2.4 R´egime mol´eculaire libre
Dans l’´etude de ce dernier r´egime, le d´ebit massique entre deux plaques a ´et´e cal-cul´e analytiquement par Cercignani & Daneri (1963) en consid´erant une accommoda-tion totale `a la paroi ; entre les deux plaques on constate que l’expression du d´ebit, adimensionn´ee ici comme en r´egime transitionnel, tend vers l’infini quand le nombre de Knudsen augmente infiniment (Cercignani & Daneri (1963)). Par contre dans un microcanal de largeur finie, le d´ebit massique, toujours adimensionn´e suivant (2.21), converge vers une valeur asymptotique lorsque Kn tend vers l’infini ; ce r´esultat est obtenu par Loyalka et al. (1976) et par Sharipov (1999b) pour une r´eflexion diffuse `a la paroi. De plus pour les microtubes Sharipov & Seleznev (1998) ont montr´e que le d´ebit adimensionn´e converge vers une valeur asymptotique proportionnelle au coeffi-cient d’accommodation.
Chapitre 3
Monte Carlo
3.1 Direct Simulation Monte Carlo
C’est `a l’occasion de la mise au point de l’arme atomique qu’est apparue l’utilisa-tion des nombres al´eatoires dans la simulal’utilisa-tion num´erique des ph´enom`enes physiques. Depuis, l’utilisation de ces nombres s’est d´evelopp´ee dans plusieurs domaines de la phy-sique des supra conducteurs jusqu’aux gaz rar´efi´es. Dans ce dernier domaine, la m´ethode de Monte Carlo a d’abord ´et´e utilis´ee pour les probl`emes de rentr´ees atmosph´eriques des engins spatiaux et plus r´ecemment dans les ´ecoulements microfluidiques subsoniques.
Par abus de langage, toutes les techniques qui ont recours aux tirages al´eatoires sont d´enomm´ees m´ethode de Monte Carlo en r´ef´erence au fameux casino situ´e dans cette ville.
3.1.1 R´eflexions sur la m´ethode DSMC
Les propri´et´es macroscopiques des gaz dilu´es peuvent ˆetre d´ecrites en faisant quelques hypoth`eses simples sur le mouvement des mol´ecules du gaz :
– Les mol´ecules ne subissent que des collisions ´elastiques binaires, ce qui r´esulte de la faible densit´e du gaz.
– La dur´ee du choc est tr`es petite devant le temps moyen entre deux collisions. C’est `a la fois, la cons´equence de la courte port´ee des interactions mol´eculaires et des valeurs les plus probables des vitesses d’agitation thermique des mol´ecules aux temp´eratures usuelles. On consid`erera donc des chocs comme instantan´es. – Entre les chocs, chaque mol´ecule ´evolue ind´ependamment de ses voisines, anim´ee
d’un mouvement rectiligne uniforme. C’est l’hypoth`ese du chaos mol´eculaire. Pour r´esumer, dans un gaz dilu´e, la trajectoire de chaque mol´ecule est une succession de lignes droites bris´ees qui s’inscrivent entre les parois du dispositif contenant le gaz. Par cons´equent, pour d´ecrire compl`etement le mouvement d’une mol´ecule, il suffit de connaˆıtre :
– Sa position et sa vitesse initiale dans le gaz.
– La mani`ere dont elle rebondit sur les parois.
Expos´e ainsi le probl`eme paraˆıt tr`es simple, mais il est rigoureusement impossible de le r´esoudre exactement, car, mˆeme dans les faibles volumes consid´er´es en micro flui-dique le nombre de mol´ecules emprisonn´ees dans le dispositif exp´erimental est bien trop grand pour les capacit´es de calcul des ordinateurs. On peut noter aussi, que du point de vue exp´erimental, on se contente de mesurer des quantit´es moyennes qualifi´ees de macroscopiques comme la pression, la temp´erature, le flux de chaleur, le d´ebit, la vitesse de l’´ecoulement . . . Au niveau th´eorique on va transformer un probl`eme dis-cret et d´eterministe en un probl`eme probabiliste continu qui conduit, dans le cadre des hypoth`eses ´enonc´ees plus haut, `a l’´etablissement de l’´equation de Boltzmann. Par nature, le traitement informatique n’op`ere que sur des quantit´es discr`etes. C’est pour-quoi la r´esolution num´erique des probl`emes aux d´eriv´ees partielles utilise des maillages de l’espace et des pas de temps (diff´erences finies ou ´el´ements finis). Face `a la tr`es grande complexit´e de la r´esolution de l’´equation de Boltzmann diff´erentes strat´egies sont possibles. On peut d’abord consid´erer les ´equations macroscopiques de transfert d´eduites de l’´equation de Boltzmann `a partir des moments des invariants collisionnels. Ces ´equations correspondent aux ´equations de conservation de la m´ecaniques des fluides et d´ecrivent l’´evolution des param`etres de la particule fluide. Toutefois cette d´emarche n´ecessite l’introduction de relation de fermeture (ou une connaissance de solutions ap-proch´ees de l’´equation de Boltzmann) pour expliciter les coefficients de transports. Or cette connaissance explicite n’existe quand r´egime hydrodynamique ou en r´egime de glissement (´equations NS). En r´egime transitionnel ou mol´eculaire libre on ne peut ´eviter l’approche cin´etique. Pour all´eger le traitement num´erique de cette approche cin´etique, il existe des mod`eles discr´etisant l’espace des vitesses (et les positions). Ces mod`eles s’apparentent ainsi aux mod`eles de gaz sur r´eseau voire aux automates cellu-laires (Gardner(1970)).
Dans le milieu des ann´ees 70,Bird(1994) propose de revenir au probl`eme du mou-vement des mol´ecules. Il donne des algorithmes qui permettent de traiter ce moumou-vement d’une mani`ere probabiliste. Puisqu’il est hors de question de d´ecrire le mouvement de toute les mol´ecules du gaz. On ´etudie simplement, `a la mani`ere de ce qui se fait dans les sondages d’opinion, le mouvement d’un nombre r´eduit de particules test. D’autre part, les collisions de ces particules test entre elles ne sont pas trait´ees de mani`ere exacte mais de mani`ere statistique `a partir de la connaissance de la section efficace de diffusion qui est li´ee `a la densit´e de probabilit´e pour que la particule r´eduite dans le rep`ere de centre masse reparte, apr`es le choc, dans une direction donn´ee. Pour fixer les id´ees, ima-ginons que les mol´ecules soient repr´esent´ees par des sph`eres dures, la collision de deux mol´ecules en m´ecanique classique se traite exactement en fonction du param`etre d’im-pact. Cette notion de param`etre d’impact1 n’est pas ici compl`etement pertinente pour des particules test qui repr´esentent chacune un grand nombre de mol´ecules auxquelles il est difficile d’attribuer le mˆeme param`etre d’impact. N´eanmoins, en moyenne, ces
1. Du point de vue pratique, il n’est pas sˆur que la pr´ecision des repr´esentation des nombres en virgule flottante assure une pr´ecision suffisante pour d´eterminer le param`etre d’impact qui est de l’ordre de la taille de la mol´ecule.