Dispersion et décorrélation temporelle des particules

De la même façon que nous l’avons effectué pour le calcul des variances des fluctuations des vitesses des particules, nous avons supposé que le déplacement moyen des particules soumises aux effets de la sédimentation était contrôlé par la vitesse de sédimentation. En première approximation, nous avons donc évalué la dispersion des particules en ôtant un déplacement moyen estimé égal à la distance parcourue au court du temps par une particule évoluant à la vitesse de sédimentation :

Dispersion des particules dans le plan Lz/6 :

La Figure 86 montre qu’aux temps courts, la dispersion des particules soumises à la sédimentation est proche de la dispersion des particules en l’absence de sédimentation.

Figure 86 : Cas A (dp= 1.10-5m, plan Lz/6) : Dispersion des particules en fonction du temps. (Noir +) : @š⁄ =@ A, (Magenta +) : @š⁄ m Ö,B@ , (Traits pleins rouges -) : Estimation de la dispersion évaluée à l’aide de l’équation 4.61 aux temps courts

Par contre aux temps longs, la figure 92 montre qu’en présence de sédimentation, la dispersion des particules dans les directions normale et parallèle à la surface libre est significativement diminuée par rapport au cas sans sédimentation.

En effet, il est connu33 que l’application d’une force extérieure sur les particules diminue leur dispersion. Ce phénomène s’explique par le fait que les particules soumises à l’action d’une force extérieure vont avoir une trajectoire qui se décorrèle plus rapidement que des particules traceurs. En effet, la vitesse de glissement existant entre le fluide et les particules induite par la force extérieure,

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entraine celles-ci à interagir plus rapidement avec des structures tourbillonnaires indépendantes. C’est ce que l’on nomme l’effet de croisement de trajectoire. Une des conséquences de l’effet de croisement de trajectoire est que la dispersion des particules diminue dans la direction parallèle à la vitesse de glissement et est plus fortement diminuée dans les directions perpendiculaires à cette vitesse. Ainsi, dans notre cas, on devrait observer une baisse de la dispersion des particules suivant l’axe 2 et une baisse encore plus importante suivant les directions 0et 1 (puisque la vitesse de sédimentation est dirigée suivant 2).

Pour la dispersion des particules évaluée dans les directions perpendiculaires à la vitesse de sédimentation (soit les directions parallèles à la surface libre), on observe que la dispersion diminue bien comme attendu (Figure 87). Par contre, dans la direction normale à la surface libre, la dispersion diminue beaucoup plus fortement alors qu’elle devrait diminuer de façon moins importante que dans les directions tangentielles : on explique cela par le caractère non homogène et non isotrope de la turbulence. En effet, sous l’effet de la vitesse de glissement, les particules sont entraînées vers la surface libre où les fluctuations de vitesse normales diminuent et s’annulent à l’interface, ce qui affecte et limite la dispersion des particules.

Figure 87 : Cas A (dp= 1.10-5m, plan Lz/6) Dispersion de particules en fonction du temps. (Magenta +) : @š⁄ =@ A , (Noir +) : @š⁄ = Ö@ , B

Décorrélation temporelle des particules dans la tranche Lz/6:

Si l’on regarde la décorrélation temporelle des particules dans une tranche du domaine située dans la zone de diffusion, on remarque que la décorrélation évolue différemment selon que l’on s’intéresse à la composante normale de la vitesse des particules ou aux composantes tangentielles. Pour la composante normale à la surface libre, la décorrélation temporelle est plus rapide lorsque la sédimentation est prise en compte, ce qui est cohérent avec la baisse de la dispersion des particules dans la direction normale à la surface libre.

Par contre, dans les directions parallèles à la surface libre, la décorrélation temporelle est plus lente lorsque la sédimentation est prise en compte. Pour comprendre ce phénomène, il est intéressant de revenir à l’échelle de décorrélation temporelle du fluide présentée sur la Figure 44. Sur cette figure, on remarque que, plus on se rapproche de la surface libre, plus l’échelle de décorrélation temporelle du fluide diminue. Cela signifie que les particules soumises aux effets de la sédimentation qui les dirigent vers la surface libre voient, en moyenne, un fluide dont la vitesse se décorrèle plus lentement que la vitesse du fluide vu par les particules non soumises à la sédimentation ; d’où la décorrélation plus lente des particules soumises à la sédimentation.

Toutefois, une décorrélation plus lente devrait induire une dispersion plus grande des particules comme on l’a vu avec l’équation (4.61) : ce n’est pas le cas car les fluctuations de la vitesse du fluide diminuent lorsqu’on s’approche de la surface libre. Ainsi, les particules soumises à la sédimentation voient une vitesse parallèle à la surface libre du fluide qui se décorrèle plus lentement mais qui possède aussi des vitesses moins élevées, d’où la baisse de la dispersion observée.

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Figure 88 : Cas A (dp= 1.10-5m, plan Lz/6) : Décorrélation temporelle lagrangienne. À gauche, décorrélation des vitesses parallèles à la surface libre, à droite décorrélation de la vitesse normale à la surface libre. (Bleu) : sans sédimentation (@š⁄ =@ A), (Rouge) : avec sédimentation (@š⁄ = Ö@ ,B)

Figure 89 : Cas A (dp= 2.10-5m, plan Lz/6) : Décorrélation temporelle lagrangienne. À gauche, décorrélation des vitesses parallèles à la surface libre, à droite décorrélation de la vitesse normale à la surface libre. (Bleu) : sans sédimentation (@š⁄ m A@ ), (Rouge) : avec sédimentation U@š⁄ m Ö,B@ )

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Figure 90: Cas A (dp= 5.10-5m, plan Lz/6) : Décorrélation temporelle lagrangienne. À gauche, décorrélation des vitesses parallèles à la surface libre, à droite décorrélation de la vitesse normale à la surface libre. (Bleu) : sans sédimentation (@š⁄ =@ A), (Rouge) : avec sédimentation (@š⁄ = Ö@ ,B)

Ces écarts de comportements observés sur les courbes de décorrélation temporelle sont observables sur les échelles de décorrélation temporelles pour les particules de plus grands diamètres (Figure 93) : l’échelle temporelle de décorrélation lagrangienne des vitesses normales à la surface libre diminue fortement lorsque la sédimentation est prise en compte.

Certains points de la courbe représentant les échelles de décorrélation dans la direction normale à la surface libre sont nuls lorsque la sédimentation est prise en compte, ils n’ont pas pu être évalués car sur les simulations utilisées pour évaluer la décorrélation temporelle des particules, il n’y a pas eu de particules qui ont permis de générer la statistique voulue : toutes les particules qui étaient situées à une distance inférieure à 3∆ de la surface libre se sont déposées dans un temps trop court pour permettre l’accumulation des statistiques. Cela confirme de plus que la vitesse de sédimentation contrôle le mouvement des particules dans une zone plus importante que celle que l’on peut calculer en prenant en compte les fluctuations de vitesse du fluide.

Cependant, les écarts de comportements observés sur les courbes de décorrélation temporelle ne sont pas observables sur les échelles de décorrélation temporelle pour les particules de petits diamètres (Figure 91 et Figure 92). La méthode qui a été privilégiée ici pour évaluer ces échelles et qui consiste à supposer que le temps de décorrélation temporelle est égal à deux fois le temps nécessaire à la décorrélation temporelle pour être inférieure à exp(−0,5V est sûrement à l’origine de la non différenciation des deux échelles avec et sans sédimentation. En effet, cette méthode permet de calculer l’échelle de décorrélation temporelle en prenant seulement en compte le début de la courbe pour s’affranchir des effets trop forts induits par le caractère non homogène de la turbulence, or c’est plutôt aux temps longs (supérieurs à 1 seconde) qu’on observe une divergence entre le comportement des particules traceurs et des particules soumises à la sédimentation. La méthode d’évaluation n’est donc peut être simplement pas assez fine pour permettre l’observation de l’impact de la sédimentation sur les échelles de décorrélation temporelle des petites particules.

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Figure 91 : Cas A (dp= 1.10-5m, plan Lz/6) : Échelle temporelle de décorrélation lagrangienne des particules suivant (tirets --) : les vitesses parallèles à la surface libre, et (points et tirets ._ ) : la vitesse normale à la surface libre). (Bleu) : (@š⁄ =@ A) sans sédimentation, (Rouge) : (@š⁄ = Ö@ , B) avec sédimentation

Figure 92 : Cas A (dp= 2.10-5m, plan Lz/6) : Échelle temporelle de décorrélation lagrangienne des particules suivant (tirets --) : les vitesses parallèles à la surface libre, et (points et tirets ._ ) : la vitesse normale à la surface libre). (Bleu) : (@š⁄ m A@ ) sans sédimentation, (Rouge) : (@š⁄ m Ö, B@ ) avec sédimentation

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Figure 93 : Cas A (dp= 5.10-5m, plan Lz/6) : Échelle temporelle de décorrélation lagrangienne des particules suivant (tirets --) : les vitesses parallèles à la surface libre, et (points et tirets ._ ) : la vitesse normale à la surface libre). (Bleu) : (@š⁄ =@ A) sans sédimentation, (Rouge) : (@š⁄ = Ö@ , B) avec sédimentation