Eléments finis volumiques basés sur le concept de rotation d’une fibre spatiale (modèle SFR : Space
2.8. Contrôle des modes parasites
2.8.2. Elément SFR6
La matrice de rigidité de l’élément SFR6 dispose de 18 degrés de liberté de rotation fictive. L’analyse des propriétés de la matrice de rigidité élémentaire indique qu’elle a des modes à énergie nulle outre les six modes de corps rigides. Ces modes parasites peuvent être contrôlés par l’introduction des matrices de pénalités. L’utilisation de l’intégration exacte avec 3×3 points [231] entraîne 5 modes parasites dans la matrice de rigidité, et 18 modes si la matrice est intégrée avec un schéma d’intégration réduite de 1×2 points [231].
La technique de stabilisation pour l’élément SFR6 est désignée pour éliminer ces modes indésirables. Cette technique est inspirée des références [47, 52] basée sur l’addition des matrices de pénalités sur chaque face de l’élément. Les 5 premiers modes parasites cinématiques associés à des rotations égales (figure 2.8) et les 3 modes d’Hourglass (figure 2.9), peuvent facilement être contrôlés à l’aide d’une matrice de pénalité similaire à celle proposée par MacNeal and Harder [7] pour les 5 faces de l’élément prismatique. Les 10 autres modes peuvent être éliminés en utilisant la matrice fictive due à Batoz et Dhatt [18]
et Zienkiewicz [232]. Trois matrices de pénalités sont développées par face, l'une pour contrôler le mode parasite cinématique, la deuxième pour contrôler le mode parasite d’Hourglass et la troisième pour contrôler les rotations fictives. Ces matrices de pénalités calculées pour chaque face définissent un contrôle de mode parasite local.
Pour introduire les matrices de pénalités on considère une face de l’élément prismatique liée au plan local xy (figure 2.10).
Figure 2 .8. Modes parasites cinématiques pour un élément prismatique
67 Figure 2 .9. Modes parasites de Hourglass pour un élément prismatique
2.8.2.1. Contrôle des modes parasites cinématiques
Les 5 modes parasites cinématiques pour lesquels les déplacements s’annulent et les rotations ont la même valeur sont illustrés dans la figure 2.8. Pour faire disparaitre l’effet de ces modes parasites, des méthodes de stabilisation ont été proposées par Yunus et al.
[47] et Pawlak et al. [52], où le but étant d’ajouter dans la matrice de rigidité élémentaire une matrice supplémentaire de stabilisation de rang unité calculée pour chaque face de prisme (figures 2.10a et 2.10c).
3
1
2 4 G
x y
u v
3
1 2
4
x y
u v
(a). Mode cinématique (face quadrilatérale) (b). Mode de Hourglass (face quadrilatérale)
1 2
3
G
x y
u v
(c). Mode cinématique (face triangulaire)
Figure 2 .10. Modes parasites dans une face de l’élément prismatique
68 La rotation relative r est la différence entre la moyenne des rotations hors plan nodales
i et la rotation vraie 0 de l’élasticité plane calculée au centre de gravité de l’élément
La rotation relative s’écrit après substitution de l’équation (2.55) dans l’équation (2.54) :
r Q (2.56)
avec
ui vi i
T sont les variables nodales d’une face dans le repère local et Q est le vecteur des rotations relatives qui s’écrit par exemple pour la face triangulaire :3
A : surface du triangle.
L’énergie de pénalité 1 est donnée par :
1VG
Q Q
1
(2.58)
G : module de cisaillement ; V : volume de l’élément prismatique
1: constante adimensionnelle (= 106 dans les références [7, 47, 52]).
Les déplacements et les rotations dans le repère global ui,vi,wi,,zi sont reliés aux quantités locales par :
i
T i (2.59)69 Nous avons, en utilisant les équations (2.59), (2.60) et (2.61) :
(2.62) pour une face quadrilatérale
pour une face triangulaire.
La relation (2.62) permet de définir l’énergie de pénalité (2.58) dans le repère global :
d’où une matrice résultante ne contienne pas des modes parasites cinématiques. Il est clair que l’élément SFR6 ne contient pas des modes parasites si la matrice de rigidité élémentaire est intégrée exactement avec 3×3 points.
2.8.2.2. Contrôle des modes de « Hourglass »
L’utilisation de l’intégration réduite (1×2 points) produit des modes parasites (figure 2.10b) appelés « Hourglass » par Flanagan and Belytschko [180]. Les modes de Hourglass sont des modes cinématiques qui sont dus à la sous-intégration et sont associés à une énergie nulle alors qu’ils induisent une déformation non nulle. La méthode développée premièrement par MacNeal et Harder [7] et par la suite utilisée par Yunus et al. [47] est adoptée ici pour les trois faces quadrilatérales de l’élément prismatique pour contrôler les 3 modes parasites. Pour certain maillage d’éléments finis ces modes peuvent disparaître après assemblage de plusieurs éléments et l’application des conditions aux limites.
Le mode de configuration pour la face quadrilatérale de l’élément prismatique s’écrit :
1 2 3 4
70 L’énergie de pénalité associée à une face quadrilatérale est :
2VG
H H
2
(2.67)
avec 2 est un coefficient, sans dimension, petit par rapport à 1 (=103, dans les références [7, 47]).
Utilisant la relation de transformation (2.62), l’énergie de pénalité s’écrit comme suit :
VG
q T
H H
q
Kh
2.8.2.3. Matrice angulaire fictive
La matrice angulaire fictive est proposée par Zienkiewicz [232] et aussi utilisée par face quadrilatérale. L’exposant (*) signifie que la variable n* est une quantité virtuelle.
Pour le paramètre de pénalité 3, nous avons constaté que, les résultats numériques se détériorent si celui-ci est constant partout dans le maillage. Ayad [10] et Cook [226]
considèrent qu’une valeur de 3 en fonction de la géométrie de l’élément permet de retenir une précision acceptable. Nous proposons, après une étude attentive pour celui-ci la relation suivante :
2
C E : est une constante inspirée des références [10, 18].
Lmax : le plus long côté de l’élément.
Par exemple pour la face triangulaire la matrice angulaire fictive est :
71 avec : A = surface de triangle et la notation xij = xi − xj ; yij = yi − yj
La matrice [T3] transforme les rotations fictives du nœud i du repère global au repère local :
i
T3
i (2.73)
zi yi xi
i l l l
31 32 33 (2.74)
avec lij: les cosinus directeurs de l’axe z.
La relation entre les variables de rotations
dans le repère local et les rotations globale
est :
3
(2.75a)Pour la face triangulaire à 3 nœuds :
3 3 3 3
T T T
(2.75b)
Pour la face quadrilatérale à 4 nœuds :
3 3 3 3
3
T T T T
(2.75c)
Donc la matrice angulaire fictive associée aux variables de rotation s’écrit :
Kf
3 T K 3 (2.76)Finalement, la matrice de pénalité
Kf est ajoutée également à la matrice de rigidité élémentaire
Ke et la matrice obtenue est de rang correct et ne contient pas de modes parasites.Nous concluons cette section en notant que les 18 modes parasites dans l’élément SFR6 utilisant l’intégration réduite sont identifiés comme étant les modes de corps rigides. Ils peuvent être supprimés en incluant des petites matrices de pénalités pour augmenter la performance de la matrice de rigidité élémentaire habituelle. Pour répondre à la question de la sélection des valeurs de paramètres de pénalité 1, 2 et 3, une série d’expériences numériques est effectuée.
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