Distance de Hausdorff modifiée

La perspective de mouvement est définie par Gibson comme l’ensemble des chan- gements graduels apparaissant dans le champ visuel de l’observateur lorsqu’il se dé- place [54]. Afin de considérer cette notion, nous avons tenté de trouver une mesure qui permet de prendre en compte ces changements graduels et leur globalité : pour

cela nous nous sommes intéressés à une catégorie de mesures que nous avons appelée distance de changement.

Nous avons vu précédemment que la distance de Hausdorff ne permet de décrire seulement la variation d’un élément de l’environnement visuel urbain, et plus exacte- ment celui où se situe la variation la plus importante. Cet inconvénient est dû au fait que la distance de Hausdorff se base sur la recherche de la différence maximale entre les ensembles de points comparés. Elle ne mesure pas la différence globale des élé- ments. En modifiant légèrement la distance de Hausdorff, nous pouvons proposer une nouvelle mesure qui analyse les changements qui se sont produits entre deux sque- lettes.

Si nous reprenons la définition de la distance de Hausdorff relative (définition 6.4), nous pourrions remplacer la fonction max par un calcul de moyenne sur l’ensemble des distances. La distance obtenue a déjà été proposée par Dubuisson et Jain durant les années quatre-vingt-dix sous le nom de distance de Hausdorff modifiée [37]. Ci- dessous, nous définissons cette distance, qui se base sur la définition de la distance de Hausdorff.

Définition 6.6 (Distance de Hausdorff modifiée) Soient deux ensembles finis non

vides de points S et T . La distance de Hausdorff modifiée d_M entre S et T est défi- nie par

d_M(S,T ) = max{

M

M

M

M

|S| , (6.12)

où d est une distance.

Selon Dubuisson et Jain, la distance de Hausdorff modifiée n’est pas une distance car elle ne vérifie pas l’inégalité triangulaire [37]. Par contre, ils affirment que cette distance à un comportement intéressant pour la comparaison de formes : (i) la valeur de la distance de Hausdorff modifiée augmente de manière monotone lorsque la différence entre deux formes augmente, (ii) la distance est robuste face à des points isolés produits par des perturbations.

La différence entre la distance de Hausdorff et la distance de Hausdorff modifiée est illustrée dans la figure 6.18. Dans cette figure, nous pouvons remarquer que la distance de Hausdorff est invariante d’une configuration à l’autre. Ceci parce que cette distance recherche le plus grand espace parmis tous les espaces qui séparent chaque couple de points les plus proches dans les deux ensembles. Dans les trois configurations de la

figure 6.18 cet espace est donné par le couple de points en haut des ensembles Siet Ti. Par contre, la distance de Hausdorff modifiée analyse globalement chaque ensemble Si et Ti en réalisant une moyenne sur les distances qui séparent les couples de points les plus proches. Ce qui explique pourquoi la distance de changement varie dans les trois configurations de la figure 6.18 et pas la distance de Hausdorff.

d_M d_H S1 T1 d_M d_H S2 T2 d_M d_H S3 T3

Figure 6.18 – Différence entre la distance de Hausdorff et la distance de Hausdorff modifiée. La figure montre six ensembles de points Si et Ti. Nous voyons que pour chaque d’ensemble,

la distance de Hausdorff d_H(Si,Ti)ne varie pas. Par contre, la distance de Hausdorff modifiée

dM(Si,Ti)est différente dans les trois configurations.

L’algorithme 6.3 se base sur l’algorithme 6.2 vu précédemment. Il montre une fonction permettant de calculer la distance de Hausdorff modifiée relative entre deux squelettes. Cette fonction suppose que la structure des squelettes correspond à celle obtenue par l’implémentation de la squelettisation d’Hamilton-Jacobi développée par Siddiqi et al. [112].

Par rapport à la comparaison de squelettes, nous retrouvons un comportement iden- tique à la distance de Hausdorff, c’est-à-dire que là aussi la distance hyperbolique est mieux adaptée pour calculer la différence entre deux squelettes. Dans la défini- tion 6.6, il faut donc remplacer d(·,·) par la distance hyperbolique dh(·,·) afin d’avoir une meilleure estimation de la similarité entre deux squelettes. Sinon, pour la même raison que pour la distance de Hausdorff, la distance de Hausdorff modifiée a pour maximum le diamètre du disque de la projection. De même, plus la distance est faible, plus les squelettes se ressemblent et plus la distance moyenne est faible. Par contre, les valeurs de la distance de Haudorff modifiée sont beaucoup plus basses que celles de la distance de Hausdorff, car la distance de Hausdorff représente un cas maximal. Enfin, la distance de Hausdorff modifiée prend globalement en compte les change- ments qui apparaissent entre deux squelettes. Autrement dit, elle représente mieux les changements globaux qui apparaissent dans un espace ouvert urbain.

Par la suite, par abus de langage, nous appelerons distance de Hausdorff modifiée cette distance composée avec la distance hyperbolique.

Algorithme 6.3 Algorithme de calcul de la distance de Hausdorff modifiée relative de

changement pour deux squelettes.

Cet algorithme prend en paramètre deux squelettes MAT1 et MAT2, ainsi qu’une dis-

tance d.

fonction changementRel (MAT1, MAT2, d)

début

d_{Σ← 0}

pour tout P1∈ MAT1faire

d_{min← +∞}

pour tout P2∈ MAT2faire

si d(P1,P2) <dminalors dmin← d(P1,P2) finsi finpour dΣ← dΣ+dmin finsi finpour retourner dΣ |MAT2| fin

La figure 6.19 montre une comparaison des configurations TE et Croix que nous avons rencontrées au §6.3.2 (figure 6.13). Le graphique de cette figure est à comparer avec ceux des figures 6.14 et 6.15. Dans le graphique, nous voyons que la distance de Hausdorff modifiée détecte mieux la différence de caractère entre les deux configura- tionsTE et Croix : les événements visuels au centre de Croix sont plus importants que ceux de TE. Ce comportement semble logique au vu de la forme des deux environ- nements. Par contre, cette différence n’apparaissait pas lorsque nous avons utilisé la distance de Hausdorff avec la distance hyperbolique ou non.

Le graphique de la figure 6.20 représente l’évolution de la distance de Hausdorff modifiée dans la configuration Droit (figure 6.4) pour trois diamètres de projections sphériques : 400, 200 et 100 pixels. Les courbes ont peu de différence. Cependant, nous voyons que si l’on diminue la résolution des images, du bruit apparaît dans les mesures. Encore une fois, si nous prenons un diamètre de projection sphérique de 400 pixels, les mesures devrait être suffisamment précises.