La planification de mouvement d’un robot ´evoluant parmi des obstacles fixes ainsi que plusieurs vari´et´es du probl`eme basique ont ´et´e largement ´etudi´ees au long des vingt derni`eres ann´ees. Cepen- dant, les recherches traitant du probl`eme de planification de tˆaches de manipulation sont assez r´ecentes.
Le premier article s’attaquant `a la probl´ematique de planification de tˆaches de manipulation est celui de Wilfong [Wilfong 88]. Il s’int´eresse au probl`eme de planification de mouvement pour un robot en pr´esence d’objets d´epla¸cables dans des environnements polygonaux et convexes. Le robot peut ´eventuellement d´eplacer les objets afin d’atteindre son but. Le placement final des objets d´epla¸cables n’apparaˆıt pas forc´ement de fa¸con explicite dans la d´efinition du probl`eme. L’auteur consid`ere un polygone convexe en translation dans un environnement 2D. Le robot “prend” un objet lorsque l’une de ces arˆetes co¨ıncide avec l’une des arˆetes de l’objet.
Dans le cas o`u le placement final des objets d´epla¸cables n’est pas sp´ecifi´e, Wilfong montre que le probl`eme est NP dur 3 (i.e : il peut ˆetre r´esolu par un algorithme de complexit´e en temps polynomial sur une machine non d´eterministe 4). Par ailleurs, si le placement final des objets est compl`etement sp´ecifi´e, il montre qu’il s’agit d’un probl`eme P-ESPACE dur (i.e : il peut ˆetre r´esolu par un algo- rithme de complexit´e en espace m´emoire polynomiale sur une machine non d´eterministe). Dans le cas particulier d’environnement polygonal avec un seul objet d´epla¸cable, il a montr´e l’existence d’un algo- rithme en O (n3log2n), o`u n est le nombre de sommets de tous les objets pr´esents dans l’environnement.
Dans la mˆeme p´eriode, Laumond et Alami ont propos´e un algorithme en O (n4) pour la r´esolution
d’un probl`eme similaire [Laumond 89] : le cas d’un robot et d’un objet circulaire ´evoluant dans un 3Un probl`eme est dit dur pour une classe si tous les probl`emes de la classe peuvent s’y ramener par une transformation
polynomiale.
4
Une machine qui disposerait d’instructions de choix pour d´edoubler le programme en programme parall`ele. La complexit´e d’un algorithme non d´eterministe correspond au temps pris par un algorithme qui aurait toujours effectu´e le bon choix.
2.7. Le domaine de la manipulation. 23
environnement polygonal. Le nombre de prises de l’objet est suppos´e infini. Dans cet article, les auteurs introduisent la notion d’espace des actionneurs comme ´etant un sous-espace de CS (espace des configurations du robot + objet) associ´e aux param`etres de configuration sur lesquels il est possible d’agir directement.
2.7.1 Formulation du probl`eme
Dans [Alami 89] et [Alami 94], les auteurs proposent une approche originale pour la planification de tˆaches de manipulation. Cette approche est bas´ee sur une formulation g´eom´etrique du probl`eme. Ils consid`erent qu’un chemin de manipulation est un chemin sans collision contraint dans l’espace des configurations composite (CS = CR × CO1 × ... × COm, o`u CR est l’espace de configurations du
robot et COiest l’espace de configurations de l’objet Oi et de son attachement § 2.8.4). Deux types de
contraintes sont introduites : les contraintes de placement et les contraintes de mouvement des objets d´epla¸cables.
A partir de ces deux contraintes, deux sous-espaces de l’espace de configurations composite sont introduits : l’espace GRASP et l’espace PLACEMENT. Le premier correspond au sous-espace dans lequel le robot se d´eplace solidairement avec l’objet d´epla¸cable manipul´e sans entrer en collision avec les obstacles ainsi que les autres objets. Alors que dans le second, le robot se d´eplace seul sans entrer en collision ni avec les obstacles, ni avec les objets d´epla¸cables qui occupent une configuration stable. Le probl`eme de planification de tˆaches de manipulation apparaˆıt ainsi comme la recherche d’un chemin contraint dans les diff´erentes composantes connexes du sous-espace « Grasp ∩ Placement » et entre elles.
La plupart des travaux de manipulation se placent dans le cas discret c’est-`a-dire qu’ils supposent qu’il existe un nombre fix´e de positions de prises de l’objet par le robot et un nombre fix´e de positions de pose de l’objet sur le sol. Dans ce cas « Grasp ∩ Placement » est constitu´e d’un ensemble discret de configurations. Le but sera de chercher ces configurations et de les relier entre elles par des chemins de Transfert dans GRASP et des chemins de Transit dans PLACEMENT.
2.7.2 Les prises et poses continues.
Dans le cas o`u le planificateur doit prendre en compte un ensemble continu de positions de saisie et/ou un ensemble continu de positions de pose, Grasp ∩ Placement n’est plus r´eduit `a un ensemble fini de configurations, mais poss`ede une topologie propre.
Grasp ∩ Placement est l’espace qui permet de faire le lien entre les chemins de « Transfert » et les chemins de « Transit ». Il est donc primordial de connaˆıtre sa topologie pour pouvoir savoir o`u saisir l’objet et savoir o`u le transporter.
Pour cela nous pourrons utiliser une roadmap. A cette roadmap nous allons associer une m´ethode locale qui portera `a la fois sur le robot, l’objet et la configuration de la prise :
24 Chapitre 2. Planification g´eom´etrique pour la Robotique.
L’objet doit se d´eplacer tant qu’il est dans une position de placement stable. Ses mouvements peuvent ˆetre quelconques tant qu’ils sont continus.
La configuration de la prise doit varier de mani`ere continue.
Une condition de fermeture de chaˆıne cin´ematique (§ 2.5) doit ˆetre appliqu´ee pour pouvoir saisir l’objet `a tout moment.
Cette m´ethode locale poss`ede une « propri´et´e de r´eduction » [J.-P. Laumond 94]. C’est-`a-dire que tout chemin utilisant cette m´ethode locale peut-ˆetre transform´e en une succession finie de chemins de Transit et de Transfert . Autrement dit un chemin dans Grasp ∩ Placement peut ˆetre utilis´e pour trouver la solution du probl`eme.
Il ne sert `a rien de chercher `a connecter des nœuds d’une mˆeme composante connexe de Grasp ∩ Placement par un chemin de Transit ou de Transfert puisque nous savons que nous pouvons obtenir un chemin solution par une transformation a posteriori des chemins de Grasp ∩ Placement .
Pour les probl`emes de prises et de poses continues, les composantes connexes de « Grasp ∩ Place- ment » correspondent aux nœuds isol´es du cas discret.
« Grasp ∩ Placement » est tr`es int´eressant car il n’y a pas de degr´es de libert´es fig´es (pas d’objet ou de position de prise fix´es). Contrairement au Transit ou au Transfert qui ont une infinit´e de composantes connexe qui ne peuvent pas ˆetre li´ees entre elles, Grasp ∩ Placement peut avoir une seule composante connexe. Il est donc assez facile d’´etudier la topologie de Grasp ∩ Placement .
2.7.3 Le graphe de manipulation.
Il existe au moins trois types de chemins qu’il est int´eressant de rechercher dans CS : Les chemins de « Transit » (dans PLACEMENT ) : Le robot bouge tout seul.
Les chemins de « Transfert » (dans GRASP) : Le robot transporte l’objet avec une position de prise fix´ee.
La m´ethode locale de (Grasp ∩ Placement) : Le robot peut d´eplacer l’objet au sol tout en changeant de prise de mani`ere continue.
D´efinition 5 Le graphe de manipulation [Sahbani 03] repr´esente l’espace de recherche utilis´e pour trouver un plan solution au probl`eme de manipulation. Quand il n’y a qu’un seul robot et un seul objet il est constitu´e de la roadmap de Grasp ∩ Placement `a laquelle sont rajout´es des arcs de Transit et de Transfert.
Un arc de Transit doit ˆetre reli´e `a deux nœuds de Grasp ∩ Placement ayant la mˆeme configuration pour l’objet. Il doit ˆetre valid´e en prenant en compte l’objet `a cette configuration.
Un arc de Transfert doit ˆetre reli´e `a deux nœuds de Grasp ∩ Placement ayant la mˆeme configura- tion de prise.
Si les positions initiales et finales du robot et de l’objet sont dans la mˆeme composante connexe du graphe de manipulation, alors il existe une solution. Il « suffira » d’extraire la solution du graphe et de l’optimiser. Nous retrouvons ici le sch´ema en trois phase du PRM (§ 2.2).