Effets de communication entre canaux

Comme mentionné dans le chapitre précédent, pour s’assurer d’avoir un taux de pervaporation uniforme au cours du séchage de la goutte, il est nécessaire de sup-primer les effets de communication liés à la présence des canaux voisins. Les deux effets de communication que nous avons pris soin d’éliminer sont représentés dans la figure 3.11.

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FIGURE 3.11: Représentation des effets de communication dans notre géométrie. Les flèches rouges correspondent à la communication entre canaux dépendant de la distance et les flèches bleues mettent en évidence l’influence de l’effet de bout qui varie en fonction de la distance ✏.

La pervaporation de l’eau d’un canal à travers la membrane en PDMS peut être modifiée par la présence ou l’absence d’eau dans un autre canal à proximité [76] comme nous l’avons déjà montrée dans le chapitre 2. Nous avons pris soin de rem-plir rapidement (en moins de 30 s) l’intégralité des canaux pour minimiser l’erreur sur l’estimation de la concentration au début de l’expérience. Pour obtenir des me-sures précises sur une large gamme de concentrations en soluté, il a été nécessaire de réaliser des expériences dans de longues gouttes. Cependant la taille du champ d’ob-servation de notre microscope i.e. 2.7×3.2 mm2, nous a contraint à choisir un canal en forme de serpentin. Cette forme est propice aux effets de communications entre ca-naux voisins si elle n’est pas bien dimensionnée. Ces effets sont négligeables lorsque les canaux sont séparés par une distance ∼ 10h : à cette distance le canal évapore comme s’il était isolé des autres. Ce critère a été déterminé en utilisant des calculs numériques dans le cas précis de notre géométrie. Nous avons donc résolu numérique-ment l’équation c = 0 (c est la concentration en eau dans la membrane) dans notre

92 CHAP 3 - DU MICROÉVAPORATEUR À LA GOUTTE CONFINÉE géométrie spécifique en utilisant les dimensions sans unité suivantes : h= 1, w = 2h, e = h, ⇠ = h�5 et en variant la distance entre canaux. Ces valeurs correspondent aux dimensions typiques mises en place dans nos expériences qui sont h= 25–35 µm, w= 50 µm, ⇠ = 5–6 µm, et e = 30–35 µm. Les résultats des simulations numériques sont présentés dans la figure 3.12.

Typical results are shown in Fig. 4a which displays both the concentration field c and the associated flux !rc for the case d = 6. The unitless permeation rate qe is estimated from the numerical integration of the flux field around the channel. Fig. 4b shows qefor various d values in the 0.5–10 range. For small distances between channels (do 5), qeincreases significantly with d evidencing the screening induced by the presence of the neighbouring channels. Note that for very small d, qe E w + d, as this highly screened regime turns to be a simple 1D problem (negligible diffusive flux along y).15At larger d, qereaches a plateau value corresponding to the case of an isolated channel. In our experimental configuration, we choose d = 10h in order to fully neglect any cross-talking effects between the neighbouring channels. This criterion is coherent with analytical approximations given in ref. 15, which investigates a similar problem (in a slightly different geometry) to unveil the mechanisms of pervaporation in leaves.

it is also crucial to minimize tip effects, i.e., geometrically enhanced pervaporation from the dead-end of the channel and from the receding meniscus as compared to the body of the linear channel. Such effects are however expected to be small and of the order of qe/h. To further minimize such effects, we chose the specific design shown in Fig. 2, i.e., two drops facing each other and we minimized the distance e between the two channels to reduce permeation from their tips.

4 Results

4.1 Pure water drops

In the case of water, the permeation rate remains constant over the course of the shrinkage kinetics and its dynamics is especially simple given by the simple integration of eqn (2), leading to L(t) = L0exp(!t/te). Fig. 5 shows the shrinkage dynamics of a water droplet in this geometry. L(t) decays exponentially, in agreement with the assumption of homogeneous (and constant) qe without any tip effects, leading to te E 1500 s. Moreover, the meniscus velocity V (estimated using numerical derivatives of L(t)) indicates that V(t) - 20–30 nm s!1 for L(t) - 0, and thus negligible tip effects of the order of qe/h are expected. Deviations from the exponential decay are thus only observed for small length, typically Lo 4w, when the assumption of a long linear drop does not hold anymore and where 3D mass tranfer should be taken into account. The homogeneous drying assumption also requires h²/(Dte) B O(h/L){ 1. In our specific geometry (h B 30 mm), teE 1500 s and this assumption restricts the range of diffusivities to D 4 10!10 m² s!1 for length L0 = 1.5 cm. In practice, the scaling analysis is too restrictive and we observe experimentally, see below, homogeneous concentration fields during the drop’s shrinkage for species with diffusivities up to D E 10!11m²s!1.

Fig. 3 (a) Cross-section of an infinite array of channels embedded in a permeable membrane sealed on a glass slide. (b) Zoom on the box shown above. No flux boundary conditions are applied on the dotted lines, c = 1 on the thick lines and c = 0 on the thin line.

Fig. 4 (a) Water concentration field c within the membrane for the case d = 6h. Arrows indicate the flux field !rc. (b) Pervaporation rate qefrom a single channel vs. d. The continuous line (qe= w + d) corresponding to the highly screened regime fits correctly the results for low d.

Fig. 5 (a) Shrinkage of a water droplet (channel width w = 50 mm). Inset: zoom on the receding meniscus. (b) Temporal evolution of L(t). Slight deviation from the exponential decay is observed below L E 4w. Inset: meniscus velocity V vs. L(t), zoom on L - 0.

FIGURE3.12: (a) Simulation du champ de concentration en eau c à travers la membrane dans le cas où la distance entre canaux vaut = 6. Les flèches indiquent le flux −∇c = 0. (b) Représentation du taux de pervaporation adimensionné qed’un canal pour différentes valeurs de distances entre canaux .

La simulation de la figure 3.12 (a) montre le champ de concentration c et le flux associé −∇c pour le cas = 6. Nous voyons clairement que la concentration dimi-nue lorsqu’on s’éloigne du canal. La figure 3.12 (b) représente l’évolution du taux de perméation sans dimension qe (estimé numériquement à partir de l’intégration du flux autour du canal) en fonction de variant de 0.5 à 10. Pour de faibles distances entre canaux ( < 5), qe augmente de façon significative en fonction de : la pré-sence des canaux voisins a donc une grande influence sur le taux de perméation. Pour des distances plus grandes, le taux qe est saturé et arrive à une valeur plateau qui correspond au cas d’un canal isolé. Pour notre configuration géométrique, nous choi-sissons donc = 10h afin de négliger complètement les effets de communication entre canaux voisins. Il est aussi important de minimiser les effets de bout. En effet, nous

nous attendons à ce que la pervaporation soit augmentée par l’extrémité fermée du canal par rapport au reste du canal linéaire. La figure 3.13 met en évidence l’influence d’une vitesse supplémentaire à l’extrémité du canal, appelée vitesse de fuite Vf, qui est d’autant plus significative lorsque la goutte n’a plus une géométrie linéaire mais sphérique et déjà évoquée dans le chapitre 2 page 66. Si la vitesse de l’écoulement

𝑉_𝑓

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FIGURE 3.13: Schéma de l’évaporation d’une goutte confinée dans un canal. À partir d’une certaine taille, la goutte n’est plus linéaire et subit l’influence de la vitesse de fuite Vf (flèches rouges). au bout du canal domine devant la vitesse de fuite, la vitesse de fuite peut être né-gligée. C’est pourquoi nous avons choisi de positionner deux canaux face à face le plus proche possible (✏ très petit) afin de saturer cette zone en eau et ainsi obtenir un taux d’évaporation uniforme le long du canal (voir figure 3.14). Expérimentalement, la distance minimale qu’il a été possible de réaliser pour des canaux en SU-8 par une technique de lithographie douce est ✏= 40 µm pour une hauteur de canal h = 30 µm.

𝜀

FIGURE 3.14: Mise en évidence de l’influence de la distance entre canaux " sur l’évaporation de la goutte. La vitesse de fuite Vf est supprimée lorsque " tend vers 0.