Chapitre 4 Dépôt de particules sur une surface libre
4.5 Étude du dépôt de particules non soumises aux effets de la gravité
4.5.8 Étude qualitative du poids des différentes forces
Pour étudier l’importance des forces agissant sur le mouvement de la particule, nous avons choisi de comparer leur poids par rapport à celui de la force de traînée.
Pour cela, aux pas de temps de calcul des statistiques, nous avons gardé en mémoire la valeur des forces évaluées pour la résolution de l’équation de la dynamique présentée précédemment ( 4.45 )
3H Cš
> = ›+ y+ ·¸+ ¸~~
Nous avons calculé le rapport de chaque force à la force de traînée. Par la suite, nous appelons force inertielle la force correspondant au terme de gauche de l’équation précédente. Elle est calculée au signe près en sommant les forces qui apparaissent dans le membre de droite de l’équation.
Comme la force de traînée était a priori très importante par rapport aux autres forces, nous avons supposé que le rapport d’une force o sur la force de traînée y serait proche de zéro. Nous avons définies 40 classes de largeur 0,15 comprises entre -2,85 et 2,85.
Lorsque le rapport o/ y est inférieur à -2,85, on le comptabilise dans la classe 7 = 1 et lorsqu’il est supérieur à 2,85, on le comptabilise dans la classe 7 = 40. Enfin, le rapport o/ y est situé dans la classe 7 s’il appartient à l’intervalle !„ = [−2,85 + 0,15U7 − 2V; −2,85 + 0,15U7 − 1V] pour j comprit entre 2 et 39.
Nous avons ainsi évalué la densité de probabilité (qui sera noté Pdf) du rapport de chaque force sur la force de traînée située dans chaque classe 7.
5 D/DEO„= D/DE ∈!„
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où D/DEest le nombre total d’évaluation du rapport o/ y et D/DE∈„ est le nombre d’évaluations dont les valeurs sont situées dans l’intervalle !„. Les Pdf ont été évaluées sur l’ensemble du domaine situé en dehors de la zone de forçage (et non par tranche de domaine). L’intégrale des Pdf sur toutes les classes 7 est égale à l’unité.
Les Pdf ont été évaluées à l’aide des composantes des forces tangentes à la surface libre et des composantes normales à la surface libre. Lorsque les effets de la gravité ne sont pas pris en compte, les Pdf des composantes des forces tangentes à la surface libre sont très proches des Pdf des forces normales à la surface libre. Nous présentons un exemple Figure 62 des Pdf des forces normales et tangentes à la surface libre.
Figure 62 : Cas A (*š = B.AÖpB I,@š⁄ = Ö,@ BV : Fonction de densité de probabilité du rapport de la force ° à la la force de traînée. Rose : force inertielle, rouge : force d'accélération en volume, bleu : force de masse ajoutée. (Trait continu - ) : Composantes des forces tangentes à la surface libre. (Marqueurs étoiles *) : Composantes des forces normales à la surface libre
C’est pourquoi nous ne présenterons dans ce paragraphe que les densités de probabilité des composantes tangentielles des forces.
Influence du diamètre de la particule
Le cas de référence que nous considérons est le Cas A, pour lequel le nombre de Reynolds à la surface libre vaut 68. Nous observons que la Pdf de la force d’accélération en volume est centrée autour de -0,5 tandis que les Pdf de la force de masse ajoutée et de la force inertielle sont plus proches de 0 (Figure 63). Lorsque le diamètre de la particule augmente, la force d’accélération en volume devient du même ordre de grandeur que la force de traînée tandis que les forces de masse ajoutée et inertielle restent moins importantes.
Influence de l’intensité turbulente
Lorsque l’intensité turbulente augmente (Figure 63 et Figure 64), le poids de la force inertielle et de la force d’accélération en volume devient non négligeable dans le cas des particules les plus grosses (de diamètre 3,5 et 5 µm). Cela est dû au fait que l’accélération du fluide est plus grande à intensité turbulente plus élevée, ce qui joue directement sur l’accélération de la particule et sur la force d’accélération en volume de la particule (liée à l’accélération que subirait le fluide occupant le même volume que la particule). En revanche, la contribution de la force de masse ajoutée reste négligeable, ce qui est en accord avec Oesterlé33.
Influence du rapport de densité @š/@
Nous avons aussi effectué des simulations dans lesquelles les rapports de densité fH/fE étaient très différents du cas industriel du traitement en poche des aciers. Nous avons ainsi maintenu le diamètre de la particule constant et égal à 2µm, diamètre pour lequel les trois forces étudiées ici sont
-3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 F i / F D 0,155 D/DE
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négligeables devant la force de traînée, et nous avons placé les particules dans le domaine d’intensité turbulent le plus élevé (Figure 65 et Figure 66).
Le rapport de densité fH⁄ = 0,01fE permet d’étudier des particules beaucoup plus légères que le fluide : dans cette configuration, la force de traînée et la force d’accélération en volume restent prépondérantes. Cependant, on note que la contribution de la masse ajoutée croît (elle n’est pas centrée autour de 0) et qu’au contraire, celle de la force inertielle diminue (Pdf centrée en 0) : ce qui est accord avec les masses volumiques du fluide et des particules qui interviennent respectivement dans ces forces.
Pour le rapport de densité égale à fH⁄ = 10fE , les forces prépondérantes sont la force d’inertie de la particule et la force de traînée. La force d’accélération en volume et la force de masse ajoutée ont une contribution négligeable (Pdf centrée autour de 0) devant la force d’inertie, en accord avec les masses volumiques respectives du fluide et des particules.
On peut comparer ces résultats à ceux obtenus par Armenio et Fiorotto58 qui étudient des particules non soumises aux effets gravitationnels et dont le rapport de densité fH⁄fE varie de 2,65 à 2650. Ils étudient le rapport de la force d’accélération en volume, de la force de masse ajoutée et de la force d’histoire à la force de traînée. Pour les particules de densité plus proche de celle du fluide (2,65 et 26,5), ils observent que la force de masse ajoutée est négligeable devant la force de traînée, contrairement à celle de la force d’accélération en volume. Ils n’étudient pas l’évolution de l’inertie de la particule. Les résultats qu’ils obtiennent sont donc cohérents avec les résultats obtenus ici pour les nombres de Reynolds élevés.
Pour les simulations numériques sans effet gravitaire avec fH⁄ = 0,5fE ou 1, il apparaît que la force d’accélération en volume est souvent du même ordre de grandeur que la force de traînée. Ceci ne vient pas contredire les conclusions émises précédemment selon lesquelles (1) les effets inertiels contribuent de façon négligeable au dépôt de particules, (2) il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation de la dynamique, intégrer l’équation Cš= C +45 * suffit. En effet, en l’absence de force d’origine gravitaire (poids et poussée d’Archimède), la force de traînée est nécessairement compensée par une force d’origine inertielle (force d’inertie de la particule, force d’accélération en volume ou force de masse ajoutée) de même poids.
Le fait que les vitesses de dépôt avec et sans effets inertiels soient très proches montre que les effets inertiels n’affectent pas la trajectoire des particules (en outre, dans le chapitre 3 dédié au dépôt de particules sur une paroi solide, nous avons pu vérifier que les trajectoires avec et sans effet inertiel étaient identiques). Ceci est d’ailleurs d’autant plus vrai près de la surface libre où les fluctuations de la vitesse du fluide baissent fortement.
Ces résultats sont en accord avec les conclusions de Armenio et Fiorotto58 : les auteurs montrent en effet dans leurs simulations numériques que, même si la force d’accélération en volume est non négligeable devant la force de traînée, son influence sur la dispersion des particules est quasiment nulle puisque les particules réagissent comme des traceurs dans le fluide.
108
H UmV
fH/fE 2. 10pv 3,5. 10pv 5. 10pv
1
0,5
Figure 63 : Cas A : Fonction de densité de probabilité du rapport de la force ° à la force de traînée. Rose : force inertielle, rouge : force d'accélération en volume, bleu : force de masse ajoutée
109
H UmV
fH/fE 2. 10pv 3,5. 10pv 5. 10pv
0,5
Figure 64 : Cas E : Fonction de densité de probabilité du rapport de la force ° à la force de traînée. Rose : force inertielle, rouge : force d'accélération en volume, bleu : force de masse ajoutée
Figure 65 : Cas E (@š⁄ = Ö, Ö@ A,*š=2.10-5m) : Fonction de densité de probabilité du rapport de la force ° à la force de traînée. Rose : force inertielle, rouge : force d'accélération en volume, bleu : force de masse ajoutée
Figure 66 : Cas E (@š⁄ =@ AÖ,*š=2.10-5m) : Fonction de densité de probabilité du rapport de la force ° à la force de traînée. Rose : force inertielle, rouge : force d'accélération en volume, bleu : force de masse ajoutée
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4.5.9 Dispersion et coefficient de dispersion des particules