Notre planificateur s’int´eresse aux probl`emes de manipulation pour un ensemble de robots mobiles et d’objets. Comme nous l’avons dit pr´ec´edemment, l’approche g´eom´etrique va ˆetre bas´ee sur les
34 Chapitre 3. L’espace de recherche de la g´eom´etrie.
roadmaps probabilistes. Nous allons donc d´efinir les objets et robots `a la fois dans l’espace r´eel et dans l’espace des configurations. Nous pr´esenterons aussi une m´ethode de composition des objets et des robots permettant de constituer de nouveaux robots ou objets plus complexes. Cette m´ethode sera un point fondamental de la manipulation ainsi que de la nouvelle topologie sur l’ensemble des roadmaps que nous allons d´evelopper plus loin dans ce chapitre (§ 3.4).
3.1.1 Objets, robots, d´efinitions.
D’un point de vue g´eom´etrique, les robots et les objets d´epla¸cables sont similaires. Ils poss`edent des corps rigides qui peuvent entrer en collision avec l’environnement, et des articulations qui les relient entre eux. Chaque articulation poss`ede un certain nombre de degr´es de libert´e (un joint de translation ou de rotation en poss`ede 1, un joint plan ou rotule en poss`ede 3). Une instanciation de ces degr´es de libert´e repr´esente la configuration d’un robot ou d’un objet.
Dans notre application les robots et les objets d´epla¸cables ont une mˆeme repr´esentation, seules les m´ethodes locales qui leurs sont appliqu´ees changent. Ainsi un robot est capable de mouvement propre. Sa m´ethode locale (dans une roadmap de mouvement) repr´esentera ses capacit´es de d´eplacement. Un objet d´epla¸cable ne pourra pas se mouvoir seul, il n’aura pas de m´ethodes locales (sa roadmap associ´ee ne poss´edera pas d’arc). Les objets qui ne sont pas d´epla¸cables seront consid´er´es comme des obstacles statiques qui d´efiniront l’environnement statique.
Pour g´en´eraliser la notion d’objet et de robots nous parlerons de chaˆınes cin´ematiques. Une chaˆıne cin´ematique est un ensemble d’articulations reli´ees entre elles auxquelles peuvent ˆetre rattach´es un ensemble de corps rigides. Une instance des degr´es de libert´es de ces articulations repr´esente une configuration de la chaˆıne cin´ematique.
Nous utiliserons trois types de chaˆınes cin´ematiques :
Les « chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires » : C’est le niveau le plus fin que l’on va ´etudier. Elles repr´esentent l’ensemble minimal d’articulations reliant des corps rigides qui d´efinissent l’objet, le robot ou une sous-partie de robot qui sera ´etudi´ee ind´ependamment dans notre probl`eme. Une « chaˆıne cin´ematique ´el´ementaire » ne pourra pas ˆetre coup´ee, ses articulations doivent constamment avoir des valeurs valides.
Pour pouvoir repr´esenter les corps rigides dans l’espace, les 6 premiers degr´es de libert´e d’une « chaˆıne cin´ematique ´el´ementaire » repr´esentent un rep`ere de placement par rapport au r´ef´eren- tiel de l’environnement.
Les chaˆınes cin´ematiques virtuelles : Elles ont les mˆemes propri´et´es que les « chaˆınes cin´ema- tiques ´el´ementaires » mais ne comportent aucun corps rigide. Elles n’ont donc pas besoin des 6 degr´es de libert´e de placement. Elles sont utilis´ees pour repr´esenter les attachements entre objets et robots qui peuvent parfois ˆetre assez complexes.
Par exemple un robot qui tiens une barre cylindrique `a un attachement d´efini par un joint plan (pince plate) suivi d’un joint de rotation autour de l’axe de la barre. Toutes les prises sont possibles autour de ce cylindre. Ce n’aurait pas ´et´e le cas avec un livre.
3.1. Composer et d´ecomposer les robots. 35
Les chaˆınes cin´ematiques compos´ees : Elles sont la concat´enation de chaˆınes cin´ematiques ´el´e- mentaires, virtuelles ou compos´ees. Elles peuvent donc ˆetre divis´ees.
Figure 3.1:Exemple d’assemblage de chaˆınes cin´ematiques pour combiner des m´ethodes ´el´ementaires ou pour cr´eer des tˆaches d’assemblage.
Par exemple (figure 3.1), pour un robot humano¨ıde, nous pouvons envisager d’´etudier s´epar´ement chacun des bras qui aura des m´ethodes locales propres, les jambes, la tˆete. Ce seront les « chaˆınes cin´e- matiques ´el´ementaires ». Bien entendu nous pouvons aussi ´etudier le robot complet en tant que chaˆıne cin´ematique compos´ee. Celui-ci sera un assemblage des chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires profitant de la combinaison des m´ethodes locales des sous-parties. De mˆeme pour une table que l’on envisage d’as- sembler nous pouvons consid´erer les pieds de la table, et son plateau comme des « chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires ». Cela nous permettra d’aborder les tˆaches d’assemblage.
Comme le montre la figure 3.2, les « chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires » commencent toujours par 6 degr´es de libert´e pour le placement dans le r´ef´erentiel de l’environnement.
Cette propri´et´e est importante, car ces chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires vont ˆetre parfois atta- ch´ees `a d’autres robots et ainsi ˆetre positionn´ees en n’importe quel point de l’espace. Avec ce posi- tionnement initial nous pouvons comparer les positions absolues des corps solides.
Notons que nous nous autoriserons certaines transformations sur ces degr´es de libert´e de placement afin de construire des roadmaps relatives (§ 4.3).
En d’autres termes, les chaˆınes cin´ematiques ´el´ementaires repr´esenteront les positions absolues des diff´erents corps solides, elles seront utilis´ees pour la d´etection de collision.
Pour ces chaˆınes cin´ematiques nous pourrons d´efinir un ensemble de m´ethodes locales propres. Par exemple pour un bras manipulateur nous pouvons avoir des mouvements dans l’espace des configura- tions (articulation du bras) ou dans l’espace cart´esien de l’organe terminal1 (figure 3.2.a). Pour une base mobile, nous avons toute une vari´et´e de mouvements possibles, allant de mouvements lin´eaires `a un mouvement complexe tenant compte des contraintes de frottement d’une remorque (figure 3.2.b). Nous ne prendrons pas en compte les dynamiques dans nos exemples, mais les m´ethodes locales peuvent
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Un mouvement dans cette espace assurera un d´eplacement lin´eaire du rep`ere de la pince entre deux configurations. Cela repose sur une m´ethode de cin´ematique inverse.
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Figure 3.2: Exemple de combinaison de chaˆınes cin´ematiques et des concat´enations des configurations corres- pondantes.
int´egrer un certain nombre de contraintes propres `a la dynamique des syst`emes, assurant ainsi leur faisabilit´e2. Ces m´ethodes locales pourront ˆetre combin´ees pour cr´eer les m´ethodes locales des chaˆınes cin´ematiques compos´ees.
3.1.2 La composition de chaˆınes cin´ematiques.
Apr`es avoir d´efini les chaˆınes cin´ematiques, nous pouvons d´efinir une m´ethode de composition permettant d’assembler ces chaˆınes cin´ematiques en reliant entre elles leurs articulations. Ainsi dans l’exemple de la figure 3.2, le robot r´esultant a pour configuration une concat´enation des configurations des chaˆınes cin´ematiques, auxquelles s’ajoutent les degr´es de libert´e des chaˆınes cin´ematiques virtuelles d´efinissant les attachements.
En plus de cette concat´enation, on peut d´efinir pour le robot r´esultant un ensemble de m´ethodes de calcul sur la chaˆıne cin´ematique r´esultante. En effet, nous pouvons obtenir des chaˆınes cin´ematiques redondantes, c’est-`a-dire qu’un certain nombre de degr´es de libert´e doivent ˆetre calcul´e en fonction des autres. Par exemple un robot qui transporte un objet, va imposer la position de l’objet en fonction de la position de son bras, autrement dit les six degr´es de libert´e de l’objet doivent ˆetre calcul´es en fonction de la position du bras (figure 3.2.c). D’un autre cˆot´e, si nous cherchons `a d´eterminer la position du bras qui permet d’attraper un objet au sol, il nous faut calculer les valeurs des degr´es de libert´e du bras en fonction de la position au sol de l’objet (figure 3.2.d). Nous allons utiliser intensivement les m´ethodes de calcul de chaˆınes cin´ematiques d´evelopp´ees par [Cort´es 02, Han 00] (§ 2.5). Nous ne cherchons pas `a avoir une pr´esentation minimale des degr´es de libert´e des robots.
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La m´ethode Reeds et Shepp (succession de ligne et d’arc de cercle) impose un changement du rayon de courbure (i.e. de l’orientation des roues) instantan´e. D’autres m´ethodes locales peuvent ˆetre utilis´ees pour assurer un changement continue plus proche de la r´ealit´e.