1.2 Étude théorique de la génération d’harmoniques par un faisceau
1.2.2 Descriptions des codes de simulations numériques
Les simulations numériques de la génération d’harmoniques par un faisceau laser mis en forme spatialement ont été réalisées en deux temps. Tout d’abord, nous nous sommes uniquement intéressés à la partie infrarouge, dans le double but de vérifier la possibilité de générer un profil de faisceau carré au foyer d’une len- tille par un dispositif aussi simple qu’une marche de phase, puis de déterminer les caractéristiques des lames de phase que nous utiliserions expérimentalement. Le programme de simulation a été écrit sous Labview. Ce langage, bien que peu adapté à la programmation complexe, présente l’avantage de faciliter la visualisa- tion des résultats, ce qui en fait un outil commode pour l’étude que nous voulions réaliser.
Une fois le choix des lames de phase arrêté, nous avons, en parallèle des mesures expérimentales, effectué des simulations de la génération d’harmoniques par un tel faisceau infrarouge.
1.2.2.1 Simulation de la mise en forme spatiale
Le calcul de l’effet du déphasage de la partie interne du faisceau infrarouge par rapport à la partie externe est un calcul de diffraction. Nous nous plaçons dans le cadre de l’approximation paraxiale. Le principe de Huygens Fresnel pour une onde sphérique nous permet de calculer la valeur du champ U en un point P proche du plan focal (Born and Wolf,1989) :
U (P ) = −ıe −ıkf λf Z Z W Ae ıks s dS (1.14)
Comme nous ne considérons que de faibles angles (ici, f = 2m et a ≈ 1cm), nous pouvons faire les approximations supplémentaires suivantes : s − f = −q · R et dS = f2dΩ avec dΩ l’angle solide sous lequel on voi dS du point O. Nous pouvons enfin remplacer s par f au dénominateur de l’intégrant. Dans ce cas, l’équation (1.14) devient U (P ) = − ı λf Z Z Ω Aeıkq·RdΩ (1.15) Soient (x ; y ; z) les coordonnées de P et (ξ ; η ; z) les coordonnées de Q (voir figure1.14) : ( ξ = aρ sin θ η = aρ cos θ ; ( x = ar sin ψ y = ar cos ψ (1.16)
CHAPITRE 1. OPTIMISATION DE LA GÉNÉRATION D’HARMONIQUES
Fig. 1.14: Notations pour le calcul de la diffraction d’une onde sphérique par un trou circulaire.
Nous pouvons utiliser les grandeurs sans dimension u et v suivantes :
u = 2πλ(af)2z , v = 2πλ afr (1.17) Évaluons le terme dans l’exponentielle. Comme le point source Q appartient à la surface d’onde, on trouve que :
kq · R = vρ cos(θ − ψ) − (f a)
2u + 1/2uρ2 (1.18)
De ce fait, l’équation (1.15) devient : U (P ) = −ıa 2 λf2e ı(fa)2uZ 1 0 Z 2π 0 Ae−ı(vρ cos(θ−ψ)−1/2uρ2)ρdρdθ (1.19) dont la forme est identique à celle de la fonction de Bessel d’ordre 0 JO définie
par : J0(x) = 1 2π Z 2π 0 eıx cos αdα (1.20) Pour conclure, nous pouvons exprimer le champ obtenu en tout point P proche du foyer par la diffraction par une ouverture circulaire comme étant égale à la somme de ses parties réelle C et imaginaire S.
U (P ) = −ı2πa
2
λf2 e ı(fa)2u
(C(u, v) − ıS(u, v)) (1.21a) avec ( C(u, v) = R1 0 AJ0(vρ) cos(1/2uρ 2)ρdρ S(u, v) = R01AJ0(vρ) sin(1/2uρ2)ρdρ (1.21b) Dans le cadre de nos simulations, nous voulions être aussi proches que possible des propriétés du laser utilisé pour les expériences. La quantité A devient donc dépendante du rayon ρ de la façon suivante :
A(ρ) = A0e −( ρ
w0) 2n
1.2. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA GÉNÉRATION D’HARMONIQUES PAR UN FAISCEAU MIS EN FORME SPATIALEMENT
où n est un entier égal à 1 dans le cas d’un faisceau gaussien. Ce n’est pas le cas du faisceau que nous avons utilisé lors des mesures, le laser LUCA présentant en effet un profil spatial supergaussien d’ordre 4. De plus, afin de réaliser la mise en forme, nous allons déphaser la partie extérieure du faisceau par rapport à la partie centrale. Nous introduisons la fonction créneau Φ(ρ), qui représente le masque de phase que nous appliquons :
Φ(ρ) = (
0 si ρ ≤ r1
φ1 si r1 < ρ ≤ r2
(1.23) où r1 et r2 sont respectivement le rayon de la lame de phase interne et le rayon
extérieur de la lame de phase annulaire (Fig. 1.13).Nous considérons enfin que les deux lames de phase et la lentille sont confondues (expérimentalement, nous avons placé les lames proches l’une de l’autre dans un faisceau laser collimaté, qui traversait la lentille par la suite).
Plus précisément, φ1 dépend du matériau utilisé pour la fabrication des lames,
de leur épaisseur et de l’inclinaison de la lame interne. On peut alors définir le déphasage Φ1 comme : φ1 = 2πe λ n nh 1 cos θ2
− 1i+h(tan θ1− tan θ2) sin θ1− (
1 cos θ1
− 1)io (1.24) où θ1 et θ2 sont définis figure 1.13 et n est l’indice de réfraction du milieu (de la
silice fondue dans notre cas).
La formule générale (1.21a) devient alors : U (P ) = −ı2A0πa
2
λf2 e ı(fa)2u
(C1(u, v) − ıS1(u, v)) (1.25a)
( C1(u, v) = R1 0 J0(vρ) cos(1/2uρ 2+ Φ(ρ))e−(w0aρ)2n ρdρ S1(u, v) = R1 0 J0(vρ) sin(1/2uρ 2+ Φ(ρ))e−(w0aρ)2nρdρ (1.25b)
1.2.2.2 Simulation de la génération d’harmoniques
Nous avons vu au paragraphe 1.1.1 que les effets macroscopiques d’accord de phase sont primordiaux pour la compréhension de la génération d’harmoniques. Aussi si l’on veut calculer le rayonnement émis par un faisceau infrarouge mis en forme spatialement, il est nécessaire d’aller au delà du simple calcul du dipôle harmonique en prenant en compte les effets de propagations.
La simulation de la génération d’harmoniques s’effectue en deux temps, grâce à l’utilisation consécutive de deux codes de calculs. Tout d’abord, un premier
CHAPITRE 1. OPTIMISATION DE LA GÉNÉRATION D’HARMONIQUES
code est utilisé pour le calcul du module et de la phase du dipôle harmonique en fonction du gaz de génération et de l’éclairement laser dans le régime du champ fort, basse fréquence. Ce calcul est basé sur l’expression du dipôle obtenu grâce au modèle de Lewenstein et présenté au paragraphe 4.1.2.1. Il consiste en une recherche des extrema de l’action quasi-classique définie par l’équation (4.3). Une fois les valeurs du dipôle déterminées pour un ensemble d’éclairement, il faut résoudre les équations de propagation du champ dans un milieu non linéaire avec comme terme source la polarisation non linéaire pour chaque ordre harmonique. La résolution numérique utilise une méthode aux éléments finis. Les propagations des champs fondamental et harmonique sont calculées simultanément, en tenant compte des effets d’ionisation, lesquels peuvent par exemple entraîner la défocali- sation du champ laser par les électrons libres. Pour ce faire, l’indice de réfraction du milieu comprend les contributions des atomes neutres, des électrons libres et des ions. De plus, afin de prendre en compte l’effet de la manipulation de la phase spatiale du champ fondamental, nous le définissons en champ lointain, puis nous le propageons jusqu’à l’entrée du milieu de génération par une transformée de Hankel (la propagation dans le milieu s’effectuant par résolution des équations de propagation).
Le champ harmonique en sortie de milieu est calculé en amplitude Eq(r, t) et en
phase φ(r, t). Nous avons donc accès aux profils temporel et spatial du champ. Le nombre de photons harmoniques Nq est calculé en intégrant le champ à la fois
temporellement et spatialement à la sortie du milieu : Nq =
0πc
~qω Z Z
| Eq(r, t) |2 rdrdt (1.26)
Le spectre de puissance de l’harmonique q considérée est calculé en sommant les contributions spatiales : Iq(ω) ∝ R∞ 0 | Eq(ω, r) | 2 2πrdr ∝R∞ 0 | R∞ 0 Eq(r, t)e ıωtdt |2 2πrdr (1.27)
Enfin, nous pouvons déterminer le profil spatial en champ lointain du champ harmonique à partir du profil d’émission en sortie de milieu par une transformée de Hankel, simulant ainsi la propagation libre du rayonnement harmonique :
Eq(r0, z0) = −ıkq Z E q(r, z) z0− z J0 kqrr0 z0− z exphıkq(r 2 + r02) 2(z0− z) i rdr (1.28) Les simulations numériques nous permettront de mieux cerner le rôle de l’accord de phase lors de la génération d’harmoniques par un faisceau laser mis en forme spatialement.
1.2. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA GÉNÉRATION D’HARMONIQUES PAR UN FAISCEAU MIS EN FORME SPATIALEMENT