Discrétisation temporelle

Il reste à traiter les dérivées temporelles dans la forme semi-discrète obtenue après discréti-sation en espace. Deux types de discrétidiscréti-sation en temps sont alors distingués : les discrétidiscréti-sations implicites et explicites en temps.

La méthode de Newmark est une méthode générique pour les discrétisations temporelles. Selon les valeurs de ses paramètres, elle peut aboutir à une discrétisation implicite ou explicite en temps. Le principe est le suivant. Connaissant les accélérations, vitesses et positions des noeuds au temps t, le but est de déterminer ces quantités au temps t + ∆t. Pour ce faire, la méthode de Newmark est basée sur une intégration des accélérations pour déterminer les vitesses et une intégration des vitesses pour déterminer les positions des noeuds.

  

 

x_t+∆t= xt+ ∆t ut+^∆t₂² ((1 − 2β)at+ 2βat+∆t) (2.3.37a)

u_t+∆t= ut+ ∆t ((1 − γ)at+ γat+∆t) (2.3.37b)

2.3.37se transforme en :          a_t+∆t= ^xt+∆t− x_t β∆t2 − ^ut β∆t⁻⁽ 1 2β ^−1)at (2.3.38a) u_t+∆t= (1 − ^γ β)ut+ ∆t[(1 − γ) − ( ^γ 2β ^{− γ)]a}t+ ^γ ∆tβ^(xt+∆t− x_t) (2.3.38b) En ce qui concerne la stabilité du schéma de Newmark, elle est conditionnée par les paramètres

β et γ, comme le résume le tableau2.2. Pour des valeurs β ≥ 0.25 et γ ≥ 0.5, le schéma implicite est inconditionnellement stable. En revanche, quand β ≤ γ

2, le schéma de Newmark est explicite et une condition de stabilité doit être vérifiée à chaque pas de temps, en fonction des paramètres

β et γ et de la plus petite période du système Tmin.

Valeur des paramètres Stabilité Pas de temps critique

β ≥0.25 et γ ≥ 0.5 Inconditionnelle ∆tc= ∞

β ≤ ^γ₂ Conditionnelle ∆tc= Tmin

2π√_γ

2−β

Table 2.2: Conditions de stabilité des schémas de Newmark

2.3.2.1 Discrétisation implicite en temps

Une discrétisation est qualifiée d’implicite lorsque les quantités xt+∆t, ut+∆t et at+∆t ne peuvent pas être calculées uniquement en fonction des quantités au temps t. Des algorithmes itératifs, tels que la méthode de Newton Raphson ou de Runge Kutta, doivent donc être mis en place pour déterminer conjointement les accélérations, vitesses et positions au temps t + ∆t. Ces méthodes sont souvent couteuses en temps de calcul mais sont inconditionnellement stables.

2.3.2.2 Discrétisation explicite en temps

Pour une discrétisation explicite, toutes les variables au temps t + ∆t sont exprimées en fonction des variables au temps t. Parmi les méthodes explicites, la méthode des différences centrées est largement utilisée.

2.3.2.2.1 Discrétisation en temps par différences finies centrées

Ici, l’opérateur "dérivée en temps" est discrétisé de la même manière que précédemment pour la dérivation spatiale. Ainsi, les vitesses et accélérations s’écrivent :

       u_t= ^xt+∆t− x_t−∆t 2∆t ^(2.3.39a) a_t= ^ut+∆t− u_t−∆t 2∆t ⁼ x_t+∆t−2xt+ xt−∆t ∆t2 (2.3.39b) ( u_t+∆t = ut−∆t+ 2∆t at (2.3.40a) xt+∆t = xt−∆t+ ∆t ut (2.3.40b)

Ainsi, connaissant l’accélération at après résolution de l’équation du mouvement, il est possible de calculer les vitesses ut+∆t puis les positions xt+∆t.

Pour des raisons de coût de calcul, l’utilisation d’une matrice de masse diagonale (cf équation

2.3.21), ou condensée, est préférée pour une discrétisation explicite en temps. Les schémas de ce type sont simples à mettre en oeuvre et relativement rapides à exécuter. Ils sont néanmoins soumis à une condition de stabilité, détaillée dans le paragraphe suivant.

2.3.2.2.2 Stabilité des schémas explicites en temps

La condition de stabilité d’un schéma explicite s’écrit comme une condition sur le pas de temps qui doit rester inférieur à une certaine valeur ∆tc, appelée pas de temps critique, pour chaque temps tn.

∀n, ∆t(n)≤∆t(n)

c (2.3.41)

Le pas de temps critique est alors la valeur maximale du pas de temps pour laquelle le schéma est stable.

Condition de stabilité CFL

Une condition nécessaire et suffisante de stabilité du schéma explicite en temps est la condition de Friedrich Courant Lewy, dite condition CFL [Courant et al., 1928]. Cette condition de stabilité fait le lien entre le pas de temps du schéma et la taille des éléments du maillage. Pour illustrer cette condition, le cas suivant est considéré.

Un domaine est maillé avec des éléments k de taille ∆xk. La valeur ∆xk n’est pas nécessaire-ment uniforme dans le milieu et peut même varier au cours du calcul. A chaque itération n, un pas de temps caractéristique pour chaque élément du maillage est défini. Il dépend de la taille de la maille k et de la célérité cn

k du son dans l’élément considéré, au temps tn.

∀n, ∆t(n) k = ^∆x (n) k c⁽ⁿ⁾_k (2.3.42) Cette grandeur ∆t(n)

k correspond à la durée que met l’information pour se propager d’une distance ∆x(n)

k à la vitesse c(n)

k . Par conséquent, il faut que le pas de temps ∆t(n) imposé à chaque itération soit cohérent avec la vitesse de propagation de l’information et vérifie donc pour chaque élément du maillage :

∀n, ∆t(n) ≤min k ∆t(n) k = min k ∆x(n) k c⁽ⁿ⁾_k (2.3.43)

Physiquement, la condition CFL traduit le fait que l’itération en temps ne peut pas permettre de calculer des champs en des points (x, t) que l’onde n’a pas encore atteints (Figure 2.3.3a). De même, les champs en un point (x(n), t⁽ⁿ⁾+ ∆t(n)) ne dépendent que des points (x0, t) dont l’information s’est propagée jusqu’à ce point pendant le temps ∆t(n) (c’est à les points tels que |x0(n)− x(n)| ≤ c(n)∆t(n))(Figure 2.3.3b)

En pratique, l’identification de l’équation 2.3.43 dans 2.3.41 permet de calculer directement le pas de temps critique du schéma à chaque itération n :

∀n, ∆t(n) c = min k ∆x(n) k c⁽ⁿ⁾_k (2.3.44)

t x ∆t(n) t(n) t(n+1) t⁽ⁿ⁺²⁾ ∆x(n) k A⁽ⁿ⁾_i zone d’influence de A(n) i −c⁽ⁿ⁾_k c⁽ⁿ⁾_k+1 (a) t x ∆t(n) t(n) t⁽ⁿ⁺¹⁾ t(n+2) ∆x(n) k B_i⁽ⁿ⁺²⁾

zone influençant le point B(n+2)

i

c⁽ⁿ⁺¹⁾_k −c⁽ⁿ⁺¹⁾_k+1

(b)

Figure 2.3.3: Représentation graphique de la condition de stabilité CFL

Détermination du pas de temps critique dans des schémas Éléments Finis Les problèmes Éléments Finis (EF) sont généralement formulés sous la forme :

[M]{¨ξ} + [K]{ξ} = {F } (2.3.45)

où {ξ} est le vecteur déplacement discrétisé, [M] est la matrice de masse, [K] est la matrice de raideur et {F } est le vecteur force. Cette équation peut aussi s’écrire :

{ ¨ξ}= {F } − [M−1

K]{ξ} (2.3.46)

Ainsi, la matrice [M−1K] correspond à une matrice d’amplification : une perturbation sur {ξ} donne une perturbation [M−1K]{ξ} sur {¨ξ}. Or, pour montrer la stabilité d’un schéma, il faut vérifier que le rayon spectral de la matrice d’amplification est inférieur ou égal à 1, c’est à dire que de petites perturbations sur le champ de déplacement par exemple ne vont pas s’amplifier au cours du temps.

Avec cette formulation, la condition de stabilité dépend du rayon spectral r de la matrice [M−1K] qui s’écrit comme :

r= max(ω) tel que : det

[K] − ω2[M]

= 0 (2.3.47)

Le pas de temps critique est alors défini par la relation : ∆tc= ²

r = ²

ω_max (2.3.48)

Avec cette méthode, il est aisé de déterminer le pas de temps critique connaissant les matrices de masse et de raideur. Cela étant, en Volumes Finis, la matrice de raideur n’est pas définie. La preuve de la stabilité de ces schémas peut se faire en remontant à l’analyse de stabilité linéaire pour de petites perturbations.

Avec une telle condition, des pas de temps très petits peuvent être requis lorsque le maillage contient une zone finement maillée, comme par exemple pour le traitement de discontinuités. Une solution proposée par [Menouillard et al., 2010] consiste à découper le domaine selon les

tailles de mailles et utiliser des pas de temps adaptatifs sur chaque domaine, car seules les zones très résolues en maillage ont besoin d’un pas de temps très petit. Cela revient à faire plusieurs boucles en temps dans les zones de maillage fin, quand, pour atteindre le même temps, une seule boucle en temps est nécessaire sur les zones de maillage plus gros.