2.3 Synthèse
3.1.1 Direction à assistance hydraulique (DAH)
Fig. 3.1 – Direction à assistance hydraulique.
La direction assistée hydraulique est le premier système d’aide au braquage mis au point pour les véhicules commerciaux. Comme son nom l’indique, l’énergie utilisée pour fournir l’assistance est
hydraulique. Le débit de fluide nécessaire est fourni par une pompe hydraulique, généralement entraînée par l’arbre moteur. Une valve, placée sur la colonne de direction, permet de distribuer le fluide en fonction du sens de l’effort appliqué sur le volant par le conducteur vers un vérin d’assistance qui agit alors sur la crémaillère.
Paramètres mécaniques et variables.
θv Angle volant Rpc Rayon pignon crémaillère
θr Angle roues kt Raideur barre de torsion
Xc Position crémaillère Kα Gain de l’assistance
Jv Inertie volant βc Frottements visqueux sur la crémaillère
Meq Masse équivalent crémaillère βv Frottements visqueux sur l’axe volant
∆P Pression assistance Γh Effort conducteur
S Cylindrée assistance Fcrem Forces extérieures crémaillère
KP Raideur apparente crémaillère Khy Raideur hydraulique
Tab. 3.1 –Paramètres du système.
La modélisation retenue est assez simple. La colonne de direction est constituée d’une barre de torsion de raideurkt. Le lien entre la colonne et la crémaillère est effectué par un pignon de rayonRpc. L’assistance est commandée par l’angle de torsion de la barre et agit directement sur la crémaillère par l’intermédiaire du vérin d’assistance.
Valve
Cr´emaill`ere
V´erin d’assistance
Volant
Fig. 3.2 –Modèle mécanique de la DAH.
Bilan des efforts au volant.
La dynamique du volant est régie par l’équation suivante:
Jvθ¨v = Γh−βvθ˙v−kt(θv− Xc
Rpc
Bilan des efforts sur la crémaillère.
Le bilan des forces appliquées à la crémaillère est donné par l’équation qui suit:
MeqX¨c =S∆P + kt Rpc
(θv− Xc
Rpc
)−βcX˙c+Fcrem−KhyXc (3.2)
L’angle de torsion du barreau de valve est défini par:α=θv− Xc Rpc
L’effort d’assistance S∆P est décrit par la fonctionf(α), appelée aussi Loi de valve:
S∆P =S f(α)
La loi de valve f(α) est une fonction non-linéaire de l’angle de torsionα. Des modèles dynamiques du comportement de cette fonction ont été élaborés dans [CLa02]. Des modèles statiques de la loi ont aussi été proposés. Dans [Mar04], il est montré que la loi de valve peut s’exprimer, en statique, de la manière suivante:f(α) =k0(α+k1α3).
Afin d’obtenir une représentation d’état du système de direction, la loi de valve est linéarisée autour d’un point de fonctionnement, d’où:
f(α)≃Kαα
où Kα est la pente def(α) au point de fonctionnement choisi.
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 7 α (rad) f( α ) (Pa)
Fig.3.3 – Loi de valve d’une Laguna.
La Figure 3.4 montre le modèle mécanique équivalent d’une direction à assistance hydraulique après linéarisation. La raideur hydraulique Khy est définie de la manière suivante:
Khy = 2B S2 Vr
où B est le module de compressibilité du fluide et V le volume d’une chambre du vérin d’assistance. Les efforts extérieurs appliqués à la crémaillèresFcremsont modélisés par une raideurKP. Ce terme inclut la raideur transversale du train avant et la raideur latérale des pneumatiques. Un bref aperçu
kt
Rpc Jv
Khy KP Meq
Fig. 3.4 – Modèle mécanique équivalent de la DAH.
des valeurs numériques prises par KP et Khy montre que la raideur hydraulique aura peu, voire pas, d’influence sur la position des modes du système. Cette raideur ne sera donc pas prise en compte.
Valeurs numériques.
Jv = 0.03kg.m2 Meq = 66kg βv = 0.01N m.s βc = 500N.m−1.s S= 8.5 10−4m2 kt= 114N m.rad−1
Rpc= 8.5 10−3m Khy= 2 108N.m−1 KP = 8 105N.m−1 Tab. 3.2 – Valeurs numériques du système.
Dans le but de simplifier l’expression des dynamiques du modèle, les amortissements apportés par les pneumatiques, le fluide hydraulique et les éléments mécaniques sont négligés. Ces simplifications permettent d’éliminer les termes liés essentiellement au confort de conduite et de ne garder que ceux décrivant la dynamique du système en le plaçant dans le cas d’étude le plus défavorable.
Une DAH constitue en fait un asservissement mécanique dont la commande est donnée par l’équa-tion Fhy = S∆P (l’effort hydraulique d’assistance). En combinant les équations (3.1) et (3.2), l’ex-pression de la fonction de transfert de la boucle ouverte hydraulique de la DAH est donnée par:
HDAHBO (s) = S Kαα Fhy = −ktJvKαRpcs2 JvMeqR2 pcs4+ ktJv+R2 pcMeqkt+KPR2 pcJv s2+KPR2 pckt
Ce transfert est caractérisé par deux modes souples (basse et haute fréquence) dont les expressions (données dans [Mar04]) sont rappelées:
ω21 = KP R2 pckt kt+KPR2 pc 1 Jv, ω1= 2π5.6rad.s −1 ω22= 1 Jv + 1 R2 pcMeq kt, ω1 = 2π30rad.s−1
Dans [Mar04], il a été montré que les résonances induites par ces deux modes ne peuvent pas déstabiliser le système de direction. Il est donc possible d’augmenter le gain d’assistance Kα sans risque d’instabilité. Bode Diagram Frequency (Hz) −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 Magnitude (dB) 10−1 100 101 102 103 −360 −180 0 Phase (deg)
Fig.3.5 – Transfert Γh 7−→θr de la DAH, assistance débranchée.
Le transfert Γh 7−→ θr du système de direction, assistance débranchée, est représenté Figure 3.5. Ce transfert est intéressant car il est représentatif du comportement du système de direction tel qu’il est perçu par le conducteur. Il est possible d’évaluer la bande passante, donnée ici par le premier mode, de la direction assistée hydraulique.
Les fréquences des deux modes souples sont clairement retrouvées. Si l’assistance est prise en compte pour tracer la réponse fréquentielle, les pulsations des deux modes souples s’en trouvent modifiées. Leur expression respective devient:
ω21 = KP R2pckt kt+S RpcKα+KPR2 pc 1 Jv ω22 = 1 Jv + 1 R2 pcMeq (kt+S RpcKα)
Il est intéressant de remarquer q’une augmentation du gain d’assistance induit une diminution de la fréquence du premier mode en boucle fermée. Cependant, cette diminution rest relativement faible: un gain d’assistance de 15 donne un premier mode proche de 2 Hz.
Cette brève étude du comportement d’un direction assistée hydraulique permet de mettre en avant les qualités qui ont fait le succès d’un tel système.
Ce dernier comporte deux modes souples mécaniques dont l’ordre de grandeur des fréquences asso-ciées est de 6 Hz pour le premier et 30 Hz pour le second. La forme de la boucle ouverte hydraulique montre que, quel que soit le gain d’assistance, une DAH ne peut jamais être instable. De plus, à la fréquence du premier mode, celui-ci étant bien phasé, l’efficacité de l’assistance est maximale. Par conséquent, la boucle fermée équivalente se comporte comme un gain pur à cette fréquence.