Continuité globale

Définition 4 : L’application f : (E, d) → (E', d') est dite continue si elle est continue en tout point.

Exemples :

1) Pour tout x, la fonction y → d(x, y) est continue de E dans R.

2) La fonction (x, y) → d(x, y) est continue E×E → R.

3) Pour toute partie A de E, la fonction x → d(x, A) est continue de E dans R.

Proposition 6 : Une composée de fonctions continues est continue.

Autrement dit, les espaces métriques sont les objets d’une catégorie, dont les morphismes sont les applications continues.

Proposition 7 : L’ensemble C(E, R) des fonctions numériques continues sur E est une algèbre pour les lois usuelles. Si f est continue à valeurs ≠ 0, 1/f aussi. Enfin, si f et g sont continues, sup(f, g) et inf(f, g) aussi.

Théorème 8 (Hausdorff) : Soit f une application (E, d) → (E', d'). Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est continue ;

ii) L’image réciproque par f de tout ouvert de E' est un ouvert de E ; iii) L’image réciproque par f de tout fermé de F' est un fermé de F ; iv) Pour toute partie A de E, f(A) ⊂ f(A).

Preuve : i) ⇒ ii) Soit U’ un ouvert de E’. Montrons que U = f⁻¹(U’) est un ouvert de E.

Soit x ∈ U ; on a f(x) ∈ U’. Il existe ε > 0 tel que B( f(x) , ε ) ⊂ U’.

Par continuité de f en x, il existe α > 0 tel que d(x, y) < α⇒ d( f(x), f(y) ) < ε.

Autrement dit, y ∈ B(x, α) ⇒ f(y) ∈ B( f(x), ε ) ⇒ y ∈ f⁻¹( B( f(x), ε ) ) ⇒ y ∈ U’. cqfd.

ii) ⇒ i) Soient x un point de E, et ε > 0 ; U’ = B( f(x), ε ) est un ouvert de E’.

Son image réciproque par f est un ouvert de E, contenant x.

Il existe donc α > 0 tel que B(x, α) ⊂ f⁻¹(U’) = f⁻¹( B(f(x), ε) ).

Ainsi, ∀y ∈ E d(x, y) < α ⇒ d'( f(x), f(y) ) < ε ; f est donc continue en x.

ii) ⇔ iii) en vertu d’une propriété tout à fait générale des images réciproques : l’image réciproque du complémentaire d’une partie est le complémentaire de son image réciproque.

L’équivalence de iv) et des autres propriétés est laissée en exercice.

Remarque : Les images directes d’un ouvert ou d’un fermé par une fonction continue ne sont pas ouvertes ou fermées, en général, comme le montrent des exemples simples :

1) La fonction x → x² de R dans R est continue ; l’image de l’ouvert R n’est pas ouverte.

2) La fonction x → Arctan x de R dans R est continue ; l’image du fermé R n’est pas fermée.

Exercice 1 : Soient E et F deux espaces métriques, f : E → F, Γ = { (x, f(x)) ; x ∈ E } son graphe.

Démontrer, que si f est continue, Γ est un fermé de E×F, la réciproque étant fausse.

Exercice 2 : Pour toute partie A de E, on appelle épaississements³⁴ ouvert et fermé de A de rayon r

≥ 0 les ensembles respectifs : U(A, r) = { x ∈ E ; d(x, A) < r } et V(A, r) = { x ∈ E ; d(x, A) ≤ r } ( cette notion jouera un rôle-clé dans la partie H ).

1) Démontrer que U(A, r) est un ouvert de E, et que U(A, r) =

U

' , mais que cet ensemble n’est pas toujours fermé.

Démontrer que si A est compact, ou un fermé dans Rⁿ, alors V(A, r) =

U

cercle ou d’un disque circulaire, d’une ellipse ou d’un disque elliptique, de la spirale d’Archimède d’équation polaire r = aθ.

iii) Si A est la Norvège, dessiner V(A, r) pour différentes valeurs de r.

34 B. Mandelbrot les nomme plaisamment « saucisses de Minkowski » ouverte et fermée, car, lorsque A est une courbe plane, ces ensembles ont une forme de saucisse.

5) Démontrer que tout fermé est intersection dénombrable d’ouverts (ou " GGGG_δ "), et tout ouvert est réunion dénombrable de fermés (ou " FFFF_{σ ").}

Exemples d’épaissements ou « saucisses de Minkowski » ³⁵

Exercice 3 : Soient E et F deux espaces métriques. Une application f : E → F est dite ouverte si l’image directe par f de tout ouvert de E est un ouvert de F.

1) Démontrer que f est ouverte ssi, pour tout x ∈ E et tout voisinage V de x, f(V) est un voisnage de f(x).

2) Démontrer que la composée de deux applications ouvertes est ouverte.

3) Démontrer que l’application z ∈ C → | z | ∈ R⁺ est continue et ouverte.

4) Si Ω est un ouvert de C, et f : Ω → C une fonction holomorphe non constante, f est ouverte.

35 « Un cours de maths qui ne fait pas rire les élèves est un cours mal enseigné », dixit Albert Jacquard.

Attention l’épaississement d’une ellispe est formé de deux ovales qui ne sont pas des ellipses, mais des toroïdes. Ah ! ne pas oublier de soigner les toroïdes sous l’abîme. Le clown vert est la différence de deux épaississements, en hommage à Marcel Berger (Géométrie, 9..11.2.)

C.3. Homéomorphismes.

Définition 5 : Un homéomorphisme f : (E, d) → (E', d') est une bijection continue ainsi que sa réciproque (on dit aussi : bijection bicontinue). Deux espaces métriques sont dits homéomorphes s’il existe un homéomorphisme de l’un sur l’autre ³⁶.

Proposition 9 : Une bijection f : (E, d) → (E', d') est un homéo-morphisme ssi l’image directe et l’image réciproque par f d’un ouvert sont des ouverts.

Remarque : un homéomorphisme est une bijection continue ouverte.

Proposition 10 : Le composé de deux homéomorphismes, la bijection réciproque d’un homéomorphisme en est un.

Corollaire : Les homéomorphismes de (E, d) dans (E, d) forment un groupe pour la composition.

Toute isométrie est un homéomorphisme. La réciproque est fausse : un homéomorphisme est beaucoup moins rigide qu’une isométrie : ainsi, la fonction x → x³ est un homéomorphisme de Rsans être une isométrie.

Photographie deJean Goursat Par « propriétés, ou notions, topologiques » on entend les propriétés invariantes par homéomorphisme. Deux espaces homéomorphes ont les mêmes propriétés " topologiques ", en ce

sens que : (∀A ⊂ E) f(Int A) = Int f(A) , f(Adh A) = Adh f(A) , f(Fr A) = Fr f(A) , etc.

La compacité, la connexité par arcs, sont des propriétés topologiques, car un espace métrique homéomorphe à un espace compact, resp. connexe par arcs, l’est encore.

En revanche, le fait d’être borné, ou complet, ne sont pas des notions topologiques : un espace homéomorphe à un espace borné, resp. complet, ne l’est pas toujours.

Rappelons le théorème suivant, relatif aux homéomorphismes entre intervalles de R, qui découle en partie du théorème des valeurs intermédiaires (cf. F.2).

Théorème d’inversion des fonctions monotones.

i) Soient I un intervalle de R, f une fonction continue strictement monotone I → R. Alors J = f(I) est un intervalle de même nature que I (ouvert, semi-ouvert ou fermé), et f induit un homéo-morphisme I → J.

ii) Si I est un intervalle de R, les parties de R homéomorphes à I sont les intervalles de même nature.

iii) Si I est un intervalle de R, toute injection continue I → R est strictement monotone.

Remarque 1 : Hormis le cas précédent, il n’est guère facile de démontrer qu’une application est un homéomorphisme. On dispose pour cela de différents outils :

− des arguments de compacité et d’unicité de valeurs d’adhérence (cf. E.1, ex 2 suivant la prop 2) − le théorème d’inversion de Banach (relatif aux espaces de Banach, cf. chap. EVN § 11)

− tout C¹-difféomorphisme d’un ouvert U d’un evn de dim finie sur un ouvert V, est un homéo-morphisme. Or on dispose d’outils puissants pour montrer qu'une application est un C¹ -difféomor-phisme : le théorème d’inversion globale du calcul différentiel.

− certaines applications sont des homéomorphismes en tant que perturbées de C¹ -difféomor-phismes ; cela s’établit par des méthodes de point fixe (cf. D.3., ex 6, et pb d’ENSAE).

36 Un homéomorphisme malade se soigne à l’homéopathie ; un homéomorphisme amoureux aima Juliette..

Remarque 2 : 1) Une bijection continue E → E' n’est pas toujours un homéomorphisme. Ainsi : − id_R est continue de R muni de la distance discrète dans R muni de la distance usuelle, mais non bicontinue.

− soient E = [0, 1[∪[2, 3] , E' = [0, 2], f(x) = x si x∈[0, 1[, f(x) = x−1 si x∈[2, 3] ; que dire de f ? 2) Il y a cependant des cas où l’on peut affirmer qu’une bijection continue est un homéo-morphisme : cf. E.3. corollaire du th. 8 et théorème d’inversion de Banach.

Exercice 1 : Soient E et F deux espaces métriques, f : E → F une application continue, de graphe Γ = {(x, f(x)) ; x ∈ E}. Montrer que E et Γ sont homéomorphes.

Exercice 2 : Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé, de boule unité ouverte B.

Montrer que x → x +x

1 est un homéomorphisme de E sur B.

Exercice 3 : Montrer que A → A⁻¹ est un homéomorphisme de Gl_n(K), K = R ou C.

Exercice 4 : Il existe des espaces métriques non homéomorphes E et E', tels qu’existent une bijection continue de E sur E' et une bijection continue de E' sur E.

Pour tout n, soit A_n = ] 3n, 3n+1 [ ∪ { 3n+2 }, E =

U

≥0 n

An et E' = E ∪{1} − {2}.

On définit f : E → E' par f(x) = x si x ≠ 2 , f(2) = 1 , et g : E' → E par g(x) =

2

x si x ∈ ]0, 1] , g(x) = 2

x − 1 si x ∈ ]3, 4[ , g(x) = x − 3 sinon.

Établir que f et g sont des bijections continues et que cependant E et E' ne sont pas homéomorphes.

Dans le document ESPACES MÉTRIQUES (Page 35-39)