Dimensionnement de composants magnétiques

I - A. Etat de l’art des méthodes d’optimisation sous contraintes

I - A - 1. Introduction

Après avoir souligné l'intérêt des logiciels d'optimisation pour le dimensionnement de dispositifs, nous allons maintenant examiner les méthodes d'optimisation susceptibles d'être mises en œuvre pour dimensionner des composants magnétiques. Nos investigations porteront, dans un premier temps, sur les méthodes d'optimisation continue mono objectif uniquement, et ce pour plusieurs raisons. Tout d'abord, même si elles ne permettent pas de résoudre directement les problèmes d'optimisation multi objectifs ou mixte, elles sont tout de même utiles pour le concepteur désireux de dimensionner un dispositif. Ensuite, beaucoup de méthodes permettant de résoudre les problèmes d'optimisation mixte ou multi objectifs s'appuient sur des méthodes d'optimisation continue mono objectif.

Nous ne chercherons pas ici à détailler de manière exhaustive l'ensemble des méthodes d'optimisation disponibles, en raison de leur grand nombre. En effet, nous pensons qu'il serait superflu de citer ici pléthore de méthodes sans en expliquer le principe, ou à l'opposé par la présentation de trop de détails donner une importance exagérée à ce sujet par rapport à la thématique traitée dans ce mémoire. De plus, il existe des états de l'art récents disponibles à ce sujet [OPT-02][COC-01][NEO-OP][HAJ-03], qui possède en outre la particularité d'être en pleine phase d'évolution. Nous cantonnerons donc notre discours à certaines méthodes que nous avons jugées pertinentes dans le contexte qui nous intéresse.

I - A - 2. Méthodes déterministes locales

Il existe différentes méthodes déterministes d'optimisation locale pour résoudre un problème d'optimisation. Parmi elles, les plus intéressantes dans notre contexte sont les méthodes mathématiques issues de l'analyse numérique. Ce sont des méthodes complexes, car constituées d'une combinaison d'approches ayant chacune pour rôle de traiter un aspect particulier du problème. Ainsi, si toutes ces méthodes sont basées sur deux théorèmes mathématiques (conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité du premier et second ordre de Karush-Kuhn-Tucker [CUL-94]) caractérisant

Leur principe consiste à procéder par itération, en testant successivement différentes solutions potentielles, déterminées en deux temps à partir des précédentes. Une direction de recherche est d'abord calculée, en résolvant un problème d'optimisation simple (usuellement linéarisé ou sans contraintes) issu de la transformation du problème initial. Ensuite, la solution potentielle suivante à tester est déterminée en progressant suivant cette direction de recherche.

Il existe différentes approches pour déterminer indépendamment la direction de recherche et la progression suivant celle-ci [NEO-OP][CUL-94]. Leurs variantes et leurs combinaisons grossissent encore le nombre des méthodes d'optimisation disponibles. Toutes ces méthodes ont néanmoins des caractéristiques communes:

Le modèle constitué des fonctions f, g et h (Chapitre 1, I - B - 3) doit être continu et différentiable. En particulier, ces méthodes fonctionnent mieux si on leur fourni les valeurs exactes des Jacobiens de ces fonctions.

Elles nécessitent qu'on leur fournisse un point de départ, qui ne doit pas forcément satisfaire les contraintes. Ce point est d'une importance cruciale puisqu'il détermine en partie la convergence de la méthode. Généralement, plus ce point de départ est proche d'une solution, plus la convergence est rapide.

Elles convergent rapidement, c'est-à-dire que comparées à d'autres types de méthodes d'optimisation, elles nécessitent généralement moins d'évaluations du modèle.

Elles gèrent efficacement les contraintes.

Parmi les méthodes disponibles, nous retiendrons la programmation séquentielle quadratique (SQP) [SCH-83], couramment employée car réputée performante. La direction de recherche est dans ce cas déterminée par la résolution d'un problème d'optimisation quadratique avec contraintes linéaires, issu de la linéarisation du problème initial au point testé. Le mode de progression suivant cette direction de recherche est variable suivant les algorithmes disponibles. Il existe également une variante de cette méthode qui présente un intérêt particulier dans notre contexte. Il s'agit de la programmation séquentielle quadratique faisable (FSQP). Son principe est similaire à la méthode SQP, sauf que chaque solution potentielle successivement essayée est déterminée de manière à respecter les contraintes autant que possible. Elle est intéressante lorsque le modèle n'est pas défini en dehors des contraintes.

I - A - 3. Méthodes à caractère global

Les méthodes d'optimisation à caractère global se scindent en deux familles distinctes: stochastiques ou déterministes. Celles appartenant à la première famille sont les plus répandues. Celle-ci regroupe tout un ensemble d'approches différentes, ayant pour point commun d'être basées sur la sélection par évaluation d'un grand nombre de solutions potentielles, déterminées au moins en partie par le hasard. La plus simple est certainement la méthode de Monte-Carlo, qui consiste à essayer des solutions potentielles tirées aléatoirement suivant une loi de distribution de probabilité donnée

[FIS-96]. Viennent ensuite les méthodes évolutionnistes [GOL-94], basées sur le principe de la sélection naturelle, qui sont d'utilisation courante. Il existe aussi des méthodes plus exotiques, également inspirées par des processus naturels, tel la méthode du recuit simulé [KIR-83] ou plus récemment l'optimisation par colonies de fourmis [DOR-00]. La seconde famille est constituée de méthodes déterministes. La plupart de ces méthodes sont issues du couplage d'heuristiques avec des algorithmes d'optimisation locale déterministes [SCH-03]. Les règles heuristiques évitent alors que la convergence ne soit interrompue prématurément par la découverte d'un optimum local. D'autres méthodes radicalement différentes existent, telles les méthodes d'optimisation lipchitziennes [GAB-98].

Les méthodes de la première famille et les méthodes d'optimisation lipchitziennes ont les caractéristiques communes suivantes:

Le modèle constitué des fonctions f, g et h (Chapitre 1, I - B - 3) peut être non continu et non différentiable. Les Jacobiens de ces fonctions ne sont par ailleurs pas requis.

Ces méthodes d'optimisation nécessitent beaucoup d'évaluations du modèle, comparées aux méthodes locales. Elles sont donc plus coûteuses en temps de calcul. Ceci vient du fait que plus on effectue d'essais, plus on a de chance d'identifier l'optimum global.

Par principe, elles ne sont pas directement adaptées à la gestion des contraintes. Elles peuvent même devenir inefficaces pour des problèmes fortement contraints. On est donc obligé de leur adjoindre des méthodes de gestion des contraintes. Par exemple, la méthode de pénalisation externe [CUL-94] est souvent mise en œuvre pour les algorithmes génétiques [HAJ-03], ce qui augmente encore leur coût temporel.

Les méthodes issues du couplage d'heuristiques avec des algorithmes d'optimisation locale déterministes ont quant à elles sensiblement les mêmes propriétés que ces derniers, mis à part qu'elles ont moins de chance d'être trompés par un optimum local. Elles nécessitent cependant un paramétrage additionnel souvent non intuitif qui limite leur intérêt.

I - A - 4. Hybridation des méthodes

Il est également possible de combiner certaines de ces méthodes, de manière à mutualiser certains de leurs intérêts. Par exemple, on peut combiner une méthode d'optimisation déterministe locale avec un algorithme génétique. En lançant un algorithme SQP comme opérateur de mutation à la place d'une mutation standard, basée sur le hasard seul, on peut accélérer la convergence de l'algorithme génétique [CAI-04]. Cependant, cet effet bénéfique est parfois compensé par l'accroissement du nombre d'évaluations du modèle. De même, il est possible de combiner une méthode locale avec un algorithme du type Monte-Carlo. En utilisant ce dernier pour générer aléatoirement des points de départ pour un algorithme SQP, on peut augmenter les chances d'identifier l'optimum global (ou l'un d'entre eux). Ceci se paie néanmoins par un temps de calcul d'autant plus important que l'on essaye plus de nombreux points de départ différents. L'hybridation de méthodes

I - A - 5. Complémentarité des approches

Nous avons vu qu'il n'existe pas à l'heure actuelle de panacée pour résoudre un problème d'optimisation sous contraintes de manière globale, dans le contexte qui nous intéresse. Différentes méthodes d'optimisation sont en revanche disponibles, d'intérêt divers suivant le contexte d'utilisation. Ce dernier comprend les caractéristiques du problème d'optimisation, ainsi que le temps et les moyens disponibles. Ainsi, lorsque le temps de calcul est déterminant, on privilégiera l'utilisation de méthodes locales si leur emploi est possible, surtout si le problème d'optimisation est fortement contraint. Dans le cas contraire, on aurait intérêt à utiliser les méthodes à caractère global et leurs hybrides. Si l'on est amené à chercher un compromis entre les contraintes de mise en oeuvre, on peut alors employer une méthode d'optimisation à caractère global, issue du couplage d'une heuristique avec un algorithme d'optimisation locale. Ainsi, l'utilisateur dispose d'une panoplie de méthodes diverses et complémentaires pour résoudre son problème d'optimisation, sans pour autant être en mesure de déterminer avec certitude laquelle donnera les meilleurs résultats a priori.

I - B. Optimisation des composants magnétiques

I - B - 1. Caractéristiques liées aux composants magnétiques

Les modèles des composants magnétiques comportent un certain nombre de caractéristiques communes. Ceux-ci sont fortement non linéaires, puisqu'ils comportent entre autre des calculs d'aires (sections fer et cuivre,…) et de volumes (encombrement du composant,…), et parce que les équations des éléments de leur circuit électrique équivalent sont non linéaires. De plus, ces modèles sont souvent hétérogènes, puisque constitués d'équations explicites, d'équations implicites (pour le calcul des pertes fer par exemple), de courbes interpolées (induction en fonction de l'excitation magnétique par exemple), de modèles éléments finis ou d'algorithmes (Chapitre 1, I - A - 2).

D'autre part, les problèmes de dimensionnement de composants magnétiques sont en général fortement contraints. Bien qu'il soit difficile d'édicter des règles générales, on peut chercher à comparer le nombre de contraintes au nombre de paramètres à optimiser, à partir des problèmes que nous avons été amenés à traiter. Ainsi, on peut citer les contraintes communes suivantes:

une induction nominale ou maximale de fonctionnement au moins une grandeur électrique de sortie (tension ou courant)

l'encombrement traduit sous la forme de dimensions géométriques, calculées typiquement à l'aide deux ou trois paramètres (hauteur plus diamètre ou longueur et largeur).

au moins une grandeur traduisant l'échauffement du composant (température, pertes fer, pertes cuivre, densité de courant dans les fils,…)

au moins un paramètre traduisant le remplissage de la ou des fenêtres de bobinage au moins un paramètre traduisant l'efficacité du composant (rendement, précision,…)

A cela s'ajoute encore d'autres contraintes suivant le type de composants à concevoir. On constate donc qu'il y a, en général, au moins sept paramètres contraints lors du dimensionnement d'un composant magnétique. D'une façon analogue, on peut recenser les paramètres communs à optimiser, qui permettent le calcul des paramètres contraints cités ci-dessus:

les dimensions géométriques du circuit magnétique du composant, ce qui constitue au moins deux paramètres (diamètre et hauteur d'un tore, dimensions et nombre de tôles) une grandeur caractéristique du matériau magnétique utilisé (perméabilité par exemple) le diamètre du ou des fils bobinés

le nombre de spires du ou des enroulements

On arrive ainsi de manière générale à cinq paramètres à optimiser au minimum. D'après cette comptabilité approximative, les nombres de contraintes et de paramètres à optimiser sont donc voisins. D'après notre expérience, ceci reflète bien la proportion, somme toute assez équilibrée, entre ces deux types de paramètres pour les composants magnétiques. A cause de cet état de fait et des contraintes strictes issues des cahiers des charges industriels d'aujourd'hui, il est difficile de trouver une combinaison de paramètres à optimiser qui respecte le cahier des charges. Traduit sous une forme plus formelle, l'ensemble des solutions faisables (respectant l'ensemble des contraintes sans forcément être optimales) est en général petit part rapport à l'ensemble E (Chapitre 1, I - B - 3) dans lequel s'effectue la recherche de solutions.

I - B - 2. Méthodes d’optimisation adaptées aux composants magnétiques

A cause des caractéristiques que nous venons d'énoncer (parties I - A - 5 et I - B - 1), les méthodes déterministes d’optimisation locale peuvent être regardées comme un outil de base bien adapté au dimensionnement des composants magnétiques. Comme nous l'avons également déjà mentionné, si la contrainte de temps n'est pas critique, ces méthodes locales peuvent être avantageusement complétées par des méthodes hybrides. Or, cette contrainte de temps est fondamentale, puisque dans un contexte industriel, un concepteur n'utilisera sûrement pas un logiciel de dimensionnement si celui-ci met beaucoup plus de temps que lors d'un dimensionnement manuel, c'est-à-dire effectué par le concepteur à l'aide de logiciels de calcul seuls. Plus grave encore, on peut pronostiquer que ce sera également le cas si ce logiciel met un temps comparable, puisque ce dernier imposera une autre méthode de travail au concepteur, alors que le concepteur est déjà en mesure de dimensionner manuellement son composant magnétique de manière satisfaisante. D'autre part, plus le logiciel de dimensionnement est rapide, plus il est interactif et convivial. En effet, le concepteur peut alors tester plus de possibilités, face aux échecs qu'il est amené à rencontrer au cours du processus de dimensionnement. De plus, le temps d'attente entre chaque essai est moins long, ce qui constitue un facteur psychologique important pour son adoption. D'une manière analogue, l'ordinateur ne serait guère apprécié s'il ne réagissait pas instantanément aux commandes de l'utilisateur.

Nous privilégierons donc dans la suite l'emploi de méthodes déterministes d'optimisation locale, sans pour autant nous y limiter forcément. En effet, chaque problème d'optimisation est unique, en ce sens qu'il est sage d'éviter d'énoncer des règles systématiques concernant l'emploi d'une méthode d'optimisation particulière.

I - B - 3. Difficultés d'utilisation des méthodes d'optimisation

Nous allons maintenant discuter des difficultés que l'on peut rencontrer, lors de l'emploi de méthodes d'optimisation pour le dimensionnement. Ces réflexions sont tirées de notre propre expérience. Elles ne sont cependant en rien spécifiques au dimensionnement des composants magnétiques. Nous pensons que tout concepteur mettant en œuvre des méthodes similaires à celles discutées ici risque d'y être confronté à un moment donné.

La première difficulté à laquelle doit faire face un concepteur lorsqu'il veut optimiser un dispositif, consiste à choisir le type de méthode d'optimisation à mettre en oeuvre, compte tenu des contraintes auxquelles il doit faire face. Une autre difficulté consiste à paramétrer correctement l'algorithme d'optimisation choisi, sous peine d'échec de convergence, ou de convergence vers des solutions inadmissibles. Par exemple les algorithmes d'optimisation VF13 [HAR-87] et CFSQP [LAW-97], tous deux basés sur la méthode SQP (partie I - A - 2), nécessitent la donnée d'une précision de convergence (sous des formes différentes: un paramètre de réglage global pour VF13, deux paramètres distincts pour CFSQP), qui va caractériser la proximité de la solution trouvée par rapport à l'optimum théorique. Si elle est mal réglée, ces algorithmes sont susceptibles de renvoyer une solution très éloignée de l'optimum théorique. Elle peut même dépasser de manière inacceptable certaines contraintes du cahier des charges, alors même que l'algorithme donne cette solution pour valide. Malheureusement pour l'utilisateur, cette précision ne peut être réglée a priori (Annexe A). Elle doit donc être déterminée par essai erreur, si la valeur par défaut ne convient pas. Les méthodes à caractère global comportent le même genre de difficultés, quoique différentes dans leurs implications.

Dans un contexte de dimensionnement routinier, ces difficultés ont tendance à s'estomper, l'expérience aidant. Le concepteur doit néanmoins faire face à d'autres problèmes. Lorsqu'il recourt à des méthodes d'optimisation, il n'est plus directement maître des choix effectués, concernant la détermination des valeurs des paramètres caractéristiques du dispositif à dimensionner. Face à un dispositif complexe, le concepteur peut ainsi se retrouver en difficulté en cas d'échec du logiciel d'optimisation. Il peut alors être amené, suivant les cas, à modifier le cahier des charges s'il le diagnostique comme infaisable, à corriger son modèle s'il constate des incohérences, ou même à changer la méthode d'optimisation ou son paramétrage en cas de difficultés de convergence.

Or, une décision de ce genre nécessite un retour d'information de la part du logiciel et de la méthode d'optimisation. Hormis une erreur de modélisation ou un bug du logiciel que seul l'utilisateur peut diagnostiquer, il est possible de lui fournir des informations utiles, lors d'un défaut de convergence. Cependant, ces informations peuvent varier suivant la méthode d'optimisation employée.

Par exemple, les algorithmes VF13 et CFSQP convergent de manière telle qu'il est souvent possible, en examinant les solutions potentielles qu'ils ont successivement essayées, de s'apercevoir que les contraintes sur certains paramètres sont contradictoires [WUR-96]. Notons cependant que l'obtention de ce type d'information se complique avec l'utilisation d'un algorithme stochastique ou hybride. A titre d'exemple, les courbes ci-dessous (Figure 9) montrent l'évolution des valeurs de certains paramètres lors du dimensionnement d'un transformateur de mesure de courant de format torique (Figure 10). Ce dimensionnement a été réalisé à l'aide de deux méthodes d'optimisation différentes, ayant toutes deux échoué au cours de l'essai présenté ici. L'une d'elles est l'algorithme VF13 (méthode SQP, [HAR-87]), tandis que l'autre est un algorithme hybride produit par nos soins, qui associe une méthode de Monte-Carlo permettant de fournir des points de départ aléatoires à l'algorithme VF13. Si il est aisé de s'apercevoir, pour la première méthode (Figure 9-a), que l'échec est probablement dû à des contraintes contradictoires concernant le diamètre du transformateur et le champ admissible dans son circuit magnétique, cela n'apparaît pas clairement pour la seconde (Figure 9-b). Pourtant, on constate expérimentalement que lorsqu'une de ces deux contraintes est suffisamment relâchée, l'optimisation réussit.

Induction dans le circuit magnétique (T)

Nombre d'itérations Nombre d'itérations (x100) Diamètre du transformateur (mm)

Nombre d'itérations Nombre d'itérations (x100) Figure 9-a. Algorithme SQP Figure 9-b. Hybride (Monte-Carlo+SQP)

Figure 9. Evolution des paramètres d'un transformateur au cours des essais successifs de deux méthodes d'optimisation différentes pour un même cahier des charges

Enfin, la dernière des difficultés liée à l'emploi des méthodes d'optimisation évoquées (partie I - A) consiste à s'accommoder de l'incertitude des résultats qu'elles fournissent. En effet, si une solution est trouvée, rien n'indique que ce soit la meilleure possible. Si l'optimisation échoue, rien ne prouve que le cahier des charges soit intenable. Ces incertitudes ne sont toutefois pas trop gênantes, si la solution trouvée apparaît pertinente aux yeux du concepteur.

I - C. Application au dimensionnement d'un transformateur de mesure

I - C - 1. Présentation de la démarche

En dépit des difficultés d'utilisation que nous venons de citer, la mise en œuvre de méthodes d'optimisation pour le dimensionnement apporte suffisamment de bénéfices pour justifier leur emploi. Le Chapitre 1 a été l'occasion de rappeler l'intérêt général de la démarche. Nous allons maintenant présenter les bénéfices que l'on peut attendre d'une telle approche, lorsqu'elle est appliquée à un cas concret de dimensionnement pour l'industrie. Le dispositif considéré ici est un transformateur de mesure de courant. Son principe consiste à mesurer le courant Ie circulant dans le fil au primaire, à l'aide de la tension Vs qu'il délivre au secondaire, aux bornes d'une charge résistive Rch (Figure 10).

Figure 10. Principe de fonctionnement d'un transformateur de mesure de courant

Nous avons comparé le processus de dimensionnement et son résultat pour un traitement manuel, basé uniquement sur des logiciels de calcul, et pour un traitement à l'aide de méthodes d'optimisation, en utilisant un logiciel d'optimisation programmé par nos soins (Annexe B). Cette comparaison a été effectuée en imposant le même cahier des charges et en considérant le même niveau de complexité pour le modèle de ce transformateur, dans les deux cas. Le dimensionnement manuel a été effectué par le personnel de Microspire™. Le résultat issu du logiciel de dimensionnement a également été validé à l'aide du modèle mis en œuvre pour la démarche manuelle, du fait de différences dans le mode de calcul de certains paramètres des modèles utilisés dans les deux cas.

Le modèle du transformateur repose sur un circuit électrique équivalent. Sous sa forme la plus complexe, le modèle est principalement constitué d'équations, mais il comporte également un calcul numérique pour l'évaluation de la précision de mesure. Des éléments supplémentaires concernant ce modèle sont donnés au Chapitre 5, les éléments présentés ici étant suffisants pour le discours tenu par

Ie

Vs Rch

la suite. A titre indicatif, le problème de dimensionnement associé comporte sept paramètres à optimiser et neuf contraintes, pour le cahier des charges considéré. Nous allons maintenant présenter le processus de dimensionnement tel qu'il est effectué manuellement, après analyse de la démarche