Domaine de validité de l’hypothèse de linéarité du champ

L'interface utilisateur proposée avec le PPS Flex repose sur le principe de superposition du champ magnétique. Chaque bobine alimentée individuellement par un courant unitaire fait l'objet d'une simulation par éléments finis et les différents champs obtenus sont superposés en les pondérant en fonction du courant d'alimentation souhaité dans chaque bobine.

Le théorème de superposition du champ magnétique n'est valable que dans le cas de matériaux ayant un comportement linéaire vis-à-vis du champ magnétique, ce qui n'est évidemment pas le cas du fer Armco. Des différences devraient donc au minimum apparaître à partir de valeurs suffisamment élevées d'induction.

Les Figure 3-39 et Figure 3-40 représentent les profils de champ au centre du canal, obtenus lors d'une variation homothétique des courants d'alimentations des bobines, pour deux configurations distinctes. La configuration 2 (Figure 3-40), présente un gradient magnétique plus important que la configuration 1 (Figure 3-39) et nécessite donc des densités de courants supérieures dans les bobinages pour obtenir un niveau de champ équivalent au centre du canal. Toutes les courbes sont normalisées par rapport au maximum de la courbe (|B| max = 1T) de la première figure. La légende indique, pour chaque courbe en trait plein, la valeur

maximale d'amplitude de B sur la totalité de la structure, lorsque le champ est calculé via la méthode de superposition. La courbe en pointillés de couleur correspondante est obtenue en appliquant les mêmes courants et en réalisant une simulation éléments finis non linéaire. Les différents résultats montrent que le PPS-Flex, en deçà d’une valeur seuil d’induction à préciser, reste dans un régime de fonctionnement linéaire. La valeur seuil diffère cependant en fonction de la configuration d’alimentation. Ainsi, à titre d’exemple, la saturation intervient pour une induction maximale dans le circuit magnétique entre 3 et 4T pour la configuration 1 et entre 2.3 et 3T pour la configuration 2. Ceci correspond dans tous les cas à des niveaux de champ bien plus élevés que ce que laissait présager la courbe B(H) du fer Armco. Tant que le niveau d'induction dans la totalité du matériau ferromagnétique reste en deçà du coude de saturation, l'hypothèse de linéarité du matériau est valable et les deux courbes sont confondues. Le domaine d'application de la méthode s'étend cependant bien après que certaines zones ponctuelles du matériau aient dépassé la valeur d'induction de saturation. Au- delà, les zones de saturation qui apparaissent dans certaines parties du circuit (notamment au niveau des jonctions entre les noyaux des bobines et les plaques les séparant) modifient la circulation du flux à l’intérieur même de ces parties ferromagnétiques. Cependant, la topologie du champ magnétique dans le canal obéit encore au principe de superposition, tant que ces zones de saturation restent localisées et ne s’étendent pas à la totalité de la section de passage du flux dans els sections en fer Armco. Cela explique par là même la dépendance de la valeur seuil à la configuration magnétique étudiée. En fonction de la configuration, la localisation et la géométrie des zones de forte induction peuvent varier et la saturation de la section complète peut intervenir plus ou moins tôt.

Il n'est donc pas pertinent de chercher à définir une valeur d'induction maximale à ne pas dépasser lors de l'utilisation de la méthode de superposition. La limitation imposée sur les densités de courant, initialement pour des raisons thermiques, est finalement suffisante. Savoir déterminer la justesse des résultats obtenus est toutefois indispensable et la méthode la plus efficace reste une simulation par éléments finis non linéaire pour chaque configuration à forte densité de champ magnétique. La possibilité de réaliser cette simulation directement à partir de l'interface de visualisation, à partir des valeurs de courants sélectionnées, a été implémentée dans cette optique.

En observant attentivement les courbes des deux figures, il peut être observé que l’écart minimum entre les courbes simulées (simulation éléments finis non linéaires) et calculées (méthode de superposition, linéaire) est obtenu pour des valeurs de champ médianes et non minimales. En effet, les matériaux simulés sont pris comme linéaires et la valeur de perméabilité choisie correspond à celle du matériau réel juste avant le coude de saturation (voir schéma Figure 3-38). De fait, pour des valeurs d'induction faibles, la perméabilité exploitée dans le principe de superposition n’est plus représentative de la perméabilité relative inhérente à la courbe B(H), ce qui implique de légers écarts entre les courbes obtenues par superposition des différents champs et celles obtenues via simulation non linéaire, dans les cas où les parties ferromagnétiques sont faiblement magnétisées. Ces écarts, cantonnés aux zones de faibles inductions, restent cependant très faibles (de l’ordre de quelques pourcents) et ne sont donc pas problématiques.

Remarquons enfin que la méthode de calcul du champ par superposition se base sur des simulations éléments finis linéaire (la perméabilité des matériaux ferromagnétique est fixe) pour le calcul du champ généré par les bobines alimentées séparément par un courant unitaire. Employer des simulations éléments finis non linéaire à ce niveau n’améliore cependant pas les résultats. Au contraire, les valeurs de champs obtenues après superposition sont alors dépendantes du niveau d'induction dans le matériau et, donc, du courant choisi comme unitaire et présentent, dans tous les cas, une moins bonne concordance avec les simulations éléments finis non linéaires classiques.

Figure 3-38: Sélection de la perméabilité fixe pour les simulations linéaires

Figure 3-39: Comparaison entre le champ magnétique obtenu via la méthode de superposition des champs (en ligne continu) et celui obtenu à l'aide de simulation éléments finis prenant en compte les caractéristiques non

linéaires du fer (en ligne pointillée). Profil de champ au centre du canal. Configuration 1.

Figure 3-40: Comparaison entre le champ magnétique obtenu via la méthode de superposition des champs (en ligne continu) et celui obtenu à l'aide de simulation éléments finis prenant en compte les caractéristiques non

linéaires du fer (en ligne pointillée). Profil de champ au centre du canal. Configuration 2.

B H Courbe B(H) du matériau Perméabilité fixe retenue