Comparaison expérience/calcul

Afin de valider le schéma numérique présenté précédemment et qui permettra

par la suite de dimensionner la configuration expérimentale aboutissant à la vitesse

6.3. ESSAIS D’EXPANSION D’ANNEAUX 161

d’expansion souhaitée, il est nécessaire de comparer les résultats expérimentaux et

numériques. Comme précisé précédemment, nous avons sélectionné un anneau de

cuivre qui a un rayon moyen de20.5mm, et une section carrée de1×1mm2. La

ten-sion de charge aux bornes des condensateurs que nous avons choisie estU₀ = 1.5kV.

Pour les calculs numériques, nous avons considéré la loi de type Zerilli et

Arm-strong (1987) modifiée selon Petit et Dequiedt (2006) décrite par l’équation (3.16).

Les caractéristiques du cuivre considérées sont définies dans le tableau 3.1. Nous

avons également supposé une évolution de la masse volumique ρ du cuivre fonction

de la température T suivant l’approximation polynomiale :

ρ= 9056.3−0.40335 T −7.1257×10⁻⁵ T²

Cette approximation polynômiale a été établie à partir d’une isobare construite

suivant la loi d’état de Murnaghan (1951) utilisée dans les simulations numériques

du chapitre 4.

Nous pouvons donc comparer les vitesses d’expansion et les courants obtenus

expérimentalement aux résultats du schéma numérique précédent. La Figure 6.9

présente la comparaison des vitesses d’expansion radiale expérimentales (en trait

plein) et numériques (en trait discontinu). Une bonne superposition de la mise en

vitesse est observée. Une divergence est par la suite constatée. La vitesse maximale

atteinte par l’anneau est d’environ 143 m/s tandis que le calcul donne une vitesse

maximale de 152 m/s. La décroissance de la vitesse due au travail des déformations

plastiques est plus importante dans l’expérience. Malgré ces différences qu’il sera

nécessaire de mieux comprendre, une bonne restitution est obtenue par le calcul. La

Figure 6.10 présente la comparaison des courants circulant dans la bobine et dans

l’anneau du montage expérimental (en trait plein) et calculés numériquement (en

traits discontinus). On peut constater que le courant du circuit principal circulant

dans l’anneau devient nul à partir d’environ 60 µs. Ceci est dû à l’éclateur utilisé

pour déclencher la décharge des condensateurs qui joue, par la suite, le rôle de diode

Fig. 6.9 – Vitesse d’expansion radiale de l’anneau au cours du temps pour une

tension de charge de 1.5kV. Les résultats expérimentaux sont représentés en trait

plein, tandis que les résultats numériques sont en traits discontinus. Le signal de

vitesse expérimental est interrompu vers 60 µs. Le comportement du cuivre est

décrit, dans le calcul numérique par un modèle de Zerilli-Arsmtrong modifié (voir

l’équation (3.16)).

dans le circuit. Les courants sont correctement restitués par le calcul numérique.

Une légère sous-estimation de l’intensité du courant est malgré tout observée. Ces

résultats globalement satisfaisants permettent de valider la modélisation présentée

au début de ce chapitre pour réaliser un pré-dimensionnement. Ces calculs donnent

également accès aux déformations, aux vitesses de déformations, et aux

tempéra-tures dans l’anneau au cours du chargement.

La figure 6.11 décrit l’évolution de la vitesse de déformation moyenne dans

l’an-neau en fonction du temps, lorsque la tension de charge est de 1.5 kV. Un pic

apparaît à environ t = 30 µs avec une valeur de vitesse de déformation d’environ

6600 s⁻¹. Cette valeur va progressivement chuter, lors du vol libre de l’anneau, du

fait de la conversion de l’énergie cinétique en travail plastique.

La Figure 6.12 présente l’évolution de la déformation plastique au sein de

l’an-neau. En considérant, comme Zhang et Ravi-Chandar (2008), que la déformation

à striction est d’environ 0.3, alors l’apparition des instabilités se produit à environ

6.3. ESSAIS D’EXPANSION D’ANNEAUX 163

Fig. 6.10 – Courant circulant dans la bobine et dans l’anneau pour une tension de

charge de1.5kV. Les résultats expérimentaux sont représentés en trait plein, tandis

que les résultats numériques sont en traits discontinus. Le courant expérimental dans

la bobine s’annule vers 60µs. Il restera nul en raison de l’éclateur qui joue ici le rôle

de diode. Le comportement du cuivre est décrit par un modèle de Zerilli-Arsmtrong

modifié (voir l’équation (3.16)).

65µs. D’après la Figure 6.13 qui représente l’évolution du rayon de l’anneau au cours

du chargement, l’anneau aura donc un rayon à striction d’environ27.5mm. On peut

remarquer, sur les mesures expérimentales, qu’à t = 65µs, lorsque la déformation

plastique atteint la déformation à rupture, un courant d’une intensité supérieure à

5kA circule encore dans l’anneau.

Enfin, nous constaterons, à partir des résultats de la Figure 6.14, les contributions

de l’effet Joule et du travail plastique à l’échauffement total dans l’anneau.

L’éléva-tion de la température, dans l’anneau, est en effet essentiellement dû à l’échauffement

par effet Joule. Le comportement du cuivre et le développement des instabilités

se-ront par conséquent affectés par cet effet particulier. Une élévation de 160 K est

observée. De fait, les simulations et les modélisations devront donc tenir compte de

cette élévation de la température. Néanmoins, la loi d’évolution de la température

dans l’anneau, décrite par l’équation (6.15), a été obtenue en supposant une

réparti-tion homogène du courant dans l’épaisseur de l’anneau. En réalité, le courant circule

préférentiellement près de la surface interne de l’anneau. L’échauffement par effet

Joule donnera lieu à un gradient de température dans la section qui ne peut

mal-heureusement pas être correctement pris en compte dans une approche analytique

du développement des instabilités, telle que présentée dans le chapitre 3.

Nous savons donc que la comparaison expérience/analytique nécessitera une

mo-dification du montage expérimental permettant la réduction, voire l’élimination, des

courants induits dans les anneaux d’études. Nous décrirons en conclusion la solution

envisagée.

Fig. 6.11 – Vitesse de déformation de l’anneau au cours du temps pour une tension

de charge de1.5kV. Le comportement du cuivre est décrit par un modèle de

Zerilli-Arsmtrong modifié (voir l’équation (3.16)).