Dispersion et coefficient de dispersion des particules

La dispersion des particules dans un écoulement turbulent est définie par la variance de la distance parcourue par les particules au cours du temps. Si l’on exprime la dispersion selon l’axe cela donne :

Il est aussi possible de calculer la dispersion dans deux directions et 7 à l’aide de

Nous n’avons pas calculé les dispersions croisées, de ce fait les coefficients de diffusion qui seront présentés seront relatifs à la dispersion définie par l’équation ( 4.60 ). Nous avons choisi de l’évaluer par tranche parallèle à la surface libre en prenant en compte les particules présentes dans la tranche à l’instant initial >F à partir duquel on commence les calculs.

Dans le cas de particules de même densité que le fluide, assimilées à des traceurs qui suivent parfaitement les particules fluides environnantes, le comportement de la dispersion moyenne des particules aux temps courts et aux temps longs présente en turbulence homogène isotrope les caractéristiques suivantes33 :

Les Figure 67 à 70 présentent les dispersions évaluées dans différentes tranches du domaine de calcul. Chaque couleur est associée à une tranche, nous distinguons ici la dispersion dans les directions parallèles à la surface libre de la dispersion dans la direction normale à la surface libre.

L’allure générale des courbes de dispersion des particules est conforme à celle obtenue par Armenio et al.⁹²: la dispersion est dans un premier temps parabolique puis semble varier linéairement dans un deuxième temps.

Dans la zone de diffusion, les courbes de dispersion dans la direction normale (respectivement parallèle) à la surface libre calculées dans les différentes tranches sont proches les unes des autres. On note que les particules se dispersent un peu plus rapidement dans la direction normale à la surface libre que dans une direction parallèle : ceci est lié à la légère anisotropie de la turbulence dans cette zone (D_Ez{> @_Ez{, _Ez{). En outre, la dispersion est d’autant plus rapide qu’on se rapproche de la zone de forçage où l’intensité turbulente est plus grande.

Dans la couche de surface (voir Figure 67), la dispersion dans la direction normale chute lorsqu’on se rapproche de la surface libre où les fluctuations de vitesse normale s’annulent. En revanche, la dispersion parallèlement à la surface libre augmente au voisinage de la surface libre, conséquence de l’augmentation des fluctuations de vitesse tangentielle très près de la surface libre (voir Figure 60 et Figure 61).

&_o,H² (>) = 〈(&o,H(>) − (&o,H(>F)){〉 ( 4.60 ) &_o„,H² (>) = 〈F&o,H(>) − &o,H(>F)GF&„,H(>) − (&„,H(>F)G〉 _{( 4.61 )}

&_o,H² (>) =H^{@Eoz{>{ lorsque >→0}

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Figure 67 : Cas A (@š⁄ =@ A, *š=1.10-5m) : Dispersion des particules en fonction du temps à différentes distances de la surface libre (bleu foncé : z⋲⋲⋲⋲[ ΔΔΔΔ ; 2ΔΔΔΔ]]]], noir : z⋲⋲⋲⋲[ 2ΔΔΔΔ ; 3ΔΔΔΔ], r], roooouuuuggggeeee :::: ], r], r z⋲⋲⋲⋲[ 3ΔΔΔΔ ; 4ΔΔΔΔ], cyan], cyan], cyan], cyan :::: z⋲⋲⋲⋲[ 6ΔΔΔΔ ; 7ΔΔΔΔ ] ] ] ]

Aux temps courts, nous observons un bon accord entre la dispersion des particules calculée par simulation numérique directe et la loi présentée en ( 4.58 ) comme on peut le voir sur les Figure 68 à Figure 70 où on a mis en vis-à-vis la courbe de dispersion calculée par DNS et la courbe théorique. Par contre, aux temps longs, comparer la dispersion calculée par DNS avec la loi théorique établie en turbulence homogène isotrope s’avère plus difficile. En effet, cela suppose d’une part de définir le domaine où la dispersion suit son comportement asymptotique aux temps longs, et d’autre part de calculer le temps de décorrélation lagrangien qui, dans une turbulence anisotrope, est sensible à la façon dont on l’évalue. Les mêmes problèmes apparaissent pour la détermination du coefficient de diffusion c’est pourquoi ces points seront abordés dans le paragraphe suivant.

Figure 68 : Cas A (@š⁄ m A, *@ š=1.10-5m, plan Lz/6) : (Points magenta .) : Dispersion de particules en fonction du temps. (Trait continu rouge -) : Estimation de la dispersion évaluée à l’aide de l’équation 4.61 aux temps courts

Figure 69 : Cas A (@š⁄ m A, *@ š=1.10-5m, plan Lz/4) : (Points magenta .) : Dispersion de particules en fonction du temps. (Trait continu rouge -) : Estimation de la dispersion évaluée à l’aide de l’équation 4.61 aux temps courts

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Figure 70 : Cas A (@š⁄ =@ A, *š=1.10-5m, plan Lz/3) : (Points magenta .) : Dispersion de particules en fonction du temps. (Trait continu rouge -) : Estimation de la dispersion évaluée à l’aide de l’équation 4.61 aux temps courts

Coefficient de diffusion

Le coefficient de diffusion des particules s’obtient en dérivant la dispersion des particules par rapport au temps33.

Dans le cas d’une turbulence homogène isotrope, on peut lier le coefficient de diffusion aux échelles de décorrélation lagrangienne. Lorsque les particules se comportent comme des traceurs, le coefficient de diffusion est donné par33 :

L’échelle lagrangienne est la même que celle qui a été présentée pour la phase fluide puisqu’on assimile ici les particules solides à des particules de fluide.

En turbulence homogène isotrope, le comportement asymptotique de la dispersion aux temps longs est une droite.

Dans notre cas, il apparaît que la dispersion semble suivre un comportement linéaire sur un intervalle de temps restreint seulement (on observe ensuite une inflexion de la courbe de dispersion). Ceci est lié au caractère fortement non homogène de la turbulence dans la direction normale à la surface libre : au fur et à mesure que la dispersion croît, les particules explorent des régions dont les caractéristiques de turbulence diffèrent de celles de leur tranche d’origine.

Pour comparer les coefficients de diffusion estimés par les relations (4.62) et (4.63), nous supposons qu’il existe un intervalle de temps sur lequel (i) la dispersion suit son régime asymptotique aux temps longs et (ii) la turbulence reste homogène à l’échelle de la distance moyenne parcourue par les particules depuis l’instant > m 0. Nous avons choisi arbitrairement l’intervalle de temps ó1,5; 2,5]s. L’interpolation de la dispersion par un polynôme a aussi été effectuée de façon non concluante (Annexe 6).

Figure 71 : Cas A (@š⁄ m A, *@ š=1.10-5m, plan Lz/6) : (Points magenta .) : Dispersion de particules en fonction du temps. (Traits pleins noirs -) : Régression linéaire sur l’intervalle de temps óA, B; —, B] s

o m¹₂ ^&H,o² U>V

> ^{( 4.63 )}

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Nous rapportons dans le tableau suivant les valeurs de coefficient de dispersion calculées par régression linéaire et à l’aide de l’échelle de décorrélation lagrangienne, pour le plan Lz/6. Il apparaît que les valeurs de coefficient de dispersion estimées par régression linéaire et celles déterminées à l’aide de la relation (4.63) sont du même ordre de grandeur. L’écart (d’un facteur 2 à 3) entre les valeurs estimées par régression linéaire et celles calculées à l’aide de la relation (4.63) montrent cependant que le caractère non homogène de la turbulence est trop prononcé pour pouvoir utiliser les résultats établis en turbulence homogène isotrope.

Tableau 9: Coefficient de diffusion évalué dans le plan Lz/6 o Direction Š { Mü_ú,² (½) M½ pour >⋲[1,5; 2,5] s (m².s-1) @_E,oz{.?Åo (m².s-1) 0 2,9. 10pv 1,4. 10pv 2 4,3. 10pv 1,6. 10pv