∃α, β > 0 ∀(x, y) ∈ E2 α.d(x, y) ≤ d'(x, y) ≤β.d(x, y) . Exemples :
1) Munissons l’ensemble E = {1, 2, …, n} de la distance discrète d’ et de la distance usuelle d.
Ces deux distances sont équivalentes, car ∀(x, y) ∈ E2 d’(x, y) ≤ | x – y | ≤ n.d’(x, y) .
2) Plus généralement, dans un ensemble fini, toutes les distances sont équivalentes. Il suffit de démontrer qu’elles sont équivalentes à la distance discrète. Il n’y a donc qu’une topologie
« usuelle », la topologie discrète.
3) Soient (E', d') et (E", d") deux espaces métriques, E = E' × E" leur produit, x = (x', x") et y = (y', y") deux éléments de E.
d∞(x, y) = max(d'(x', y'), d"(x", y")), d1(x, y) = d'(x', y') + d"(x", y"), d2(x, y) = d'(x,'y')²+d''(x','y'')² sont trois distances équivalentes sur E.
Proposition 14 : i) L’équivalence topologique et l’équivalence sont des relations d’équivalence dans l’ensemble des distances.
ii) L’équivalence implique l’équivalence topologique, mais la réciproque est fausse en général.
Exercice 1 : Montrer que ∂(x, y) = | x3− y3 | est une distance sur R, topologiquement équivalente, mais non équivalente, à la distance usuelle.
Exercice 2 : Sur le cercle unité du plan euclidien, montrer que les distances cordale et géodésique sont équivalentes.
1 et d" = inf(d , 1) sont des distances bornées et topologiquement équivalentes à d. En particulier, tout espace métrique est homéomorphe à un espace métrique borné.
Exemples et contre-exemples :
1) Sur Kn les trois normes usuelles sont équivalentes, donc topologiquement équivalentes.
2) Sur R, la distance usuelle et la distance discrète ne sont pas topologiquement équivalentes.
3) Sur R, la distance usuelle et la distance induite par celle de R sont topologiquement équi-valentes, mais non équivalentes.
4) Idem pour la distance usuelle de C et la distance induite par celle de C~ . C.6. Théorèmes élémentaires de prolongement.
Proposition 15 (principe de prolongement des identités). Si deux applications continues f et g : (E, d) → (E', d') coïncident sur une partie A dense de E, elles sont égales. une partie génératrice, elles sont égales. En fait, chaque théorie a le sien 39.
Applications :
Il suffit de vérifier cette identité pour des matrices inversibles, et de conclure par densité du groupe linéaire et continuité des deux membres.
39 Ainsi, le « principe de continuité » de Poncelet consiste à déduire certaines propriétés géométriques mettant en jeu des tangentes, des droites parallèles, etc. de propriétés relatives à des cordes ou des droites sécantes, par passage à la limite. Il s’agit au fond d’un raisonnemant par densité dans l’espace projectif réel ou complexe.
4) Si A et B sont deux matrices carrées d’ordre n à coeff. dans R ou C, A.B et B.A ont même polynôme caractéristique.
Prolongement par continuité :
Il découle de la prop. 15 que si A est une partie dense de E, et f : A → (E', d') une fonction continue, f admet au plus un prolongement continu à (E, d) tout entier. Mais il n’en admet pas toujours un. Ainsi f : x → 1/x est continue sur R* mais ne se prolonge pas continûment à l’adhérence R. Toutefois :
Applications : 1) Ce résultat permet de prolonger par continuité en 0 les fonctions : x
[ En réalité ces fonctions sont toutes développables en série au V(0) ].
2) De même, les homographies propres f(z) =
Un autre théorème de prolongement sera vu en D.4.
Exercice : Soit n → rn une bijection de N sur Q ∩ [0, 1]. Montrer que f(x) =
∑
définie sur [0, 1], bornée, croissante, continue en tout irrationnel, et discontinue en tout rationnel.Soit B = [0, 1]−Q. Montrer que g = f | B est continue ; peut-on la prolonger continûment sur [0, 1] ? C.7. Théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.
Ce § est hors programme. Aussi le présentons-nous sous forme de problèmes. Commençons par énoncer une propriété de séparation renforçant l’axiome (D1) :
Exercice 1 : Soient (E, d) un espace métrique, F1 et F2 deux fermés disjoints de E. fondamentaux en topologie générale et algébrique. Il mourut projeté par une vague sur les rochers, à Batz-sur-Mer, au cours d’un voyage avec Alexandroff, l’un des premiers autorisés en Allemagne et en France après la
Soient (E, d) un espace métrique, A un fermé ≠ ∅ de E, f une fonction continue A → R (resp. R).
2) Démontrer le théorème de Tietze-Urysohn.
3) Application (Hewitt) : Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes : i) (E, d) est compact ;
Montrer que g est une fonction de E dans R, prolongeant f, et k-lipschitzienne.
C.8. Valeurs d’adhérence d’une suite, d’une fonction.
La notion de valeur d’adhérence d’une suite ou d’une fonction permet de faire une étude fine des suites divergentes, et des fonctions n’ayant pas de limite en un point.
C.8.1. Valeurs d’adhérence d’une suite.
Définition 9 : Soit (xn) une suite de points de (E, d). On dit que a est une valeur d'adhérence de (xn) si elle vérifie l’une des propriétés équivalentes :
(VA I) (∀ε > 0) (∀n0) (∃n > n0) d(xn, a) < ε ;
(VA II) (∀V ∈
V V V V
(a)) { n ∈ N ; xn∈ V } est une partie infinie de N ; (VA III) Il existe une suite extraite de (xn) tendant vers a.Remarque 1 : On se gardera de confondre les notions de valeur d’adhérence d’une suite, de point adhérent à l’ensemble des points de la suite, et de point d’accumulation de cet ensemble.
Il suffit de considérer la suite ( 1,
Proposition 17 : Soit (xn) une suite de points de (E, d), A l’ensemble de ses valeurs d’adhérence.
A =
I
Révolution d’octobre. Alexandroff développa la topologie algébrique, et fit d’autres voyages à Göttingen dans les années 20. L’autrichien Heinrich Tietze (1880-1964) fit ses études à Vienne, Munich et Göttingen, et fut professeur à Brno, Erlangen et Munich. Il définit la notion d’espace normal en 1923, dont l’importance fut reconnue à la suite des travaux d’Urysohn.Exercice 1 : Lemme de la fosse à serpents.41
1) Établir que, pour que a ne soit pas valeur d’adhérence de la suite (xn), il faut et il suffit qu’il existe une boule ouverte de centre a ne contenant aucun xn à partir d’un certain rang.
2) Retrouver le fait que l’ensemble A des valeurs d’adhérence de (xn) est fermé.
3) Soit (xn) une suite numérique telle que xn+1 – xn → 0. Montrer que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est un intervalle de R ou de R.
C.8.2. Valeurs d’adhérence d’une fonction en un point.
Définition 10 : Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, A ⊂ E, f : A → E', x ∈ Α. On dit que a∈E' est une valeur d’adhérence de f(y) lorsque y tend vers x en restant dans A s’il vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes :
(VAI) Pour tout voisinage V de x, a est adhérent à f(A ∩ V) ;
(VAII) Il existe une suite (xn) de points de A tendant vers x, telle que lim f(xn) = a.
Exercice 2 : Soit f(x) = sin x
1. Quelles sont ses valeurs d’adhérence au voisinage de 0 ? Remarque : si f est à valeurs réelles, on définit comme pour les suites, les notions suivantes : • limsupy∈A, y→x f(y) plus grande valeur d’adhérence de f au V(x) ;
• liminfy∈A, y→x f(y) plus petite valeur d’adhérence de f au V(x).
Ainsi, si I est un intervalle de R et x ∈ Int(I), f : I → R, on peut définir :
− les plus grandes et plus petites valeurs d’adhérence de f à droite et à gauche de f en x ; − si f est continue en x, les plus grandes et plus petites valeurs d’adhérences de
x y
x f y f( )−− ( )
à droite et à gauche ; ce sont les quatre nombres dérivés de f au V(x) (Du Bois-Reymond, Dini).
Proposition 18 : L’ensemble des valeurs d’adhérence de f lorsque x tend vers x0 en restant dans A, est un fermé de E'.
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D. Espaces métriques complets
« La complétude est capitale. » Stephen Spender
Contrairement à la droite rationnelle, la droite numérique est « complète », en ce sens que toute suite de Cauchy converge. Un espace métrique est dit complet s’il possède cette propriété.
D.1. Suites de Cauchy, espaces complets.
Définition 1 : Soit (E, d) un espace métrique. Une suite de Cauchy est une suite (xn) vérifiant : (∀ε > 0) (∃n0) (∀p, q ≥ n0 ) d(xp , xq) ≤ε
Propriétés générales des suites de Cauchy : 1) Toute suite de Cauchy est bornée.
2) Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
3) Soit (xn) une suite de Cauchy. Si une suite extraite de (xn) converge, toute la suite converge.
4) L’image d’une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue est une suite de Cauchy.
5) Deux distances équivalentes ont les mêmes suites de Cauchy.
41 Ainsi dénommé par Alain Genestier, qui fut l’un de mes plus brillants élèves, dans une de ses copies.