Exercice 1 : Montrer que Q n’est pas localement compact
G. Espaces métriques de type dénombrable
3. Courbes de Peano
« J’ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire), mais enfin, il n’est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères et il aurait pu faire tout aussi
bien avec ses jambes », ironise Henri Poincaré, qui ajoute :
« Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but pratique ; aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères et on n’en tirera jamais que cela. » Les développements mathématiques récents (systèmes dynamiques, géométrie fractale) infirment ces jugements de valeur. Novateur en mathématiques et en physique, Poincaré avait en philosophie des sciences des positions conservatrices, et, ne lui en déplaise, le turinois Giuseppe Peano (1858-1932) fut un grand mathématicien. Ses « space-filling curves », à l’origine simples contre-exemples destinés à solliciter la vigilance des géomètres, sont devenues des exemples classiques en
géométrie fractale. Giuseppe Peano (1858-1932) Problème
On note I le segment [0, 1], Q le carré [0, 1]2 de R2, et on identifie R2 à C via (x, y) → x + i.y.
1) Montrer qu’il existe une bijection I → Q (Cantor, 1878), mais qu’aucune bijection I → Q n’est continue (Netto, 1879).
Peano donna en 1890 un exemple de surjection continue I → Q, c’est-à-dire de courbe paramétrée continue remplissant tout un carré. Hilbert en donna en 1891 un autre exemple, que nous allons étudier. On introduit les 4 transformations suivantes C → C :
HHHH0 : z →
2) Natures géométriques des HHHHk , 0 ≤ k ≤ 3 (on cherchera leurs points fixes). Préciser les images H
H H
Hk(Q), et HHHH(Q).
3) A toute fonction continue ϕ : I → Q telle que ϕ(0) = (0, 0) = 0 et ϕ(1) = (1, 0) = 1, on associe la fonction Hϕ : I → Q définie par : Hϕ(1) = 1 et Hϕ(t) = HHHHq1(ϕ(4t − q1)) = HHHHq1(ϕ(0, q2q3 … )) si t ∈ [0, 1[ a pour développement 4-adique propre t = 0, q1q2q3 … , 0 ≤ qk ≤ 3.
Montrer que Hϕ est continue I → Q et que (Hϕ)(I) = HHHH(ϕ(I)).
A l’aide du théorème du point fixe, montrer qu’existe une unique fonction f : I → Q telle que f = H f.
Montrer que f(I) = Q [ On notera que f(I) contient {0, 1} et ses itérés par HHHH ; mais on pourra aussi utiliser le pb sur la distance de Hausdorff. ]
4) Ecrire un programme prenant en argument ϕ et traçant l’arc paramétré associé à Hϕ et à ses itérés.
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Felix Hausdorff
La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff (Breslau, 1868 - Bonn, 1942) repose surtout sur son ouvrageGrundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l’astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il obtint son doctorat à Leipzig et y enseigna de 1896 à 1902. Durant toute cette époque, Hausdorff, tout en publiant plusieurs mémoires d’astronomie, d’optique et de mathématiques, s’intéressa surtout à la philosophie, la littérature et l’art.
Esprit indépendant et éclectique, il publia sous le nom de Paul Mongré deux livres de poèmes et d’aphorismes, plusieurs essais philosophiques et littéraires et écrivit une farce qui, portée sur les planches, eut un grand succès. À partir de 1904 cependant, il se pencha plus intensivement sur les mathématiques, sur la théorie des ensembles plus particulièrement, et abandonna peu à peu ses publications non scientifiques. De 1910 à 1935, il était pro-fesseur de
mathématiques à l’université de Bonn, à l’exception des années 1913-1921, où il enseignait à Greifswald. Depuis sa retraite forcée, en 1935, les travaux de Hausdorff ne furent plus publiés en Allemagne. Juif, Hausdorff risqua le camp de concentration et, lorsqu’en 1942 l’internement
devint imminent, il se suicida à Bonn, avec sa femme et sa belle-sœur. [La rue où ils habitaient porte aujourd’hui son nom.]
Les contributions de Hausdorff au développement des mathématiques se situent dans plusieurs domaines. Son étude approfondie des séries déboucha sur la démonstration de théorèmes sur les méthodes de sommation et les coefficients de Fourier (1921). Considérant les propriétés d’ensembles numériques, il introduisit une classe importante de mesures et, en liaison avec elles, une dimension qui peut prendre des valeurs arbitraires non négatives (1919). Il a étudié, en théorie générale des ensembles, les ensembles partiellement ordonnés et a obtenu plusieurs théorèmes sur les ensembles ordonnés (1906-1909). En théorie descriptive des ensembles, il a démontré le théorème sur la cardinalité des ensembles boréliens (1916).
Outre des résultats isolés mais profonds en topologie et en théorie des ensembles, Hausdorff a surtout, par ses Grundzüge der Mengenlehre, posé les fondements d’une discipline. Fréchet, désirant unifier la théorie des ensembles de Cantor et le traitement des fonctions comme points d’un espace tel qu’on le rencontrait alors couramment en calcul des variations, avait inauguré l’étude des espaces abstraits (1906) en introduisant la notion d’espace métrique. Il existait alors plusieurs approches à la notion d’espace topologique. Hausdorff réussit à établir des liens entre ces différentes approches et à créer une théorie des espaces topologiques et métriques englobant parfaitement les résultats antérieurs. Il choisit de construire sa théorie des espaces abstraits sur la notion de voisinage. Sa définition d’espace topologique est exactement celle qu’on peut lire aujourd’hui dans tout manuel de topologie. Il ajouta bon nombre de résultats nouveaux à la théorie des espaces métriques, dont le plus profond est le théorème affirmant que chaque espace métrique peut être étendu d’une manière unique à un espace métrique complet. Il effectua cette extension en généralisant les constructions des réels de Méray et de Cantor. Grâce à son sens de l’équilibre et à sa grande sensibilité esthétique, Hausdorff a su donner à l’exposé de sa théorie dans Grundzüge der Mengenlehre (Eléments de la théorie des ensembles) une forme très dynamique, fournissant un formidable élan à son développement ultérieur.
Hausdorff était un professeur méthodique, mais ses cours, au contenu riche et rigoureusement structuré, passèrent au-dessus du niveau de ses auditeurs.
Jeanne Peiffer (Encyclopedia Universalis) La publication des Œuvres complètes de Felix Hausdorff est en cours chez Springer, en 9 tomes. Elle inclut ses œuvres littéraires et philosophiques, ainsi qu’une biographie.
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Bibliographie
Jean Dieudonné : Éléments d’Analyse, t.1 (Gauthier-Villars) Nicolas Bourbaki : Topologie générale (Hermann)
James Dugundji : Topology
Claude Godbillon : Eléments de topologie algébrique (Hermann) Marcel Berger : Géométrie (Cédic Nathan)
Yves Sonntag : Topologie et analyse fonctionnelle
Lynn Arthur Steen & Arthur Seebach : Counterexamples in Topology (Springer) Hans Sagan : Space-filling curves (Springer)
Dictionnaire d’histoire et de philosophie des sciences, D. Lecourt (Puf), article Topologie Frédéric Martel : Sodoma, Enquête au cœur du Vatican (Robert Laffont)
Encyclopedia Universalis, articles 62
Analyse mathématique , Notion de limite (Th.) , Continu et discret, Espaces métriques , Topologie, Espaces vectoriels topologiques , Espaces vectoriels normés
Baire René (1874-1932) Th. Dieudonné Jean (1906-1992) Th.
62 Les articles suivis de la mention Th. se trouvent dans le Thesaurus, les autres dans le Corpus.
Banach Stefan (1892-1945) Fréchet Maurice (1878-1973) Th.
Bolzano Bernard (1781-1848) Hausdorff Félix (1868-1942) Th.
Borel Émile (1871-1956) Hilbert David (1862-1943)
Bourbaki Nicolas Lebesgue Henri (1875-1941)
Cantor Georg (1845-1918) Luzin Nikolaï (1883-1950) Th.
Cartan Henri (1904-2008) Th. Picard Émile (1856-1941) Cauchy Louis-Augustin (1789-1857) Weierstrass Karl (1815-1894) Dedekind Richard (1831-1916) Weil André (1906-1998) Th Wikipedia, entre autres :
Espaces métriques, espaces pseudo-métriques, etc.
Felix Hausdorff, distance de Hausdorff, dimension de Hausdorff, etc.
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bande de Möbius bouteille de Klein