Distribution atomique dans un potentiel périodique

III.2 Optimisation de la sensibilité . . . . 56

III.2.1 La sensibilité de l’interféromètre RRS . . . . 56 III.2.2 Cohérence et contraste de l’interféromètre . . . . 57 III.2.3 Fluctuations de la probabilité de transition . . . . 61 III.2.4 Estimation de la sensibilité . . . . 62

III.3 Résultats . . . . 64

III.4 Bruits et limitations . . . . 66

III.4.1 Détection . . . . 66 III.4.2 Vibrations . . . . 66 III.4.3 Signal de référence . . . . 66 III.4.4 Lasers de piégeage . . . . 67 III.4.5 Lasers Raman. . . . 67 III.4.6 Profondeur du réseau . . . . 68

III.5 Mesure à faible distance . . . . 69

III.5.1 Sélection . . . . 69 III.5.2 Sensibilité attendue sur la mesure de la force de Casimir-Polder . . . 70

III.6 Amélioration : interféromètre multi-π . . . . 71

III.6.1 Principe . . . . 71 III.6.2 Passage adiabatique . . . . 72 III.6.3 Résultats . . . . 77

III.AAnnexe : le piège harmonique à deux dimensions . . . . 80

III.A.1 Fréquence du piège et taille transverse du nuage . . . . 80 III.A.2 DLD : profil, écart-type et DLD moyen . . . . 80 III.A.3 Gradient vertical = force parasite. . . . 82

III.1 La résolution spatiale

Nous définissons la résolution spatiale ¯σz de notre capteur comme l’écart-type en position dans la direction verticale, moyenné dans le temps, de notre nuage atomique. Pour la déter-miner, nous pourrions mesurer directement la taille du nuage à l’imagerie. Mais la résolution de 5 µm de notre système d’imagerie décrit section II.6.1 est insuffisante. Il nous faut donc une autre méthode pour déterminer ¯σz.

Dans notre piège mixte (voir section II.4.4), le confinement dans la direction transverse est plus faible que dans la direction verticale et notre nuage a la forme d’une galette. Nous pouvons donc mesurer sa taille dans la direction transverse. Ensuite nous déduisons la densité moyenne de la mesure du déplacement collisionnel, c’est-à-dire le déplacement de fréquence induit par les collisions interatomiques, en utilisant l’équation IV.5.

Nous pouvons alors calculer la taille verticale à partir de la densité moyenne ¯nat et de la taille transverse σr. Dans le cas d’un piège harmonique dans les trois dimensions, on a simplement :

σ_z = ^Nat

8π3/2σ2

r¯nat (III.1)

Mais dans le cas du réseau, le profil vertical n’est pas gaussien et nous calculons dans un premier temps le profil de la distribution atomique dans notre potentiel périodique.

III.1.1 Distribution atomique dans un potentiel périodique

Pour déterminer la distribution atomique dans le réseau, nous modélisons tout d’abord l’échantillon atomique à la fin de l’évaporation comme un mélange statistique de paquets d’onde minimaux, à une température de 300 nK, et suivant une distribution gaussienne d’écart-type σz,DT. L’état initial dans le réseau vertical est alors obtenu en projetant ces paquets d’onde sur les états propres |WSlide la bande fondamentale du réseau. Les états projetés dans les bandes excitées, qui ont un temps de vie négligeable (voir section I.3.1), sont considérés comme perdus. On perd alors 15% des atomes à une profondeur de 1,9 Erec, et 23% à 4 Erec. La distribution ainsi obtenue est représentée en bleu sur la figure III.1 (à gauche) pour une profondeur de 1,9 Erec. La courbe rouge correspond à la distribution initiale, dans le piège dipolaire.

On laisse ensuite évoluer les états propres et on peut calculer la position moyenne et l’écart-type de la distribution au cours d’une période de Bloch. On obtient l’oscillation de Bloch induite par la gravité qui se traduit à la fois par une oscillation de la position et de l’impulsion mais aussi de la taille du nuage. Cette dernière est représentée à droite de la figure

III.1. À la profondeur de 1,9 Erec, la position du nuage oscille avec une amplitude d’environ

0,6 µm. Avec un écart-type initial σz,DT de 2,8 µm, la taille σz(t) de l’échantillon oscille entre 2,8 et 3,2 µm. La résolution définie comme l’écart-type moyenné sur le temps vaut alors

¯

III.1. LA RÉSOLUTION SPATIALE -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.5 1 1.5 2 2.8 2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2

Figure III.1 – Densité de probabilité dans la direction verticale dans le piège dipolaire har-monique et dans le réseau à une profondeur de 1,9 Erec(à gauche) avec la taille correspondante évoluant pendant deux périodes de Bloch (à droite).

Maintenant que nous connaissons la distribution verticale du nuage, il est possible de calculer la relation entre la densité linéique moyenne ¯nz et la taille σz qui dépend de la profondeur du réseau :

κ= ¯nz σz

κ(1, 9 Erec) = 0, 34

κ(9 Erec) = 0, 56

(III.2) Ce produit ne dépend pas de la taille initiale σz,DT tant qu’elle est supérieure à deux sites du réseau (0,5µm). De plus, à la profondeur de 1,9 Erec (9 Erec), sa valeur varie de moins de 3% (1%) au cours d’une oscillation de Bloch puisque la densité augmente quand la taille diminue. Plus la profondeur du réseau augmente, plus le volume effectif diminue et plus ce facteur augmente. Dans le cas harmonique on a κharmo= 1

2^√π = 0, 28.

Le déplacement collisionnel est mesuré à l’aide d’interféromètres durant 50 à 100 ms et la densité déduite est donc moyennée sur plusieurs périodes de Bloch (1,76 ms). La taille déduite de la relation III.2 est donc elle aussi moyennée sur une période de Bloch et correspond à notre définition de la résolution ¯σ_z.

Revenons maintenant à notre problème à trois dimensions. Puisque le piège est harmonique dans la direction transverse, on a finalement :

¯

σz = κ ^Nat

4πσ2

r¯nat (III.3)

Remarque : impact des oscillations en position et limite sur la résolution

En principe, la résolution est dégradée par les oscillations en position. Dans notre cas, à 1,9 Erecet avec une distribution de l’ordre du µm, cette dégradation est négligeable (inférieure au pour cent). Par contre si on se place dans la limite d’un unique paquet d’ondes à 300 nK on calcule une dégradation de l’ordre de 15%.

Dans cette limite d’un unique paquet d’ondes, en prenant en compte l’évolution de la taille et de la position au cours d’une oscillation de Bloch, on trouve un écart-type de la distribution en position moyenne de l’ordre du µm (qui dépend de la température et de la position dans le réseau de ce paquet d’ondes). La limite fondamentale de la résolution de notre capteur, si nous ne réalisons pas d’étape de sélection supplémentaire, est donc de l’ordre du micron.