Conclusion et perspectives

L’objectif de cette étude était de réaliser un état de l’art des méthodes d’optimisation applicables à la conception optimale de dispositifs magnétostatiques, dans l’optique de définir des voies potentielles pour l’élaboration d’un outil de conception de structure optimale.

Pour cela, les principales notions utiles à la compréhension des problématiques liées à l’optimisation ont été rappelées. Les principaux algorithmes employés ont ensuite été brièvement décrits. Enfin, les trois approches possibles de conception optimale de dispositifs magnétostatiques (optimisation paramétrique, géométrique et topologique) ont été présentées. L’analyse de ces approches, couplées aux algorithmes de résolution dans la littérature, laisse apparaître deux grandes approches possibles :

- les méthodes métaheuristiques. Elles sont largement utilisées, mais ne garantissent cependant pas des résultats directement utilisables (une interprétation de la structure obtenue par un expert est très souvent nécessaire du fait des nombreuses irrégularités que présente la solution), en particulier lorsque le nombre de variables est important (optimisation topologique). Elles nécessitent de plus généralement un nombre d’évaluations très important, ce qui peut être problématique pour des problèmes d’optimisation dont le calcul du critère est long (calcul de valeur par simulation numérique 3D, etc.).

- Des méthodes de descente, couplées avec un calcul de gradient (sensibilité) par formulation d’un problème adjoint. Couplées à des méthodes de convexification/pénalisation, les résultats obtenus sont assez satisfaisants et proches d’un design directement exploitable.

A ces deux principales approches s’ajoute l’utilisation d’algorithmes déterministes globaux, mais leur domaine d’application est pour le moment cantonné aux problèmes d’optimisation paramétrique possédant relativement peu de variables (de l’ordre de la vingtaine) et pour lesquels un modèle analytique au moins partiel est disponible.

A partir de cette analyse de l’existant, on peut conclure que deux approches semblent le plus à même d’être compatibles avec une méthode de conception pouvant garantir l’obtention de l’optimum global :

- les méthodes d’homogénéisation, couplées à des algorithmes de descente et des calculs de gradient par introduction d’un état adjoint, en s’intéressant à la convexité de la formulation du problème,

- la résolution directe du problème d’optimisation, en s’appuyant sur une formulation explicite du problème.

La première méthode a déjà fait preuve de sa capacité à fournir des solutions pertinentes au problème de conception optimale. L’introduction de la notion de convexité permettra de garantir l’obtention de l’optimum global. La résolution du problème inverse de conception optimale à l’aide de ce type d’algorithme a déjà été réalisée avec succès sur de nombreux

problèmes, d’abord dans le domaine de la conception de structure mécanique, puis les concepts ont été appliqués à la conception de structures électromagnétiques. La majorité des concepts et méthodes sont donc dors et déjà disponibles et fonctionnels et la réalisation d’un outil de conception de structures optimales automatisées peut être envisagée à relativement court terme. Un premier outil, basé sur l’utilisation du logiciel élément fini FEMM est en cours de réalisation. Dans un second temps, un environnement de conception automatisée mêlant optimisation paramétrique, géométrique et topologique et guidée par des calculs de gradients via des méthodes de problème adjoint peut être envisagé. L’apport d’un tel outil de conception serait très adapté, dans le cadre du dimensionnement de structures possédant un comportement magnétostatique difficile à modéliser analytiquement, comme le circuit magnétique d’un propulseur à effet Hall par exemple. Par ailleurs, l’introduction de méthodes d’homogénéisation (et non plus de convexification) peut s’avérer intéressante, en permettant de travailler dans un espace de solutions physiquement réalisables (notion de matériaux composites). Cette réduction de l’espace de recherche par rapport aux méthodes de convexification permet d’aboutir à de meilleures solutions une fois l’étape de pénalisation réalisée [All-07].

La deuxième approche implique de considérer conjointement les variables du problème d’optimisation et celles associées à la modélisation par différences ou éléments finis, ce qui implique un nombre de variables beaucoup plus important, mais permet d’obtenir une formulation explicite reliant variables de conception et critère à optimiser. L’augmentation de la puissance de calcul numérique autorise désormais à envisager ce type de solutions, qui peuvent permettre l’utilisation d’une classe plus large d’algorithmes d’optimisation pour la résolution du problème de conception optimale (qu’elle soit paramétrique, géométrique ou topologique), comme les algorithmes de programmation linéaire, quadratique ou même, à plus long terme, des méthodes d’optimisation déterministes globales. Cette approche n’a évidemment pas la maturité de la précédente, mais semble prometteuse.

La méthode permet actuellement le calcul d’une densité de courant optimale, pouvant prendre des valeurs entières ou continues et la suite des travaux pourrait s’articuler comme suit :

- implémentation de la possibilité de définir des aimantations variables : il n’y a pas de difficultés techniques particulières pour cela et la formulation est très similaire à celle des variables de densités de courant,

- implémentation du code d’optimisation autour d’une méthode de résolution par élément finis, afin de gagner en précision au niveau du modèle et surtout en souplesse au niveau du maillage,

- prise en compte de la perméabilité en tant que variable : les premières tentatives se sont pour l’instant avérées infructueuses. Une approche par relaxation des contraintes bilinéaires (méthode de MacCormick) a été tentée sans succès et le principal outil de résolution employé, C-plex, ne résout pas les problèmes d’optimisation quadratique non convexes. Cependant, des algorithmes dédiés à ce type de problème existent et de nombreuses méthodes de relaxation des contraintes bilinéaires ont été développées. Il reste donc un certain de nombre de voies à tester.