Formulation du modèle SFR Non linéaire géométrique
5.5. Validation numérique des éléments SFR non linéaires
5.5.2. Coque cylindrique sans diaphragmes soumise à une force ponctuelle
La figure 5.6 montre une coque cylindrique sans diaphragmes soumise à une charge concentrée. Ce cas test a été étudié par Sze et al. [285, 286] et Ooi et al. [114] . Le problème est doublement symétrique, nous avons donc étudiés seulement un huitième de la structure.
Figure5.6. Coque cylindrique soumise à une force ponctuelle. Géométrie, chargement et conditions aux limites [285]
La coque est libre sur le côté CD et soumise à un chargement concentré P au point A suivant la direction verticale Oz (figure 5.6). La force P est appliquée par incréments successifs pour aller de 0 à Pmax. Nous avons utilisé dans ce test un maillage de (32×32×1)×2 éléments prismatiques SFR6 et 32×32×1 éléments hexaédriques SFR8. Les courbes charge/déplacement du point A suivant Oz obtenues avec les éléments SFR6 et
Données :
L = 10.35, R = 4.953, h = 0.094
×6 , 0.3125 Chargement :
Pmax = 18000
165 SFR8 sont représentées respectivement sur les figures 5.7 et 5.8. Ces résultats sont comparés avec les résultats obtenus par :
- Les éléments volumiques standards W6 et H8 avec un maillage de (32×32×1)×2 et 32×32×1 éléments respectivement,
- L’élément hybride-contrainte « Hybrid-stress » proposé par Sze et al. [286] avec un maillage de 8×12 ; l’élément coque S4R avec un maillage de 24×36 (Sze et al. [285]), - L’élément quadratique hexaédrique à 20 nœuds standard HEXA20 (les résultats sont
présentés dans la référence [114]),
- L’élément hexaédrique à 20 nœuds « unsymmetric » US-HEXA20 présenté par Ooi et al. [114] avec un maillage de 8×12,
- Le modèle développé par Gruttmann et al. [287].
Nous remarquons que les éléments SFR donnent des résultats bien satisfaisants. La courbe charge/déflexion obtenue par l’élément SFR6 coïncide avec la solution obtenue par l’élément HEXA20 et comparable avec la solution obtenue par Gruttmann et al. [287].
Les conclusions concernant cet exemple sont similaires à celles de l’exemple précédent, avec une fois de plus un grand avantage pour les éléments SFR par rapport aux éléments standards W6 et H8 dans ce cas précis. On peut aussi remarquer de nouveau que, pour une précision égale, l’élément SFR8 nécessite un maillage plus fin que l’élément SFR6. La figure 5.9 illustre le maillage initial et déformé du quart de la coque cylindrique à l’incrément Pmax = 18000.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
WA
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Load(x1000)
HEXA20
Gruttman et al.
Sze et al.
US-HEXA20 W6
SFR6
Figure5.7. Déflexion WA de la coque cylindrique soumise à une charge ponctuelle.
Résultats de l’élément SFR6
166
0 0.5 1 1.5 2 2.5
WA
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Load(x1000)
HEXA20
Gruttman et al.
Sze et al.
US-HEXA20 H8
SFR8
Figure5.8. Déflexion WA de la coque cylindrique soumise à une charge ponctuelle.
Résultats de l’élément SFR8
Figure5.9. Configuration initiale et déformée du quart de la coque cylindrique soumise à une charge maximale Pmax = 18000
167 5.5.3. Panneau cylindrique soumis à une charge concentrée
Dans cet exemple, nous présentons un test bien connu et largement cité dans la littérature. Il s’agit d’un panneau cylindrique soumis à une charge ponctuelle avec deux épaisseurs (t = 12.7 mm et 6.35 mm). Les données géométriques et du matériau sont représentées sur la figure 5.10. Les côtés rectilignes sont simplement appuyés et immobiles (déplacements nuls, rotations libres); les côtés curvilignes sont totalement libres. Grâce à la symétrie du problème, nous discrétisons seulement un quart de la structure avec des maillages réguliers de 25×25×2 éléments SFR8 et (25×25×2)×2 éléments SFR6. Deux éléments volumiques sont utilisés à travers l’épaisseur afin de reproduire les conditions aux limites de type coque (appui simple sur la ligne moyenne).
Les stratégies de calcul utilisées dans ce cas test sont :
- Pour le panneau épais (t = 12.7 mm) nous avons utilisé le pilotage en déplacement.
- Pour le panneau mince (t = 6.35 mm) nous avons utilisé le pilotage en déplacement imposé jusqu’à WA = 6 mm et aussi le pilotage en longueur d’arc.
Les courbes charge/déplacement des éléments SFR6 et SFR8 pour le panneau d’épaisseur de 12.7 mm sont présentées respectivement sur les figures 5.11 et 5.12. Les résultats des déplacements obtenus par les éléments SFR sont donnés dans le tableau 5.3.
Ces résultats sont comparés à ceux obtenus avec les éléments volumiques standards prismatique à 6 nœuds W6 et hexaédrique à 8 nœuds H8 et avec la solution de référence tirée du travail de Klinkel et Wagner [149]. Ce dernier est obtenue avec un élément hexaédrique à 8 nœuds basé sur la méthode EAS « enhanced assumed strains ». Nous avons également comparé nos résultats avec ceux obtenus par l’élément coque à 4 nœuds proposé par Wagner [288] et l’élément solide-coque prismatique à 6 nœuds SHB6_Bar [21, 289, 290]. La comparaison entre les résultats des éléments SFR et la solution de référence démontre la capacité du modèle SFR à fournir des résultats très précis avec une efficacité beaucoup plus importante par rapport aux éléments finis volumiques standards.
Ces résultats sont en bon accord avec ceux obtenus avec l’élément coque présenté dans la référence [288] et très proches des résultats obtenus par Klinkel et Wagner [149].
Figure5.10. Panneau cylindrique soumis à une force ponctuelle
Données :
R = 2540 mm, L = 254 mm t = 12.7 mm et 6.35 mm
= 0.1 radian
/mm², 0.3 Chargement :
Pmax = 3000 N
z
x y A
168 Déplacement
WA (mm)
P (N) 3D-EAS
[149]
Coque [288]
W6 H8 SHB6_Bar
[21]
SFR6 SFR8
2 706 730 744.03 773.67 651.97 699.88 717.16
4 1273 1315 1342.35 1400.67 1189.92 1264.57 1296.63
6 1707 1760 1798.23 1886.19 1616.83 1702.73 1743.58
8 2007 2066 2108.05 2229.22 1930.47 2013.16 2056.14
10 2160 2221 2257.55 2418.80 2119.03 2182.66 2220.27
12 2129 2189 2216.73 2427.47 2151.30 2166.77 2191.89
14 1827 1876 1942.38 2189.41 1948.47 1895.39 1884.51
16 1180 1178 1445.96 1734.21 1316.44 1359.78 1296.61
18 677 654 960.15 1239.58 527.37 779.24 680.78
20 592 782 815.54 1146.83 339.53 740.39 677.79
Tableau5.3. Panneau cylindrique épais (t = 12.7 mm)soumis à une charge concentrée.
Forces P pour différents déplacements WA
0 5 10 15 20 25 30
Central deflection 0
500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000
Load, P
Wagner W6 SHB6 Bar Klinkel/Wagne r SFR6
Figure5.11. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique épais (t = 12.7 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR6
169
0 5 10 15 20 25 30
Central deflection 0
500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500
Load, P
Wagner H8 SHB6 Bar Klinkel/Wagne r SFR8
Figure5.12. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique épais (t = 12.7 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR8
Les courbes charge/déplacement des éléments SFR6 et SFR8 pour le panneau d’épaisseur de 6.35 mm sont présentées respectivement sur les figures 5.13 et 5.14. Les résultats des éléments SFR sont comparés dans ce cas avec ceux obtenus par les éléments :
- Hexaédrique à 20 nœuds US-HEXA20 proposé par Ooi et al. [114], - Coque triangulaire de Kuo-Mo Hsiao [291],
- Coque triangulaire avec 24 ddl proposé par Meek et Tan [292], - Coque/plaque triangulaire de Zhang et Cheung [293].
Les résultats de l’élément quadratique hexaédrique standard à 20 nœuds du code de calcul ANSYS obtenus par Ooi et al. [114] sont utilisés dans ce cas comme une solution de référence. On trouve que les résultats sont en accord satisfaisants avec la solution de référence. La performance des éléments SFR est comparable avec les solutions obtenues par ANSYS et par l’élément US-HEXA20. De plus, les résultats des éléments SFR sont conformes aux résultats obtenus par les éléments proposés par Kuo-Mo Hsiao [291] et Zhang et Cheung [293]. Ces résultats des éléments SFR montrent la capacité de ces modèles à traiter les problèmes de coques minces avec non linéarités géométriques.
Finalement, des études antérieures [255, 285] montrent que le comportement du panneau mince (t = 6.35 mm) change complètement et montre nettement des points de retour en charge et en déplacement (snap-through/snap-back), ce qui rend insatisfaisant le pilotage en déplacement (divergence des résultats). On effectue alors dans ce cas un pilotage en longueur d’arc. Les courbes charge/déplacement obtenues par les éléments SFR avec, cette fois-ci, un maillage de 15×15×2 éléments SFR8 et (15×15×2)×2 éléments SFR6 sont rapportées dans les figures 5.15 et 5.16. On compare nos résultats à ceux obtenus par Sze et al. [285] avec un maillage de 24×24 éléments coques S4R de Abaqus. Les éléments SFR montrent dans cet exemple une grande efficacité et une bonne précision pour l’analyse des structures dans le domaine non linéaire géométrique en présence de fortes
170 instabilités. Ils sont aptes à représenter les deux points limites de déplacements (l’erreur maximum est 0.12% pour l’élément SFR6 et 0.02% pour l’élément SFR8) et les deux points de charges limites (l’erreur maximum est 0.15% pour l’élément SFR6 et 0.08% pour l’élément SFR8). Ces éléments ont captés de façon précise les phénomènes de pré-flambement et de post-pré-flambement.
0 1 2 3 4 5 6 7
Central deflection, w (mm)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
Load, P (kN)
Hsiao
M eek and Tan Zhang and Cheung US-HEXA20
ANSYS (20 X 20) SFR6
Figure5.13. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR6 (pilotage en déplacement)
0 1 2 3 4 5 6 7
Central deflection, w (mm) 0
0.1 0.2 0.3 0.4
Load, P (kN)
Hsiao
M eek and Tan Zhang and Cheung US-HEXA20
ANSYS (20 X 20) SFR8
Figure5.14. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR8 (pilotage en déplacement)
171
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Central deflection (x10) -0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Load, P (x1000)
Sze et al.
SFR6
Figure5.15. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR6 (pilotage en longueur d’arc)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Central deflection (x10) -0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Load, P (x1000)
Sze et al.
SFR8
Figure5.16. Courbes charge/déflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis à une force ponctuelle. Résultats de l’élément SFR8 (pilotage en longueur d’arc)
172 5.5.4. Coque sphérique soumise à une force ponctuelle
Ce dernier exemple non linéaire géométrique consiste en une coque sphérique soumise à un effort concentré suivant l’axe Z (= –P) en son centre (figure 5.17). En raison des conditions de symétrie, seulement un quart de la structure a été modélisée avec un maillage régulier de (5×5×2)×2 éléments SFR6 et 5×5×2 éléments SFR8. Ces maillages sont constitués de deux éléments suivant l’épaisseur pour les mêmes raisons que celles évoquées dans l’exemple précédent. Ce problème est déjà étudié par Thomas et Gallagher [294] et Ooi et al. [114].
Figure 5 .17. Coque sphérique soumise à une charge concentrée
Dans un premier lieu on effectue un pilotage en charge, en multipliant la force par un facteur de charge λ prenant les valeurs entre 0 et 40 avec un pas de 5. Ce pilotage est utilisé pour faciliter la comparaison avec l’exemple étudié par Ooi et al. [114].
Les courbes charge/déplacement des éléments SFR6 et SFR8 sont décrites respectivement dans les figures 5.18 et 5.19. Dans ces figures les résultats des éléments SFR sont comparés avec ceux obtenus par :
- L’élément plaque/coque triangulaire proposé par Zhang et Cheung [293] avec un maillage de 4×4;
- L’élément coque parabolique courbé présenté par Surana [51] avec un maillage de 2×2;
- L’élément hexaédrique à 20 nœuds US-HEXA20 proposé par Ooi et al. [114] avec un maillage de 4×4×1.
La solution de l’élément hexaédrique à 20 nœuds de l’ANSYS obtenue par Ooi et al.
[114] avec un maillage de 20×20 est utilisée comme une solution de référence. Les résultats des éléments SFR sont comparables à ceux obtenus par les autres éléments et ils montrent un bon accord avec la solution de référence.
Données :
R = 2540 mm, a = 784.9 mm h = 99.45 mm
= 36°
/mm² , 0.3
R
R x
y z
2a
2a
h P
173
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Central deflection, w (mm) 0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Load, P (kN)
Surana
Zhang/Cheung US-HEXA20 ANSYS (20X20) SFR6
Figure 5 .18. Courbes charge/déplacement de la coque sphérique. Résultats de l’élément SFR6 (pilotage en charge)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Central deflection, w (mm) 0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Load, P (kN)
Surana Zhang/Cheung US-HEXA20 ANSYS (20X20) SFR8
Figure5.19. Courbes charge/déplacement de la coque sphérique. Résultats de l’élément SFR8 (pilotage en charge)
(5×5×2)×2
(5×5×2)
174 Le comportement de la coque sphérique change et montre des points de retour en charge (snap-through). Des analyses antérieures [293, 294] montrent que ce problème présente un phénomène de flambement, ce qui rend insatisfaisant le pilotage classique en charge. On effectue alors dans ce cas un pilotage en déplacements imposés, en contrôlant le déplacement des points sous la charge. Pour ce pilotage, on fait varier le déplacement de 0 jusqu’à 300 mm par incréments de 10, soit 30 pas de pilotage.
Les courbes charge/déplacement des éléments SFR6 et SFR8 sont décrites dans les figures 5.20 et 5.21. La solution analytique obtenue par Leicester [295] basée sur la théorie des coques surbaissées « shallow shell theory » est considérée comme solution de référence dans ce cas. Les résultats obtenus par l’élément coque triangulaire proposé par Thomas et Gallagher [294] avec un maillage de 3×3 (18 éléments triangulaires) et l’élément quadrilatéral à 16 nœuds « 16-node element » avec une intégration de 4×4×2 PG [294] sont également utilisés pour la comparaison. Les courbes charge/déplacement des éléments SFR montrent un bon accord avec la solution analytique de référence et la valeur de point de retour en charge est reproduite avec une précision acceptable par ces éléments SFR. De plus, les résultats de l’élément prismatique SFR6 reportés dans la figure 5.20 montrent que cet élément donne des résultats pratiquement identiques à ceux obtenus avec l’élément coque triangulaire proposé par Thomas et Gallagher [294]. Pour l’élément hexaédrique SFR8, il semble être un peu moins précis mais ces résultats sont proches de ceux obtenus avec l’élément quadrilatéral à 16 nœuds présenté dans [294].
Enfin, et de même que pour le premier et le deuxième exemple, nous avons présenté le maillage initial et déformé du quart de la coque sphérique pour différents incréments de chargement dans les figures 5.22, 5.23 et 5.24.
0 50 100 150 200 250 300
Central deflection, w(mm) 0
10 20 30 40 50 60 70
Load, P (kN)
Leicester
Thomas/Gallagher SFR6
16-node element
Figure 5 .20. Courbes charge/déplacement de la coque sphérique. Résultats de l’élément SFR6 (pilotage en déplacement)
175
0 50 100 150 200 250 300
Central deflection, w(mm) 0
10 20 30 40 50 60 70
Load, P (kN)
Leicester
Thomas/Gallagher SFR8
16-node element
Figure5.21. Courbes charge/déplacement de la coque sphérique. Résultats de l’élément SFR8 (pilotage en déplacement)
P/4
Figure5.22. Maillage initial du quart de la coque sphérique (P = 0)
176
P/4
Figure5.23. Maillage déformé du quart de la coque sphérique soumise à une charge P = 46.56 kN
P/4
Figure 5 .24. Maillage déformé du quart de la coque sphérique soumise à une charge maximale Pmax = 57.79 kN
177
5.6. Conclusion
Dans ce dernier chapitre, nous avons présenté une extension de la famille d’éléments finis volumiques SFR pour l’analyse non linéaire géométrique des solides et des structures tridimensionnelles. Plus précisément, deux éléments solides tridimensionnels prismatique à 6 nœuds (SFR6) et hexaédrique à 8 nœuds (SFR8) sont formulés en non linéaire géométrique. Ces éléments permettant d’étudier les problèmes de grands déplacements et petites déformations. Nous avons utilisé pour cela une formulation Lagrangienne totale.
Dans cette formulation la configuration de référence est définie par la position initiale du solide. La mesure des déformations que nous retenons est celle de Green-Lagrange, énergétiquement conjuguée aux contraintes de Poila-Kirchhoff de deuxième espèce.
L’adoption de la description Lagrangienne totale, présente l’avantage de la simplicité de sa mise en œuvre. Cette mise en œuvre réside dans la détermination des efforts internes ainsi que la matrice de rigidité tangente. De plus, un schéma d’intégration numérique réduite est utilisé afin d’améliorer l’efficacité de calcul et d’atténuer certains phénomènes de verrouillages (membrane et cisaillement). Rappelons que la technique de stabilisation proposée dans le deuxième chapitre est utilisée ici efficacement pour contrôler les modes parasites. La non-linéarité des équations d’équilibre nous a conduits à résoudre le système d’équations de façon itérative par la méthode de Newton-Raphson.
Les deux éléments volumiques, ayant effectivement été programmés, sont basés sur le modèle SFR qui utilise la rotation d’une fibre matérielle élémentaire dans l’espace. Ces éléments solides SFR6 et SFR8 ont été évalués sur un ensemble de cas tests et ils répondent de façon satisfaisante. D’une manière globale, les résultats des références sont bien identifiés et représentés par les éléments SFR. Les résultats numériques obtenus dans le domaine non linéaire géométrique ont permis de conclure que le modèle SFR gardait tout son intérêt pour une éventuelle extension. L’analyse de ces résultats nous à permet de conclure également que le modèle SFR est adéquat pour modéliser les solides et les structures tridimensionnelles en grands déplacements et petites déformations. La comparaison entre les résultats obtenus par l’élément SFR6 et ceux donnés par d’autre éléments existant dans la littérature montre qu’il y a un très bon accord et que l’élément ne semble par être affecté par des effets de verrouillages. Cependant, l’élément hexaédrique SFR8 semble être un peu moins précis dans certains cas mais ses résultats sont acceptables par rapport aux autres éléments de comparaisons spécialement l’élément hexaédrique classique H8. Nous voulons également insister sur le fait que le concept SFR est particulièrement simple et facile à mettre en œuvre.
Finalement, l’influence des matrices de stabilisation sur le comportement non linéaire géométrique a été étudiée à travers le paramètre α. Quelques valeurs de α ont été examinées. Nous trouvons que plus la valeur de α est petite, plus les résultats non linéaires sont exacts. Cependant, lorsque la valeur de α est trop petite, la convergence est difficile.
178