D. A NALYSE ET RESULTATS
1. Vision des professionnels
1.1 Difficultés rencontrées par les NEM
O estudo dos triângulos retângulos esféricos que nos seu primórdio apareceu como aplicação do teorema de Menelau e posteriormente apareceu também no Almagesto, ao longo da história foi objeto de estudo de vários matemáticos e desta forma passando a servir para varias aplicações.
O triângulo esférico com pelo menos um ângulo reto se denomina triângulo retângulo, uma característica importante é que qualquer triângulo esférico pode descompor-se em dois triângulos esféricos retângulos.
Figura 79 – Triângulos Esféricos Qualquer 223
Fonte: Elaborado pelo MSc. Marcelo Serrão
Sendo já conhecido um ângulo reto, temos apenas 5 elementos dos seis possíveis do triângulo esférico retângulo, como serão ainda fornecidos dois elementos quaisquer, dentre os cinco restantes. Desta forma podemos obter os dois outros elementos desconhecidos, do triângulo, utilizando a análise combinatória podemos fazer a combinação de cinco elementos dois a dois, que fornecerá o total de fórmulas possíveis para resolução dos triângulos retângulos esféricos.
2 m m(m 1) 5(5 1) 5 4 C 10 n! 2! 1 2
Podemos obter todas as fórmulas, a partir de um triângulo retângulo em C, conforme figura 80.
Figura 80 – Triângulos Retângulos Esféricos 224
Fonte: Elaborado pelo MSc. Marcelo Serrão
Fazendo parte dos 3 elementos dados de um triângulo um ângulo ou lado igual a 90º (triângulo esférico retângulo ou retilátero), é evidente que este elemento irá simplificar a combinação escolhida, como podemos verificar no quadro abaixo, no qual consta as fórmulas gerais e as fórmulas simplificadas da trigonometria esférica que servem para resolver qualquer caso dos triângulos retângulos e retiláteros.
QUADRO DEMONSTRATIVO DAS FÓRMULAS SIMPLIFICADAS PARA TRIÂNGULOS ESFÉRICOS RETÂNGULOS E/OU RETILATEROS
FÓRMULAS GERAIS FÓRMULAS SIMPLIFICADAS
Ângulo A = 90º Lado a = 90º
cos(a) cos(b) cos(c) sen(b) sen(c) cos(A) cos(a) cos(b) cos(c) cos(A) cotg(b) cotg(c)
cos(b) cos(a) cos(c) sen(a) sen(c) cos(B) cos(b) sen(c) cos(B)
cos(c) cos(a) cos(b) sen(a) sen(b) cos(C) cos(c) sen(b) cos(C)
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
cos A cos(B) cos(C) sen(B) sen(C) cos(a) cos(a) cotg(B) cotg(C) cos(A) cos(B) cos(C)
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
cosB cos(A) cos(C) sen(A) sen(C) cos(b) cos(B) sen(C) cos(b)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
cosC cos(A) cos(B) sen(A) sen(B) cos(c) cos(C) sen(B) cos(c) sen(a) sen(b)
sen(A)sen(B) sen(b) sen(a) sen(B) sen(B) sen(b) sen(A)
sen(a) sen(c)
sen(A)sen(C) sen(c) sen(a) sen(C) sen(C) sen(c) sen(A)
sen(b) sen(c) sen(B)sen(C)
cotg(a) sen(c) cotg(A) sen(B) cos(c) cos(B) cotg(a) cotg(c) cos(B) cotg(A) cos(c) cotg(B) cotg(a) sen(b) cotg(A) sen(C) cos(b) cos(C) cotg(a) cotg(b) cos(C) cotg(A) cos(b) cotg(C)
cotg(b) sen(a) cotg(B) sen(C) cos(a) cos(C) cotg(b) cotg(B) sen(C)
cotg(b) sen(c) cotg(B) sen(A) cos(c) cos(A) cotg(B) cotg(b) sen(c)
cotg(c) sen(a) cotg(C) sen(B) cos(a) cos(B) cotg(c) cotg(C) sen(B)
cotg(c) sen(b) cotg(C) sen(A) cos(b) cos(A) cotg(C) cotg(c) sen(b)
0
cos(a) cos(b) cos(c) sen(b) sen(c) cos(A) cos(a) cos(b) cos(c) sen(b) sen(c) cos(90º)
cos(a) cos(b) cos(c) sen(b) sen(c) 0 cos(a) cos(b) cos(c)
No quadro acima apresentamos uma versão para o teorema de Pitágoras do triângulo plano, que também tem uma versão para geometria esférica que se apresenta dessa forma cos(a) cos(b) cos(c) .
Demonstração: Para demonstrar o teorema de Pitágoras para a
geometria esférica, utilizaremos a lei dos cossenos para a trigonometria esférica e como o ângulo A 90º do triângulo esférico, portanto temos cos 90º 0 .
Ao longo da história da matemática, vários algoritmos foram desenvolvidos para demonstrar as dez fórmulas para resolução de triângulos retângulos. Demonstraremos aqui apenas dois desses algoritmos.
Regra de Neper ou Algoritmo de Neper: Recorrendo-se ao artifício
abaixo, devido a Neper, é possível escrever-se, imediatamente, as dez fórmulas fundamentais, (Ayres Jr, 1954, p.271-272).
Figura 81 – Esquema para aplicação da Regra de Neper 225
Fonte: Elaborada pelo autor
Na figura 81, mostramos um triângulo esquemático obtido a partir do triângulo esférico figura 80, pela substituição de c por co - c = 900– c; A por co - A = 900– A; B por co - B = 900– B. Note que a letra C é omitida no círculo, no círculo é
apresentado apenas cinco elementos.
Escolhendo qualquer um dos cinco elementos e denominar-se-ão de médio, ou meio, os dois próximos serão os adjacentes e os dois restantes em opostos. Então, as regras de Neper são:
1 - O seno do meio é igual ao produto das tangentes adjacentes;
0 0
sen(90 B) cos(90 A) cos(b) cos (B) sen(A) cos(b)
Cos Co Co Se Se
2 - O seno do meio é igual ao produto dos cossenos opostos.
Exemplos:
01) Toma-se por co – B, como meio, então co – c, e a são os adjacentes e co – A e b são os opostos, utilizando a 1ª Regra, obtemos.
02) Toma-se por co – B, como meio, então co – c, e a são os adjacentes e co – A e b são os opostos, utilizando a 2ª Regra, obtemos.
Regra de Mauduit: É uma regra para facilitar a memorização das
fórmulas que servem para resolver um triângulo esférico retângulo, (Ferraz, 2006, p.15).
E é enunciado da seguinte maneira “O cosseno do elemento médio é igual ao produto das cotangentes dos elementos conjuntos ou produtos dos senos dos senos dos elementos separados”, representando de outra maneira teríamos:
Na aplicação desta regra, há que se considerar:
1 - Admitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do triângulo, exceto o ângulo reto), seus elementos conjuntos serão os lados B e C, seus elementos separados serão b e c.
2 - O Elemento reto é considerado inexiste na aplicação da regra. Se admitirmos b como elemento médio, seus conjuntos serão C e c; e
3 - Não se “tomam” os catetos, e sim seus complementos: Se A for o ângulo reto, utilizaremos (900 e não c; c) (900 e não b. b)
Figura 82 – Esquema para aplicação da Regra de Mauduit226
Fonte: Ferraz, 2006
226 Fonte da figura disponível em Ferraz, 2006, p.15.
0 0
sen(90 B) tg(90 c) tg(a) cos(B) cotg(c) tg(a)
0 0
cos(90 b) cotg(C) cotg(90 c) sen(b) cotg(C) tg(c) sen(b) cotg(C) tg(c) 0 0
cos(a) sen(90 b) sen(90 c) cos(a) cos(b) cos(c)
Para entendermos, o significado das palavras médio, conjunto e separado, descrevemos: O elemento médio é aquele escolhido aleatoriamente entre os demais elementos do triângulo esférico (exceto o ângulo reto), e que servirá de base para obtenção dos elementos conjuntos e separados.
Exemplos:
01) Sendo dados os dois catetos b e c, utilizando a 1ª Regra, calcule a hipotenusa a, obtemos.
02) Sendo dados os dois catetos b e c, utilizando a 2ª Regra, calcule o ângulo C, obtemos.
Entendemos que com o advento do estudo logaritmo no século XVII, propiciou que os cálculos trigonométricos fossem simplificados, desta forma todas as fórmulas da trigonometria tanto plana como esférica passam a ser utilizadas com logaritmo. Quase exatamente meio século após a publicação de seus logaritmos, surgiu a análise matemática, e com o aprofundamento do estudo das séries matemática pode-se demonstrar que as fórmulas fundamentais de uma trigonometria transformam-se da outra trigonometria, semelhante com suas próprias características.
Finalizando esse capitulo, afirmamos como os estudos da geometria não- euclidiana desenvolveu a geometria esférica e como essas relações fundamentam a trigonometria esférica.
Evidenciamos também que com advento da análise matemática, a trigonometria passou a ser incorporada por essa área da matemática, e o estudo das series matemáticas as fórmulas fundamentais da trigonometria esférica se transformam nas da trigonometria plana, desde que consideremos o raio da circunferência tendendo para o infinito.
A seguir, apresentamos nossas considerações finais do estudo realizado, que buscou responder nosso questionamento inicial “Como surgiram as trigonometrias nas diferentes civilizações e quais as relações estabelecidas entre elas”?, pergunta essa feita por nós como objeto de pesquisa.