux composantes pour l’endommagement : la premi`ere

est l’endommagement thermique d’origine m´ecanique not´ee D_M (accompagn´e des

d´eformations) et appel´e ensuite “endommagement m´ecanique”, la seconde est

l’en-dommagement thermique d’origine physico-chimique not´e D_T (non accompagn´e de

d´eformations) et appel´e ensuite “endommagement thermique” qui est due

essentiel-lement `a la perte de rigidit´e du mat´eriau caus´ee par les transformations

physico-chimiques.

L’endommagement thermique est classiquement donn´e par l’´evolution du module

d’´elasticit´eEπ(T) en fonction de la temp´erature :

Di

T = 1− ^E

i(T)

Ei(T₀) ^{dans Ωi}

Dm

T = 1− ^E

m(T)

Em(T₀) ^{dans Ωm}

(2.79)

o`u T₀ est la temp´erature de r´ef´erence.

L’endommagement m´ecanique D_M est reli´e `a la d´eformation et peut ˆetre calcul´e

en utilisant les mod`eles d’endommagement classique Mazars [87, 88] ou MODEV [130,

102].

Mod`ele d’endommagement de Mazars Le mod`ele d’endommagement d´evelopp´e

par Mazars [87, 88] consid`ere que les microfissures sont provoqu´ees par les extensions

suivant les directions principales du tenseur de d´eformation. Pour d´ecrire le

comporte-ment du mat´eriau, Mazars a d´evelopp´e un mod`ele coupl´e en ´elasticit´e-endommagecomporte-ment

en ignorant toute manifestation de plasticit´e et de viscosit´e, il a postul´e que

l’endom-magement est responsable des modifications du comportement ´elastique du mat´eriau

mais n’est pas responsable de l’apparition des d´eformations permanentes. Son approche

consiste donc `a attribuer l’ensemble des ph´enom`enes `a une baisse de rigidit´e mat´eriau.

Afin de simplifier l’identification et les calculs de structure, et pour r´eduire le nombre

de variables, l’auteur a fait le choix d’une seule variable d’endommagement isotrope, ce

choix ne compromet pas la prise en compte de la dissym´etrie entre les comportements

de traction et de compression.

La d´eformation ´equivalente ˜ε est introduite pour traduire l’´etat local d’extension

d’un mat´eriau. L’endommagement apparaˆıt donc lorsque la d´eformation ´equivalente

at-teint un certain seuilK. Pour un ´etat d’endommagement donn´eD_M, le seuil d’´evolution

est exprim´e par :

f(ε_M, K) = ˜ε−K(D_M) = 0 (2.80)

avec K est une fonction qui repr´esente le seuil d’endommagement :

K =K(D_M) (2.81)

La forme propos´ee par Mazars pour ˜ε est la suivante :

˜

ε=

q

hε₁i²₊+hε₂i²₊+hε₃i²₊ (2.82)

o`uε₁,ε₂, etε₃ sont les trois d´eformation principales du tenseur ε_M, hε_ii₊ est la partie

positive de la d´eformation.

Pour le comportement dissym´etrique du b´eton, Mazars propose deux modes

d’en-dommagement D_T de traction et D_C de compression. La combinaison lin´eaire de ces

84 2.3. Mod´elisation m´ecanique `a l’´echelle m´esoscopique

D_M =α_TD_T + (1−α_T)D_C (2.83)

La d´etermination de α_T est effectu´ee en distinguant les extensions dues `a des

contraintes positives et celles dues `a des contraintes n´egatives :

α_T =^{XHiεT i(εT i+εCi)}

(˜ε)²







H_i = 0 si ε_i <0

Hi = 1 si εi >0

(2.84)

L’´evolution deD_T et D_C est de a la forme :

D_• = 1−^{εD0(1−A•)}

˜

ε_M ⁻

A_•

exp [B_•(˜ε_M −ε_D0)] ^(2.85)

o`u les coefficientsA_• (A_C etA_T) etB_• (B_C etB_T) sont des caract´eristiques du mat´eriau

d´etermin´es `a partir des essais de traction et de flexion,ε_M est la d´eformation ´equivalente

maximale atteinte, ε_D0 est le seuil d’endommagement.

Mod`ele d’endommagement MODEV Le mod`ele d’endommagement isotrope

MODEV d´evelopp´e par Ung et al. [130, 102, 123] pr´esente 2 modes

d’endommage-ment : un endommaged’endommage-ment par d´eformation d´eviatorique et un endommaged’endommage-ment par

extension sph´erique. Le tenseur de d´eformation totale est d´ecompos´e en une partie

sph´erique et une autre partie d´eviatorique responsables respectivement de

l’endomma-gement “sph´erique” et “d´eviatorique” :

ε_M =ε_s+ε_d (2.86)

ε_s = ¹

3^{tr(εM)δ (2.87)}

o`uε_M est le tenseur de d´eformation d’origine m´ecanique,ε_d est le partie d´eviatorique

du tenseur de d´eformation et ε_s est le partie sph´erique du tenseur de d´eformation.

L’endommagement “sph´erique” est activ´e si et seulement s’il y a l’extension. Dans

ce mod`ele, cet endommagement ´evolue quand il y a ´evolution de la d´eformation

hydrostatique positive. Tandis que l’endommagement “d´eviatorique” est consid´er´e

comme “permanent”. Contrairement `a l’endommagement sph´erique, l’endommagement

d´eviatorique existe `a la fois en extension et en confinement.

des processus irr´eversibles [80]. Le mod`ele est formul´e dans le cadre d’une

transfor-mation isotherme, un couplage endommagement ´elasticit´e entre les deux modes de

fissure a ´et´e consid´er´e. Un crit`ere non sym´etrique en d´eformation a ´et´e utilis´e. Par

analogie avec la d´eformation ´equivalente au sens de Mazars [87, 88], traduisant l’´etat

local d’extension d’un mat´eriau, deux nouvelles d´eformations ´equivalentes ont ´et´e

in-troduites, traduisant respectivement le glissement local dans les microfissures et l’´etat

d’extension hydrostatique. Elles sont respectivement calcul´ees `a partir des tenseurs de

d´eformations d´eviatoriques et sph´eriques. On a ainsi deux valeurs d’endommagement,

correspondant respectivement `a chacun des deux m´ecanismes de d´egradation. Chaque

endommagement, ayant sa propre loi, ´evolue lorsque sa d´eformation ´equivalente atteint

un certain seuilK. Pour chaque ´etat d’endommagement donn´eD_M, le seuil d’´evolution

est exprim´e par une loi d’´evolution de type :

ε_M =ε_d+ε_s =ε_d+ε_Hδ (2.88)

f_s(ε_M, K_s) = ˜ε_s−K_s(D_s) = 0 (2.89)

fd(εM, Kd) = ˜εd−Kd(Dd) = 0 (2.90)

o`uε_H est la d´eformation hydrostatique,K_s(D_s) etK_d(D_d) sont les fonctions seuil des

endommagements sph´erique et d´eviatorique.

La d´eformation sph´erique ´equivalente ˜ε_s et la d´eformation d´eviatorique ´equivalente

˜

εdtraduisant l’´etat local de glissement du mat´eriau sont d´efinies de la mani`ere suivante :

˜

ε_d=

q

(ε_d−ε_{d, an}) : (ε_d−ε_{d, an}) +αε_H (2.91)

ou bien :

˜

εd=^√εd, e :εd, e+αεH (2.92)

˜

ε_s =hε_Hi (2.93)

o`u α est un coefficient de couplage sph´erique - d´eviatorique identifi´e par des essais

(pour le b´eton, on peut prendre α= 2,1) et hXi= ^X+|X|

86 2.3. Mod´elisation m´ecanique `a l’´echelle m´esoscopique

Le seuil initial d’endommagement pour chaque type est identifi´e par des essais

´el´ementaires disponibles en traction uniaxiale et en cisaillement pur.

˜

ε_0s =K_0s(D_s= 0) = √^ft

3E^{(1−2ν) (2.94)}

˜

ε_0d=K_0d(D_d= 0) =

√

2f_cis

2G ⁼

√

2f_cis

E ^{(1 +ν) (2.95)}

o`u E,G, ν, f_t, f_cis sont respectivement le module d’Young, le module de cisaillement,

le coefficient de Poisson, la r´esistance en traction et la r´esistance en cisaillement pur

du mat´eriau qui d´ependent de la temp´erature.

L’endommagement global est d´eduit par combinaison des endommagements

corres-pondant `a chaque m´ecanisme :

D_M = 1−(1−D_s) (1−D_d) (2.96)

La pente de la partie adoucissante de la loi de comportement est li´ee `a l’´energie de

fissuration Gf afin d’assurer une objectivit´e vis-`a-vis `a la taille des ´el´ements [62, 117].

L’approche non locale permet d’introduire, l’´energie de fissuration G_f en fonction de

la temp´erature :

G_f = ^lc×(ft)

2

E ^(2.97)

Les ´evolutions de l’endommagement sph´erique et de l’endommagement d´eviatorique

adopt´ees sont adapt´ees avec celles de Mazars [87, 88] :

Ds = 1− ^ε˜0s

˜

ε_s ^{exp [−Bt(˜εs−ε˜0s)] (2.98)}

D_d= 1−exp [−B_c(˜ε_d−ε˜_0d)] (2.99)

o`uB_t, B_c, sont des coefficients de l’endommagement caract´eristiques du mat´eriau.

L’´ecrouissage de l’endommagement sph´eriqueB_t d´epend de l’´energie de fissuration

par unit´e de surface Gf, la taille caract´eristique des ´el´ements lc et la contrainte de

traction au pic f_t : B_t=f(l_c, f_t, G_f).

˙

ε_{s, an} =H

³

˙

D_s

´

µ_sf(D_s)ε˙_s (2.100)

˙

εd, an =H

³

˙

Dd

´

µdf(Dd)ε˙d (2.101)

o`u H

³

˙

D_s

´

et H

³

˙

D_d

´

sont les fonctions de Heaviside, µ_s et µ_d sont des

coeffi-cients d’h´et´erog´en´eit´e sph´erique et d´eviatorique, f(D_s) et f(D_d) sont des fonctions

repr´esentant l’´evolution de la d´eformation an´elastique sph´erique et d´eviatorique

iden-tifi´ees `a partir d’essais. D’ailleurs, µ_s, µ_d, f(D_s) et f(D_d) varient entre 0 pour un

mat´eriau homog`ene et 1 pour un mat´eriau h´et´erog`ene.

Dans le document Étude multi-échelle du comportement thermo-hydro-mécanique des matériaux cimentaires : approche morphologique pour la prise en compte de la mésostructure (Page 83-88)