1.3 Cas des fours tournants munis de releveurs
1.3.3 D´efinition de la nomenclature utilis´ee
1.3.3.1 G´en´eralit´es
Par la suite, les indices 1 et 2 d´esigneront respectivement les phases solides dispers´ee et dense. Ainsi, la r´etention solide totale, quelle que soit la position axiale, est la somme des r´etentions solides des deux phases :
M = M1+ M2, (1.2)
M : r´etention solide totale (kg m−1 de four)
M1: r´etention solide de la phase dispers´ee (kg m−1) M2: r´etention solide de la phase dense (kg m−1)
De mˆeme, le flux massique solide total s’´ecrit :
F = F1+ F2 (1.3)
F : flux massique solide total (kg s−1)
F1: flux massique solide de la phase dispers´ee (kg s−1) F2: flux massique solide de la phase dense (kg s−1)
La figure 1.2 repr´esente un releveur du type corni`ere en d´echargement, dont la position angulaire θ est d´efinie par le sommet de la face du releveur parall`ele `a la paroi du four. Les positions angulaires sont d´efinies dans le sens direct. L’origine θ = 0 est plac´ee comme l’indique la figure 1.2. Nous reprenons ici les notations et la m´ethodologie propos´ees par [Sherritt et Caple 1993].
1.3.3.2 D´efinition de l’angle d’avalanche
La poudre pr´esente dans un releveur forme, de la mˆeme fa¸con que dans le fond du four, un talus. L’inclinaison de ce talus par rapport `a l’horizontale d´efinit l’angle d’avalanche. La poudre sera d´evers´ee du releveur si la position angulaire de celui-ci est sup´erieure `a l’angle d’avalanche, appel´e aussi angle de repos cin´etique, θcin .
[Schofield et Glikin 1962] ont montr´e qu’un bilan de forces appliqu´e `a une particule quelconque de la surface libre permettait de d´eterminer th´eoriquement la valeur de l’angle d’avalanche :
θcin= arctan µ + F r(cos θ − µ sin θ) 1 − F r(µ cos θ + sin θ)
(1.4)
θcin: angle d’avalanche, ou angle de repos cin´etique (rad) θ : position angulaire (rad)
1.3. Cas des fours tournants munis de releveurs θ=0 θ=π/2 θ=3π/2 β releveur θ=π R hp ho θ n θcin
Fig. 1.2 –Nomenclature utilis´ee pour la mod´elisation
L’hypoth`ese faite que trois forces (centrifuge, gravitationnelle et de friction) sont `a l’´equilibre a ´et´e valid´ee jusqu’`a une valeur du coefficient cin´etique de frottement, µ, de 0,4. Dans la re-lation (1.4), seul le coefficient µ d´efinit les propri´et´es d’´ecoulement de la poudre. De la mˆeme fa¸con que pour les angles de repos pr´ec´edemment d´efinis, la valeur de l’angle de repos cin´etique semble ˆetre influenc´ee par de nombreuses variables notamment les propri´et´es morphologiques telles que la taille, la forme et la densit´e des particules. La relation (1.4) ne peut ˆetre utilis´ee ici pour d´eterminer l’angle de repos cin´etique puisque les coefficients de friction sont incon-nus. Une d´etermination exp´erimentale de ce coefficient a ´et´e propos´ee par [Kelly et O’Donnel 1968] et consiste `a fixer autour d’un tambour rotatif `a intervalles r´eguliers des petits cylindres transparents `a moiti´e remplis de poudre et de diam`etre ´egal aux dimensions du releveur. Des photographies du tambour `a diff´erentes vitesses de rotation et positions angulaires permettent de d´eterminer l’angle de repos dynamique dans les cylindres puis, en consid´erant que l’angle d’avalanche et l’angle de repos dynamique sont identiques, le coefficient de friction `a l’aide de la relation (1.4).
1.3.3.3 Degr´e de chargement et angle initial de d´echargement
Contrairement au cas des fours d´epourvus de releveurs dans lesquels le degr´e de chargement (ou taux de remplissage) est d´efini simplement comme la fraction de section transversale occup´ee par le lit de poudre, le degr´e de chargement des fours avec releveurs d´epend de ces derniers de mani`ere complexe, puisqu’il faut consid´erer la poudre pi´eg´ee dans les releveurs, la poudre chutant des releveurs et, ´eventuellement, la poudre formant un lit dans le partie inf´erieure du four.
La figure 1.3 d´efinit les diff´erents degr´es de chargement possibles. Elle montre ´egalement le comportement de la poudre dans une section du four. Les releveurs en d´echargement remplissent
progressivement les releveurs vides, entraˆınant ainsi le transport de la poudre dans une section du four. Ainsi, un releveur vide `a θ = 0 est rempli progressivement par la poudre se d´eversant des releveurs pr´esents au-dessus de lui jusqu’`a atteindre une position angulaire, θinit, `a laquelle la poudre pr´esente dans le releveur se d´eversera `a son tour. L’inclinaison, par rapport `a l’horizontale, de la surface des talus en d´echargement est ici consid´er´ee ´egale `a l’angle de repos cin´etique.
(a) Four peu charg´e (b) Four charg´e sans rele-veurs enterr´es
(c) Four charg´e avec rele-veurs enterr´es
Fig. 1.3 –Degr´es de chargement possibles pour un four tournant ´equip´e de releveurs
L’angle initial de d´echargement θinit, que nous emploierons comme une des variables principales du mod`ele dynamique, n’est pas une caract´eristique de la poudre, mais doit plutˆot ˆetre consid´er´e comme un indicateur du degr´e de chargement du four :
– Pour π < θinit < 2π, l’angle initial de d´echargement se trouve dans la moiti´e sup´erieure du four, le four est peu charg´e ;
– pour 0 < θinit < π, l’angle initial de d´echargement se trouve dans la moiti´e inf´erieure du four, le four est charg´e.
– pour 0 < θinit< θcin+π2, le four tournant est extrˆemement charg´e.
La limite θcin+ π2 correspond `a la position angulaire d’un releveur dont la face interne (paral-l`ele `a la paroi) est parall`ele `a la pente du lit de poudre. Par cons´equent, seuls des angles de d´echargement inf´erieurs `a θcin + π2 peuvent entraˆıner l’enterrement de certains des releveurs. Soit θD la position angulaire atteinte par le talus du premier releveur en d´echargement. [Sherritt et Caple 1993] proposent de consid´erer que les releveurs se trouvant `a une position angulaire comprise entre θinit+2πN (N ´etant le nombre de releveurs) et θD seront enterr´es par la poudre pr´esente dans le premier releveur en d´echargement. θinit+2πN correspond `a la position angulaire du releveur situ´e imm´ediatement apr`es le premier releveur en d´echargement. La figure 1.3-(c) repr´esente ainsi sch´ematiquement une situation avec un θinit tel que plusieurs releveurs soient enterr´es. D’apr`es la figure 1.4-a, on peut ´ecrire, en premi`ere approximation, quand 2R ≫ ho (ho ´etant la hauteur du releveur dans la direction orthogonale `a la paroi du four) :
1.3. Cas des fours tournants munis de releveurs
Il existe au moins un releveur enterr´e par le talus du premier releveur en d´echargement si et seulement si :
θinit+ 2π N
| {z }
position angulaire du releveur situ´e `a la suite du 1er releveur en d´echargement < θD (1.6) soit θinit< θcin+ π 2 −Nπ (1.7) R θinit B D θ O Γ θcin θ l( init) A θ l( init) A R−ho R θinit B θD O θcin (a) (b)
Fig. 1.4 –D´etermination de θD (Γ : angle de remplissage)
Pour un nombre de releveurs ´egal `a quatre (four FBFC) et un angle d’avalanche ´egal `a 45 degr´es, on trouve par exemple que θinit doit ˆetre inf´erieur `a 90 degr´es pour qu’un releveur soit enterr´e d’apr`es l’´equation 1.7.
La d´etermination de la position angulaire θD atteinte par le premier releveur en d´echargement peut ˆetre pr´ecis´ee en fonction de lθinit (lθinit d´esignant la longueur du talus d’un releveur `a la position angulaire θinit) en prenant en compte la hauteur du releveur. D’apr`es la figure 1.4-b, on a en effet :
l2θinit = R2+ (R − h0)2− 2 (R − h0) R cos (θD − θinit) (1.8) d’o`u : θD = θinit+ arccos R 2+ (R − h0)2− lθ2init 2 (R − h0) R ! (1.9)