A= 1 %donnent des résultats très proches de ceux obtenus analytiquement avec le
critèreR
ηdt= 1. Concernant le temps d’apparition tneck, il est plus difficile de faire
un choix sur le critère le plus adapté.
5.4 Distribution de fréquences de localisation
Nous avons par ailleurs démontré, au Chapitre 3, que l’analyse linéaire de
stabi-lité permet d’aboutir à une fonction densité de probabistabi-lité pour les fréquences ou les
longueurs inter-strictions. Par la suite, au Chapitre 4, nous avons mis en évidence
que la densité spectrale, associée au profil de section du barreau en traction, peut
être décrite par une distribution Gamma, permettant ainsi, de la même manière, de
représenter la distribution des fréquences de localisation.
Des comparaisons de distributions obtenues, d’une part, à partir de simulations
numériques avec 1%d’amplitude de perturbation, et d’autre part, à partir de
l’ana-lyse linéaire de stabilité associée au critère R
ηdt= 1, sont illustrées sur les Figures
5.2 (en termes de fréquences de strictions) et 5.3 (en termes de longueurs
inter-strictions) pour des vitesses de chargement de 300, 600, 1050 et 2100m/s. La bonne
correspondance des modes dominants est ici retrouvée. Pour la vitesse la plus faible,
300 m/s (ε˙≈4600s−1), les distributions analytiques et numériques sont quasiment
superposées. L’écart entre les deux approches croît avec la vitesse de chargement.
Cette différence doit pouvoir s’expliquer par le développement non linéaire des
instabilités, dans les simulations numériques, qui se produit avant l’instant tneck,
contrairement à l’approche linéaire qui ne peut tenir compte d’interactions entre les
différents modes de perturbation. Ces développements non linéaires permettraient,
en effet, d’expliquer une atténuation (relative) des perturbations de petits et grands
nombres d’onde. Il semble, en effet, dans les simulations numériques, que les zones
inter-strictions sont affectées bien avant la première relaxation élastique en y
in-terrompant le développement des fluctuations. La vitesse de déformation plastique
chute en effet fortement dans ces régions, d’autant plus que la vitesse initiale de
chargement est importante. Ce phénomène pourra être constaté sur les Figures 5.4
et 5.5 qui représentent la vitesse de déformation plastique, pour une vitesse de
char-gement de V0 = 300 et 2100m/s, à 2 instants différents précédant le temps tneck
et un instant voisin de tneck. Les valeurs moyennes < ε˙p > et médianes ( ˙εp)med de
la vitesse de déformation plastique sont également représentées sur ces figures. La
valeur médiane ( ˙εp)medindique que 50% des vitesses de déformation sont inférieures
à ( ˙εp)med, les autres étant par conséquent supérieures. Lors de la croissance linéaire
des instabilités, moyennes et médianes doivent être confondues. Il apparaît pourtant
que ces deux caractéristiques statistiques divergent au cours de la déformation bien
avant le temps tneck dans les simulations numériques.
5.5 Conclusion
Il a été constaté, dans ce chapitre, lors de la comparaison entre les temps
d’ap-parition et le nombre de strictions obtenus dans les chapitres 3 et 4, de bonnes
corrélations lorsqu’un critère analytique de la forme R
η dt = cst est utilisé. Ceci
montre que la prise en compte de l’histoire de l’évolution des perturbations semble
nécessaire pour rendre compte correctement de la localisation.
Cette comparaison est d’autant plus satisfaisante qu’elle apparaît correcte même
en termes de distribution de fréquence de localisations (ou de manière équivalente,
en termes de longueurs inter-strictions). Les distributions obtenues pour de faibles
vitesses de chargement V0 sont quasiment superposées. Des différences notables se
font sentir lorque V0 devient important.
Il apparaît, en effet, que le critère numérique aboutissant à l’obtention de tneck
est imparfait. Nous avons finalement montré qu’un développement non linéaire des
instabilités avait déjà lieu avant tneck. Ces non linéarités peuvent expliquer les
diffé-rences observées entre les distributions de localisation analytiques et numériques.
5.5. CONCLUSION 139
Fig. 5.2 – Distributions de fréquences de strictions analytiques et numériques pour
des vitesses de chargement de 300, 600, 1050 et 2100 m/s. Les distributions
nu-mériques, en traits pleins, correspondent à la fonction Gamma pour une amplitude
A = 1 % et des tailles de cellule de perturbation S0 au temps tneck. Les
distribu-tions analytiques, en pointillés, sont déterminées à partir de la normalisation de la
fonctionδSˆ0(exp(R ηdt)−1)
2
associé au bruit coloré utilisé au paragraphe 3.3.2,
lorsque le critère R
Fig.5.3 – Distributions de longueurs inter-strictions analytiques et numériques pour
des vitesses de chargement de 300, 600, 1050 et 2100 m/s. Les distributions
numé-riques, en traits pleins, correspondent à la fonction Gamma pour une amplitude
A = 1 % et des tailles de cellule de perturbation S0 au temps tneck. Les
distribu-tions analytiques, en pointillés, sont déterminées à partir de la normalisation de la
fonction δSˆ0(exp(R ηdt)−1)
2
associé au bruit coloré utilisé au paragraphe 3.3.2,
lorsque le critère R
5.5. CONCLUSION 141
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.4 – Vitesse de déformation plastique ε˙p le long de l’axe du barreau (en
co-ordonnées Lagrangiennes) à t= 117, 135 et 153µs pour une vitesse de chargement
V0 = 300m/s (A = 1 %, S = S0). Pour ce cas particulier, tneck = 156.6µs. La
moyenne < ε˙p > et la médiane ( ˙εp)med sont également représentées par des droites
horizontales. On peut constater, àt = 117µs, que la moyenne et la médiane sont
qua-siment confondues, ce qui correspond à un comportement quasi-linéaire. Au cours de
la déformation, la moyenne et la médiane sont de plus en plus distinctes, indiquant
des effets non linéaires bien avant le temps tneck.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.5 – Vitesse de déformation plastique ε˙p le long de l’axe du barreau (en
co-ordonnées Lagrangiennes) à t = 30, 33 et 39 µs pour une vitesse de chargement
V0 = 2100m/s (A = 1 %, S = S0). Pour ce cas particulier, tneck = 38.7µs. La
moyenne < ε˙p > et la médiane ( ˙εp)med sont également représentées par des droites
horizontales. On peut constater, àt = 30µs, que la moyenne et la médiane sont
qua-siment confondues, ce qui correspond à un comportement quasi-linéaire. Au cours de
la déformation, la moyenne et la médiane sont de plus en plus distinctes, indiquant
des effets non linéaires bien avant le temps tneck.
Chapitre 6
Essais d’expansion d’anneaux
6.1 Introduction
Nous avons fait mention, dans l’introduction de ce rapport de thèse, de
nom-breux travaux expérimentaux dédiés à l’étude de la fragmentation dynamique. Afin
de compléter les approches théoriques et numériques de cette thèse, nous avons
dé-veloppé un dispositif d’expansion d’anneaux par forces électromagnétiques.
En effet, si l’épaisseur est faible devant le rayon moyen, l’expansion d’anneaux
permet de générer un chargement comparable au cas de la traction dynamique d’un
barreau. Les résultats expérimentaux peuvent donc, dans une certaine mesure, être
comparés aux résultats préalablement établis à partir des approches analytiques et
numériques des chapitres 3 et 4. L’utilisation de forces électromagnétiques dans une
étude expérimentale a, par ailleurs, de nombreux avantages par rapport à l’utilisation
d’explosifs. Pour des raisons de sécurité évidentes, il est plus simple et plus rapide
de mettre en œuvre des moyens d’essais électromagnétiques. Enfin, la visualisation
par caméras rapides n’est pas entravée par l’apparition de produits de détonation.
Il existe malgré tout un défaut majeur de cette méthode expérimentale. Elle
im-plique la circulation d’un courant induit dans l’anneau d’étude, ce qui favorise les
échauffements par effet Joule et modifie, par conséquent, l’état de la matière étudiée.
Généré par les courants impulsionnels, cet échauffement se localise essentiellement
sur la surface interne de l’anneau, conduisant à un fort gradient de température dans
la section de l’anneau.
Nous pouvons citer, parmi les expérimentateurs qui ont fait ce choix
d’expéri-mentation, Niordson(1965),Wesenberg et Sagartz (1977),Grady et Benson(1983),
Gourdin (1987), Gourdin (1989), Altynova et al. (1996), Grady et Olsen (2003) et
Zhang et Ravi-Chandar(2006). Les premières études (en particulierNiordson(1965)
etGourdin(1989)) avaient pour objet principal l’étude du comportement dynamique
des matériaux. La vitesse de déformation recherchée était alors de l’ordre de104 s−1
avec des déformations importantes (plusieurs dizaines de pourcents). Ce type de
régime ne peut être obtenu que par expansion de tubes ou d’anneaux par forces
électromagnétiques ou par chargement explosif (en prenant alors des précautions
importantes afin d’atténuer la propagation des ondes de choc dans l’éprouvette).
Nombreuses sont les études qui se sont concentrées sur l’évaluation des
caractéris-tiques principales de la fragmentation : déformation moyenne à rupture, nombre et
tailles de fragments, ... SeulsAltynova et al.(1996) etZhang et Ravi-Chandar(2006)
ont cherché à évaluer un nombre de strictions au cours de leurs essais. Néanmoins,
ces auteurs n’ont déterminé ces strictions que visuellement. Cela introduit des biais
liés à l’opérateur.
Enfin, les matériaux testés et présentés dans l’ensemble de ces études ont, en
général, été caractérisés sous sollicitation quasi-statique et sont souvent modélisés à
l’aide de lois de comportement simples. Cependant, Gourdin (1987) a montré que
la fragmentation était très sensible aux caractéristiques du matériau testé, en
parti-culier à la taille des grains. Par ailleurs, Petit et Dequiedt (2006) ont montré qu’en
dynamique, dans certains matériaux, une saturation de la densité des dislocations
est observée en grande déformation. Par ailleurs, le mouvement des dislocations à
grande vitesse de déformation peut engendrer un “freinage visqueux”. Afin de prendre
en compte ces effets, ils ont modifié la loi initiale de Zerilli et Armstrong (1987). Le
6.2. PRÉ-DIMENSIONNEMENT 145
Dans le document
Étude du développement des instabilités dans un anneau en expansion dynamique
(Page 139-147)