Etude bibliographique
3. Etape de détection : Comparer les forces nodales avec les forces appliquées pour trouver les forces résiduelles dans la configuration déformée et vérifier la condition d’équilibre
1.3. Synthèse des éléments finis volumiques existants
1.3.2. Eléments volumiques avec degrés de liberté de rotation
Ces dernières années, une attention particulière a été portée aux éléments finis volumiques avec degrés de liberté de rotation. La présence de degrés de liberté de rotation améliore l’efficacité numérique des éléments volumiques standards. Bien que, plusieurs modèles d’élément fini hexaédrique, tétraédrique et prismatique avec ddl de rotation ont été développés pour la modélisation des solides et des structures tridimensionnelles.
1.3.2.1. Eléments hexaédriques
Les éléments iso-paramétriques hexaédriques sont les plus utilisés dans l’analyse des structures 3D. Quoi qu’ils présentent un inconvénient sérieux lors de leurs distorsions. Afin d’améliorer la précision des éléments finis linéaires classiques hexaédriques, un ensemble d’éléments ont été développés par plusieurs auteurs. L’utilisation de la formulation hybride des contraintes est la première approche proposée par Yunus et al. [46] pour le développement d’un élément hexaédrique avec ddl de rotation. Cet élément est intégré par un schéma de 14 points d’intégration. Les modes parasites associés à des rotations égales ne sont pas contrôler dans cet élément hybride.
Parmi les premiers travaux les plus cités dans la littérature sur l’application des ddl de rotation, on trouve également celui de Yunus et al. [47] qui ont développé deux éléments hexaédriques à 8 nœuds HEX8R et HEX8RX basés sur le modèle en déplacement avec 6 ddl (trois translations et trois rotations) par nœud pour les problèmes d’élasticité 3D. Ces éléments hexaédriques sous-intégrés sont formulés par la transformation des nœuds des milieux (m) des arêtes de l’élément iso-paramétrique hexaédrique à 20 nœuds a des termes de translations et de rotations aux nœuds des sommets i et j de l’élément. Cette formulation est exprimée par les relations ci-dessous qui représentent l’approximation des déplacements au nœud de milieu m :
jy iy
Ces éléments hexaédriques HEX8R et HEX8RX possèdent douze modes parasites apparaissent dans la matrice de rigidité élémentaire. Les six premiers modes de Hourglass sont causés par l’utilisation de l’intégration réduite et les six autres modes sont associés à des rotations égales. Ces modes sont éliminés par l’utilisation d’une technique originale de stabilisation qui consiste à généraliser la procédure proposée par MacNeal [7, 48] pour les éléments membranaires 2D.
En parallèle de ces travaux, Ibrahimbegovic et Wilson [49] ont proposé deux éléments hexaédriques IBR-M et IBR-D basés sur les fonctionnels de Hughes et Brezzi de type mixte (M-type) et de type déplacement (D-type). Les déplacements et les rotations sont supposés indépendants où la rotation proposée et la rotation obtenue de la dérivée du
21 déplacement sont égales. Trois modes bulle de déplacement sont pris dans les deux éléments et leur énergie de déformation est intégrée par la règle de 14 points d’intégration.
Plus tard, Sze et Ghali [50], dans un article paru en 1993, ont présenté un élément hexaédrique hybride à 8 nœuds avec ddl de rotation d’Allman. Cet élément HBR est également intégré par la règle de 14 points d’intégration et les modes parasites associés à des rotations égales sont contrôlés à l’aide de l’application de la même technique utilisée dans le fonctionnel D-type de Hughes et Brezzi.
Une autre approche postulant l’existence de ddl de rotation a été proposée par Ayad [12] en 2002 dans laquelle, pour améliorer la performance de l’élément hexaédrique classique à 8 nœuds, il a utilisé un nouveau concept baptisé SFR (Space Fiber Rotation).
Ce modèle est décrit par la rotation d’une fibre matérielle élémentaire dans l’espace.
L’utilisation de l’intégration réduite (2×2×2 PG) dans l’élément hexaédrique SFR8 engendre des modes parasites qui disparaissent après l’assemblage de deux ou plusieurs éléments. Ces travaux ont été repris plus tard par Zouari et al. [14] pour formuler une version piézoélectrique de cet élément puis par Ghomari et al. [15] pour les problèmes de contact. A noter que ces travaux basés sur le concept SFR, ne résolvaient pas la déficience du rang de la matrice de rigidité élémentaire par une méthode de contrôle de modes parasites. Très récemment, Ayad et al. [51] ont publié une version stabilisée de l’élément SFR8 utilisant une technique de stabilisation inspirée des travaux réalisés par Yunus et al.
[47]. Ces auteurs ont proposé aussi dans cet article une version non-conforme SFR8I de l’élément précédent. Dans ce nouveau, il exploite les trois modes incompatibles dans l’espace naturel de l’élément. Ces modes incompatibles sont éliminés par l’utilisation de la technique de la condensation statique. Un avantage peut se dégager de ce nouvel élément c’est que le verrouillage de Poisson ou d’épaisseur « Poisson’s ratio locking » est évité.
1.3.2.2. Eléments tétraédriques
Un autre type d’éléments finis volumiques, particulièrement utiles pour discrétiser les portions de structure pour lesquelles les éléments hexaédriques auraient à être trop distordus, est la catégorie des éléments tétraédriques. L’utilisation de ces éléments devient pratiquement inévitable dans l’analyse des structures complexes par la méthode des éléments finis. La simplicité de génération de maillage complètement automatique et leur aptitude à des géométries arbitraires complexes sont les principaux atouts de ces éléments volumiques.
Une vaste partie de la littérature a été consacrée à ce sujet, nous citons les plus importants. Un nombre d’éléments finis avancés de type tétraédrique à 4 nœuds avec degrés de liberté de rotation ont été développés. Une des premières réalisations dans ce sens est due à Pawlak et al. [52] qui ont développé l’élément TET4RX avec ddl de rotation basé sur la méthode de déformations postulée « assumed strain » avec quinze modes. Ce modèle possède trois ddl de translations et trois de rotations par nœud. Le champ des déplacements est obtenu à partir de l’élément tétraédrique à 10 nœuds utilisant les mêmes transformations présentées dans l’équation (1.33). Notons que cet élément est disponible dans la bibliothèque d’éléments finis du code commercial ANSYS sous le nom SOLID72.
L’élément TET4RX est intégré exactement avec un schéma de 4 points d’intégration et ne présente pas des modes parasites de Hourglass. Les 4 modes parasites associés à des rotations égales sont éliminés à l’aide d’une matrice de pénalité similaire à celle proposé par MacNeal et Harder [7] pour chaque face de tétraèdre. Cet élément est considéré par Sze et Pan [53] comme un élément hybride basé sur le principe variationnel de Hu-Washizu. Cependant, l’expérience numérique effectuée par Sze et Pan [53] à l’aide du
22 code commercial ANSYS a monté que l’élément TET4RX contient certains modes de déformation à énergie nulle non supprimés.
Parmi aussi les travaux intéressants, il faut citer en premier lieu ceux de Sze et Pan [53]
qui ont développé un élément tétraédrique hybride avec ddl de rotation d’Allman. Cet élément HT4R est amélioré à l’aide de la formulation en rotation basée sur les travaux originaires de Allman [3, 4] et Cook [6]. La transformation des nœuds de milieux des arêtes est aussi utilisée dans cet élément où le champ de déplacements s’écrit comme suit :
Cette approche soufre également de quatre modes parasites. Les techniques de stabilisation utilisées dans cet élément pour contrôler les modes parasites sont appuyées sur l’utilisation des quatre modes de contraintes symétriques. Selon ces auteurs, on peut distinguer que l’élément HT4R est un TET4RX amélioré et ne présente pas des modes de déformation non supprimés.Il est intéressant de noté que les deux éléments finis avancés tétraédriques à 4 nœuds TET4RX et HT4R avec ddl de rotation sont obtenus à partir de l’élément sub-paramétrique tétraédrique à 10 nœuds. Les ddl de rotation sont introduits en reliant les déplacements des nœuds milieux des arêtes aux déplacements et rotations des nœuds des sommets, les nœuds des milieux des arêtes de l’élément tétraédrique à 10 nœuds sont éliminés. Ces éléments avancés tétraédriques à 4 nœuds avec ddl de rotation améliorent remarquablement la solution donnée par l’élément classique tétraédrique à 4 nœuds, mais reste un peut loin de la précision donnée par l’élément tétraédrique à 10 nœuds. Plus tard, Matsubara et al. [54]
ont adapté une autre approche simple pour construire un élément tétraédrique à 4 nœuds avec ddl de rotation. Cette approche consiste à utiliser les approximations des déplacements suivantes :
23 Récemment, Tian et Yagawa [55] ont développé un élément tétraédrique quadratique GNTet4 avec 4 nœuds aux sommets utilisant l’approche des nœuds généralisés qui est la suite de l’idée d’approximation par éléments finis de la partition de l’unité « partition-of-unity ». L’avantage de cet élément GNTet4 est que la précision de calcul est augmentée par rapport aux éléments TET4RX [52] et HT4R [53] et offre une précision meilleure que l’élément classique tétraédrique à 10 nœuds [56]. De plus, les quatre modes parasites à énergie nulle peuvent être facilement supprimés par l’application d’une technique spécifique qui consiste à utiliser un traitement des conditions aux limites essentielles.
Tian et al. [57] ont continué les travaux de Tian et Yagawa [55] en menant des études plus détaillées avec une analyse comparative des travaux exposés dans les références [52-55] sur les éléments finis avancés tétraédriques à 4 nœuds. De plus, les auteurs ont proposé un élément tétraédrique à 4 nœuds RGNTet4 basé sur la méthode « Reduced Generalized nodes ». Les auteurs de cet article ont conclu que l’élément tétraédrique RGNTet4 avec ddl de rotation à un ordre intermédiaire entre linéaire et quadratique et l’approximation du champ des déplacements de ce modèle est considérée super-linéaire. Des études très complètes, résumées dans le tableau 1.1, ont été menées afin de comparer l’efficacité numérique des différents types d’éléments tétraédriques présentés ci-dessus. Ce tableau, inspiré des références [55, 57], indique la forme et la formulation de ces éléments. Cette comparaison est reposante sur l’ordre d’interpolation et la précision de la solution obtenue par ces éléments, en tenant compte de la facilitée d’utilisation dans la génération du maillage.
Forme Elément Formulation Ordre Génération du maillage Précision
Tet4
Génération du maillage est complètement automatique
Faible
En général, le raffinement du maillage est recommandé
GNTet4
Génération du maillage est complètement automatique
u Super-linéaire
Excellant
Génération du maillage est complètement automatique
Excellant
TET4RX HT4R
Equation (1.33)
Equation (1.34) linéaire Excellant Intermédiaire
TET4<TET4RX/HT4R<<TET10
Mauvais dans le remaillage
Excellant
u Quadratique mauvais Excellant
Tableau1.1. Comparaison des éléments tétraédriques avec ddl de rotation
24 1.3.2.3. Eléments prismatiques
Il existe une quantité assez impressionnante d’articles sur les formulations d’éléments finis de type hexaédrique et tétraédrique avec degrés de liberté de rotation et il existe peu d’études sur la classe des éléments finis prismatiques. Ce problème est de grande importance pour les applications industrielles, car de nombreuses structures de géométrie complexe nécessitent l’utilisation de maillages volumiques non-structurés qui incluent forcément des éléments finis prismatiques. A cet égard, une formulation d’un élément prismatique basé sur le modèle SFR (Space Fiber Rotation) avec degrés de liberté de rotation à été présenté par Meftah et al. [58]. Cet élément présente un degré de robustesse réellement satisfaisant.