3.2 L’Analyse Linéaire de Stabilité
3.2.3 Analyse dimensionnelle du problème d’extension d’un barreau 60
ε
0et Rt
0ηdt pour une vitesse de chargement
de 900 m/s. La longueur initiale du barreau est 2L0 = 128.8mm et sa section
initiale S0 =π R2
0 = 1mm2. Le matériau est un cuivre décrit par une loi Zerilli et
Armstrong (1987) modifiée, définie par l’équation (3.16), dont les paramètres sont
présentés dans le tableau 3.1.
3.2.3 Analyse dimensionnelle du problème d’extension d’un
barreau
Il est intéressant de connaître l’effet des différents paramètres inhérents au
pro-blème des instabilités dans un barreau en traction. Pour ce faire, une analyse
dimen-sionnelle du problème va être conduite.
Il faut commencer par recenser les grandeurs intervenant lors de cette
exten-sion. On peut ainsi considérer : la limite élastique initiale σ0
y comme une variable
indépendante, même si en toute rigueur, elle dépend de la déformation et de la
température ; les différentes sensibilités m˜, n˜ et q˜, et la masse volumique ρ, comme
paramètres physiques; la longueur initiale L0 et le rayon initial R0 du barreau
et la vitesse de chargement V0, comme données physiques. Enfin, les variables
dépendantes qui seront recherchées ici sont le temps de départ tneck et le nombre
3.2. L’ANALYSE LINÉAIRE DE STABILITÉ 61
Fig. 3.3 – Évolution du mode dominant des instabilités suivant les grandeurs η
˙
ε
0et
Rt
0 ηdt. La configuration et les paramètres du matériau sont les mêmes que ceux de
la Figure 3.2.
tneck σy0 m˜ n˜ q˜ ρ L0 R0 V0 Cr
[L] 0 -1 0 0 0 -3 1 1 1 0
[M] 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
[T] 1 -2 0 0 0 0 0 0 -1 0
Tab. 3.2 – Matrice des exposants aux dimensions pour tneck. [L] est la dimension
d’une longueur, [M] la dimension d’une masse, et [T] celle d’un temps.
suite, on notera Cr cette variable qui pourra êtreη/ε˙=cst ou R
η dt=cst.
Le temps tneck et le nombre Nneck peuvent finalement s’écrire sous forme de
fonc-tions du type :
tneck =ft(σy0; ˜m, n,˜ q, ρ˜ ;L0, R0, V0, Cr) (3.19)
Nneck =fN(σy0; ˜m, n,˜ q, ρ˜ ; L0, R0, V0, Cr) (3.20)
L’utilisation du théorème de Vaschy-Buckingham, autrement appelé théorèmeπ,
permet de transformer l’expression (3.19) en une relation entre un nombre réduit de
combinaisons de ces paramètres. Le nombre de grandeurs considérées est deN = 10.
Le rangr de la matrice des exposants aux dimensions, représenté par le tableau 3.2,
est de 3. La relation (3.19) peut donc se réduire à une fonction de N − r = 7
paramètres adimensionnels. Nous pouvons proposer, par exemple, la relation :
tneckV0
L0 =Ft(
σy0
ρ V2
0
, R0
L0, m,˜ n,˜ q, Cr˜ ) (3.21)
dans laquelle apparaissent les grandeurs adimensionnelles t
neckV
0L
0, σ
0 yρ V
2 0et R
0L
0. La
pre-mière est la déformation conventionnelle associée à la déformation à striction εN via
la relationtneckV
0L
0= exp(εN)−1, le rapport V
0L
0étant égal à la vitesse de déformation
initiale. La seconde rend compte de la compétition entre le comportement et
l’iner-tie. Enfin, la dernière grandeur correspond au rapport de forme initial du barreau.
De la même manière, il est également possible de transformer l’expression 3.20 en :
Nneck =FN( σ
0
y
ρ V2
0
, R0
L0, m,˜ n,˜ q, Cr˜ ) (3.22)
Il faut noter que pour la loi de Zerilli et Armstrong(1987) modifiée, les coefficients
˜
m, n˜ et q˜ne sont pas rigoureusement constants. Par ailleurs, il est à noter qu’en
doublant à la fois la longueur du barreau L0 et la vitesse de chargementV0, le temps
d’évolution des instabilités et le nombre de strictions par unité de longueurNneck/L0
doivent être conservés. Par conséquent, les deux groupements σ
0 yρ V
2 0et R
0L
0doivent se
combiner de sorte que l’équation (3.21) devient :
tneckV0
L0 =Ft(
"
σ0
y
ρ V2
0
R0
L0
2#−1/2
, m,˜ n,˜ q, Cr˜ ) (3.23)
De même en gardant V
0L
0constant mais en changeant L0, on doit avoir :
NneckR0
L0
= ˜FN(
"
σy0
ρ V2
0
R0
L0
2#−1/2
, m,˜ n,˜ q, Cr˜ ) (3.24)
Pour estimer les temps d’apparition tneck et le nombre Nneck des strictions, il est
nécessaire d’adopter un critère. Deux choix s’offrent à nous : une valeur critique du
rapport η/ε˙ ou une valeur critique de l’intégrale R
ηdt. Deux valeurs pour chacun
de ces deux types de critère ont donc été testées sur de nombreuses configurations.
Plusieurs vitesses V0 allant de75à5000m/s, trois longueurs2L0 de 128.8, 257.6 et
3.2. L’ANALYSE LINÉAIRE DE STABILITÉ 63
515.2mm, et trois rayonsR0de 0.5642, 1.1284 et 2.2568mm, ont ainsi été considérés
pour cette analyse. La masse volumiqueρet la limite d’écoulementσ0
y sont ici prises
constantes (ρ= 8930kg/m3 et σ0
y = 59.24M P a). Les Figures 3.4 et 3.5 présentent
les courbes maîtresses obtenues pour le rapport t
neckV
0L
0en fonction de R
0V
0L
0q ρ
σ
0y
en
considérant respectivement les deux critères de localisation. On observe pour les
deux figures un changement de régime pour une valeur R
0V
0L
0q ρ
σ
0y
≈15×10−2. Par
ailleurs, les pentes observées sur les deux figures sont dépendantes de la valeur de
η/ε˙ et indépendantes de I. On notera enfin les temps normés donnés par le critère
de Considère (εCons.) qui sont inférieurs à ceux obtenus à partir deI = 1 et 2, mais
compris entre ceux donnés parη/ε˙ = 10et 15. Un critère sous forme intégrale semble
donc être plus adapté.
Comme très souvent dans une analyse dimensionnelle, les deux grandeurs
adi-mensionnelles d’intérêt (t
neckV
0L
0etNneck) peuvent être exprimées sous forme de lois
puissances des autres paramètres adimensionnels :
tneckV0
L0 =
R0
L0 V0
r ρ
σ0
y
!a
g( ˜m, n,˜ q, Cr˜ ) (3.25)
Nneck = L0
R0
R0
L0 V0
r ρ
σ0
y
!b
h( ˜m, n,˜ q, Cr˜ ) (3.26)
Afin d’évaluer correctement les coefficients a et b, une des solutions les plus
avan-tageuses est de tracer l’évolution, en échelle logarithmique, des rapports t
neckV
0L
0et
N
neckR
0L
0en fonction de R
0V
0L
0qρ
σ
0y
. Les pentes obtenues correspondent alors aux
va-leurs dea et b.
Sur la Figure 3.5, deux régimes différents coexistent : un régime à faible inertie
(R
0V
0L
0qρ
σ
0y
< 15×10−2) pour lequel la pente a est d’environ 0.07 et un régime à
haute inertie (R
0V
0L
0q ρ
σ
0y
≥15×10−2) pour lequel la pentea est d’environ 0.3 . Pour
le barreau qui nous intéresse (R
0L
0= 0.645642.4 ), la transition a lieu pour V0 ≈1400m/s.
La différence de régime est marquée avec un rapport de valeurs de a d’environ 4.5.
À titre indicatif, nous pouvons considérer une tendance moyenne de pente a égale
à environ 0.13. Il conviendra, dans le chapitre suivant, de confirmer cette tendance
par des simulations aux éléments finis.
Fig. 3.4 – Évolution du temps tneck normalisé en fonction du paramètre R
0V
0L
0qρ
σ
0 y.
Des critères de localisation η/ε˙ = 10 et 15 sont adoptées. Le critère de Considère
εCons. est également représenté. Les paramètres du matériau sont les mêmes que
ceux de la Figure 3.2.
Les Figures 3.6 et 3.7 présentent les évolutions du rapport N
neckR
0L
0en fonction
du rapport R
0V
0L
0q ρ
σ
0y
en considérant respectivement des critères de localisation de
la forme η/ε˙ ou R
ηdt. Nous observons à nouveau un effet lié à la valeur du critère
η/ε˙ sur les pentes. Une transition est en effet observée pour un rapport R
0V
0L
0qρ
σ
0 yvariant en fonction de la valeur du critère choisie. Cet effet est malgré tout plus
faible que pour le temps d’apparition tneck. En considérant le critère de localisation
sous forme intégrale, l’évolution du rapport N
neckR
0L
0, en échelles logarithmiques, est
quasi linéaire. La pente b déterminée par ces résultats est d’environ 0.4. L’influence
de l’inertie, même si elle reste visible, est bien moins importante ici que pour le
rapport précédent t
neckV
0L
0.
Pour faire la synthèse de ces résultats, à partir des équations (3.25) et (3.26),
pour le critère R
3.2. L’ANALYSE LINÉAIRE DE STABILITÉ 65
Fig. 3.5 – Évolution du temps tneck normalisé en fonction du paramètre R
0V
0L
0q ρ
σ
0 y.
Des critères de localisation R
ηdt = 1 et 2 sont adoptées. Le critère de Considère
εCons. est également représenté. Les paramètres du matériau sont les mêmes que
ceux de la Figure 3.2.
Fig.3.6 – Évolution du nombreNnecknormalisé en fonction du paramètre R
0V
0L
0q ρ
σ
0 y.
Des critères de localisationη/ε˙= 10 et 15 sont adoptés. Les paramètres du matériau
sont les mêmes que ceux de la Figure 3.2.
Fig.3.7 – Évolution du nombreNnecknormalisé en fonction du paramètre R
0V
0L
0qρ
σ
0 y.
Des critères de localisation R
ηdt= 1 et 2 sont adoptés. Les paramètres du matériau
sont les mêmes que ceux de la Figure 3.2.
relations suivantes :
tneck= R00.07
L0
V0
0.93 σ0
y
ρ
−0.035
g( ˜m, n,˜ q, Cr˜ )pour R0V0
L0
r ρ
σ0
y
<15×10−2
= R00.3
L0
V0
0.7 σy0
ρ
−0.15
g( ˜m, n,˜ q, Cr˜ )pour R0V0
L0
r ρ
σ0
y
≥15×10−2
(3.27)
Nneck=
L0
R0
0.6
ρ V2
0
σ0
y
0.2
h( ˜m, n,˜ q˜) (3.28)
On pourra noter queShenoy et Freund (1999) avaient déjà observé, à partir de leurs
résultats analytiques, que le nombre de strictions dominant pouvait raisonnablement
s’exprimer sous la forme :
Nneck =C
R0
L0
−1/2
k
ρ V2
0
−1/4
(3.29)
oùC est une constante de proportionnalité etkun coefficient du matériau homogène
àσ0
3.3. ÉVOLUTION DES MODES D’INSTABILITÉ 67
3.3 Évolution des modes d’instabilité
Nous avons présenté, ci-avant, l’analyse linéaire de stabilité classique. Le
résul-tat principal déduit de cette analyse est une décomposition spectrale du taux de
croissance instantané des perturbations. À partir de la définition d’un critère tel que
ceux décrits précédemment, le mode dominant des instabilités est déterminé. Ce
mode particulier est alors supposé caractériser un nombre de strictions représentatif
pour le cas du barreau en traction. L’objet de cette partie est de mettre en évidence
que la décomposition spectrale obtenue à partir de l’analyse linéaire de stabilité est
encore plus riche en informations complémentaires. Nous montrerons, en particulier,
qu’une distribution de longueurs inter-strictions peut être établie.
Dans le document
Étude du développement des instabilités dans un anneau en expansion dynamique
(Page 62-69)