2.2.1 Equation de Poisson
N
OUS avons vu au premier chapitre qu’en pratique, on travaille essentiellement avec des distributions volumiques de charges et non avec un ensemble de charges ponctuelles.Cette section va donc g´en´eraliser les notions introduites pr´ec´edemment au cas de dis-tributions volumiques de charge. Les deux ´equations de Maxwell de l’´electrostatique vont nous permettre de d´eterminer une ´equation, l’´equation de Laplace que satisfait le potentiel et dont la solution donne l’expression du potentiel ´electrique.
SoitDune distribution volumique de charges de charge volumiqueρ(x, y, z). Nous savons que :
Nous avons vu que le champ ´electrostatique peut s’´ecrire sous la forme −→
E = −−−→
∇V. Cela am`ene naturellement l’´equation de Maxwell-Gauss a ˆetre exprim´ee comme
−
→∇ ·−−→
∇V = ∆V =−ρ
εo (2.21)
2.2. DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE CHARGES 37 Cette ´equation porte le nom d’´equation de Laplace quandρ = 0et d’´equation de Poisson quand ρ 6= 0 (du nom des math´ematiciens qui ont ´etudi´e les diverses solutions de cette ´equation). On montre que si une solution de cette ´equation existe alors cette solution est unique (th´eor`eme d’unicit´e). L’exp´erience montre que la r´esolution de cette ´equation est souvent ardue du fait de la pr´esence de l’op´erateur laplacien. Nous priviligierons donc d’autres approches pour calculerV sauf dans certains cas o `u cette relation est la seule utilisable.
2.2.2 Potentiel ´electrostatique d’une distribution de charges volumique
Nous avons vu dans les sections pr´ec´edentes que l’expression du champ ´electrique engendr´e par une distribution volumique de charges ´etait
−
∇V liant le potentiel au champ ´etant toujours valable, il nous faut trouver une expression de V dont le gradient donne l’expression du champ ´electrostatique ci-dessus. En reprenant un r´esultat d´ej`a d´emontr´e dans ce cours, nous pouvons ´ecrire
− o `u∇M est l’op´erateur nabla pris au pointM. Ce pointM est fixe au cours de l’int´egration sur le volume, nous pouvons donc le sortir de sous le signe int´egral. On obtient ainsi
− On obtient ainis l’expression du potentiel engendr´e par une distribution volumique de charge
V(M) = 1 4πε0
Z Z Z ρ(P)dτ(P)
P M (2.25)
On peut g´en´eraliser ce r´esultat `a d’autres types de distribution comme les distributions surfaciques et lin´eiques
Reprenons l’exemple d’une plaque charg´ee uniform´ement avec une densit´e surfacique σ et un rayon R(voir figure 1.11). Calculons, `a pr´esent le potentiel au point M dont les coordonn´ees cy-lindiques sont (r, θ, z) = (0,0, z). En appliquant la formule pr´ec´edente et en se rappelant que P M =√ tout est bien conforme, on peut calculer le champ magn´etique associ´e `a ce potentiel car
−
On retrouve bien la mˆeme expression du champ ´electrique. On peut noter ici que seul la compo-sante verticale du gradient est non-nulle car le potentiel ne d´ependait que de la variablez.
2.2.3 Energie d’une distribution de charges
Nous avons vu au paragraphe 2.1.2 l’´equation 2.12 donnant l’´energie d’un ensemble de charges ponctuelles :
o `uPiest le point o `u se trouve la chargeqietV est le potentiel ´electrostatique total. Nous pouvons maintenant g´en´eraliser l’expression de l’´energie au cas d’une distribution volumique de charge, de charge volumiqueρ.
Ep = 1 2
Z Z Z
ρ(P)V(P)dτ(P) (2.30)
o `uP est un point mobile au cours de l’int´egration d´ecrivant toute la distribution de charge. On g´en´eralise de mˆeme aux autres types de distribution
Ep = 1
Nous verrons plus avant dans ce chapitre comment l’on peut r´eexprimer cette ´energie en fonction du champ ´electrostatique. Une r´e´ecriture en termes de densit´e de charge peut se faire en utilisant l’´equation (2.25) qui fait une apparaˆıtre une double int´egration sur l’espace
Ep= 1 Ce type de calcul peut s’av´erer ardu et ne sera pas abord´e dans le cadre de ce cours. Cette ´ecriture peut bien ´evidemment se g´en´eraliser aux autres types de distribution.
2.2.4 Energie d’interaction de plusieurs distributions de charges
Dans le cas d’une distribution unique de charge, nous avons vu que l’effet du champ ´electrique engendr´e par la distribution sur elle-mˆeme peut ˆetre caract´eris´e par une ´energie potentielle as-soci´ee. Si maintenant nous consid´erons deux distributions volumique de chargeρ1etρ2, l’´energie potentielle totale sera o `u V1 et V2 sont respectivement les potentiels ´electrostatiques engendr´es par les distributions ρ1 et ρ2 (en vertu du principe de superposition). Si on d´eveloppe cette expression comme dans l’´equation (2.32), on arrive `a Les deux premiers termes du membre de droite correspondent aux ´energies potentielles intrins`eques de chaque distribution de charge tandis que les deux derniers correspondent `a l’´energie d’interac-tion entre les deux distribud’interac-tions. L’´energie d’interacd’interac-tionEint repr´esent´ee par ces deux termes, se r´esume `a une seule expression car on voit que
Z Z Z
2.2. DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE CHARGES 39 ce qui revient `a ´ecrire l’´energie totaleEpcomme
Ep =Ep,1+Ep,2+Eint= 1 On a donc le choix pour le terme d’interaction de choisir l’une ou l’autre des distributions pour le calcul de ce terme.
2.2.5 Champ ´electrique et ´energie ´electrostatique
Nous avons vu pr´ec´edemment que l’´energie potentielle ´electrostatique peut s’exprimer en fonction d’une int´egrale sur la densit´e de charge et sur le potentiel. Nous pouvons r´eexprimer tout cela en termes de champ ´electrique. Pour cela, il nous faut connaitre une propri´et´e de la divergence d’un vecteur qui dit que
Nous avons utilis´e la relation de Maxwell-Gauss reliant la divergence du champ `a la densit´e de charge pour obtenir le r´esultat. L’expression (2.30) peut alors se mettre sous la forme
Ep= εo La surfaceSapparaissant ici est une surface ferm´ee qui entoure le volume d’int´egration du deuxi`eme terme (th´eor`eme de Green-Ostrogradsky). Cette relation se simplifie si le volume d’int´egration s’´etend jusqu’`a l’infini car `a l’infini le potentiel (et le champ) ´electrostatique s’annule. On obtient ainsi que
On retrouve ais´ement l’expression de l’´energie potentielle totale entre deux distribution de charges en appliquant le principe de superposition qui dit que−→
Etot=−→
2.2.6 Circulation du champ ´electrostatique et potentiel
Nous avons d´emontr´e que le champ ´electrique pouvait s’´ecrire sous la forme d’un gradient d’un potentielV. Cette propri´et´e d´ecoule directement de la loi de Maxwell-Faraday. Un corrollaire de cette loi est que le champ est `a circulation conservative. En effet si on applique le th´eor`eme de Stokes `a l’´equationde Maxwell-Faraday on obtient
Z Z
o `uCest le contour ferm´e d´elimitant la surfaceS. On voit que la circulation du champ ´electrostatique sur n’importe quel contour ferm´e sera toujours nulle. Du point de vue du potentiel ´electrostatique on v´erifie cette propri´et´e car ‘
Z B
Dans un contour ferm´e on a ´evidemmentA=Bce qui donne bien un r´esultat nul. Cette derni`ere relation est tr`es importante car elle permet de calculer l’expression du potentiel ´electrostatique `a partir de l’expression du champ ´electrostatique.