Description de la tâche

Le premier exercice est réalisé par tous les élèves. Il se compose de 8 bandes numériques mesurant chacune 19,8 cm allant de 1 à 10 (indiqué par les nombres écrits en chiffres). En haut à droite de ces bandes est écrit un nombre en chiffre. L’exercice est ainsi expliqué « Tu as sous les yeux, une bande numérique. Ici (geste montrant la première borne)

est placé le nombre 1, là (geste montrant la dernière borne) est placé le nombre 10 et les nombres viennent se ranger le long de cette ligne. Donc ici, tu as le nombre 1 et les nombres vont venir se ranger le long de cette ligne jusque-là où c’est 10. Je vais te demander de mettre un trait pour me dire où est-ce que tu placerais ce nombre-là (avec un geste qui indique le nombre écrit en haut à droite) ? » Le chercheur propose successivement chacune des bandes,

où les nombres à ranger sont présentés de manière aléatoire mais dont l’ordre est identique pour chacun des élèves à savoir : 2 – 7 – 3 – 5 – 9 – 4 – 6 et 8.

Le deuxième exercice est facultatif dans le sens où il n’est proposé qu’à certains élèves. L’exercice se compose de 8 bandes numériques mesurant chacune 19,8 cm allant de 1 à 10 (indiqué par des nuages de points). L’exercice est réexpliqué ainsi : « Tu as sous les yeux, une

bande numérique. Ici, tu as comme ça de points et les différentes quantités vont venir se ranger le long de cette ligne jusque-là où il y a comme ça de points. Je vais te demander de mettre un trait pour me dire où est-ce que tu placerais cette quantité-là (avec un geste qui indique le nombre écrit en haut à droite) ? » Les quantités à ranger sont présentées de manière aléatoire

mais dont l’ordre est identique pour chacun des élèves à savoir : 3 – 8 – 5 – 9 – 6 – 4 – 7 et 2.

Le troisième exercice est réalisé par tous les élèves. Dans cet exercice 15 bandes numériques sont proposées aux élèves, elles mesurent chacune 20 cm, allant de 1 à 100. En haut à droite de chaque bande est inscrit un nombre en chiffre. La consigne est donnée en ces termes « Ici (geste montrant la première borne) est placé le nombre 1, là (geste montrant la

dernière borne) est placé le nombre 100, et les nombres viennent se ranger le long de cette ligne. Je vais te demander de mettre un trait pour me dire où est-ce que tu placerais ce nombre-là (avec un geste qui indique le nombre écrit en haut à droite) ? » Parmi les 15

nombres proposés, 9 sont supérieurs à 30 et 6 sont inférieurs à 30. Les nombres à ranger sont présentés de manière aléatoire mais dont l’ordre est identique pour chacun des élèves à savoir : 34 – 88 – 50 – 5 – 62 – 8 – 97 – 3 – 21 – 13 – 75 – 47 – 10 – 68 – 84.

Figure 31: Exemples de lignes numériques allant de 1 à 10 avec les nombres représentés par des nuages de points.

5.4.5.2 Analyse a priori de la tâche

Cette tâche ne devrait pas poser de problème de compréhension pour les élèves puisque la ligne numérique serait une représentation spatiale des nombres vite comprise (Izard & al., 2008), d’autant plus qu’au cours de leur scolarité les élèves ont pu rencontrer cette tâche à plusieurs reprises. Nous pensons qu’une différence sera visible entre les élèves de CE2 et les élèves d’ULIS-TFC, dans le sens où il y a plus de possibilité qu’un élève d’ULIS-TFC ne maîtrise pas la suite numérique ou l’écriture chiffrée des nombres (notamment les irréguliers) par rapport aux élèves de CE2. Plus précisément, concernant les résultats des nombres de 1 à 10, les élèves devraient être en réussite avec peu de différence entre les élèves d’ULIS-TFC et les élèves de CE2, puisque peu d’élèves ne maîtrisent pas la suite numérique de 1 à 10. D’après les résultats de l’étude d’Izard et ses collaborateurs (2008) et du fait des quantités plutôt faibles, nous pouvons penser que les nombres seront placés à intervalles réguliers pour la majorité des élèves, présentant les résultats sous la forme d’une droite traduisant donc un profil linéaire. Cependant si des élèves présentent une méconnaissance de la suite numérique jusqu’à 10 ou une méconnaissance des nombres écrits alors nous pouvons penser que ces élèves s’appuieront davantage sur une représentation approximative des nombres, se traduisant par une courbe de type logarithmique. Concernant les résultats des nombres de 1 à 100, nous pouvons penser que les élèves ayant des compétences numériques peu construites auront un profil de type logarithmique traduisant une conception approximative des nombres peu précise (Izard & al., 2008 ; Siegler & Booth, 2004). Cependant les élèves de CE2 et les élèves d’ULIS-TFC ayant des compétences numériques similaires auront un profil plus linéaire traduisant une estimation plus précise des nombres.

La tâche proposée comporte deux variables didactiques, l’une liée aux quantités à placer sur la ligne numérique et l’autre à leur représentation. En effet les quantités numériques peuvent aller de 1 à 10 ou de 1 à 100. Et dans le cas des quantités allant de 1 à 10, la représentation de ces quantités peut être différente puisqu’elle peut être présentée sous la forme de nombres écrits en chiffres ou sous la forme de nuages de points. L’exercice utilisant la représentation des quantités, de 1 à 10, sous la forme de nuages de points n’est proposé qu’aux élèves ayant un niveau mathématique faible (niveau inférieur au CP) et/ou si l’élève a présenté des difficultés importantes au cours de la passation du protocole, et notamment au cours du premier exercice de cette tâche avec les nombres écrits en chiffre.

Les procédures utilisées par les élèves pourront s’appuyer sur une représentation approximative du nombre, par exemple en plaçant les nombres de manière intuitive, c’est-à-dire qu’il repère les deux extrémités de la ligne numérique et juge approximativement la place du nombre donné. Ces élèves, placeront le trait représentant la place du nombre en un geste. Nous pouvons penser que certains élèves pourront s’aider de leurs connaissances numériques et spatiales en repérant la moitié de la ligne numérique, avant de décider où le nombre sera placé. D’autres élèves s’appuieront davantage sur une représentation exacte du nombre en partant de l’extrémité 1 et en comptant successivement de 1 en 1 jusqu’au nombre à placer tout en réalisant un écart régulier. Cette représentation exacte du nombre pourra être fastidieuse dans le troisième exercice, dans ce cas les élèves pourront compter successivement de 10 en 10 pour atteindre la dizaine correspondante au nombre demandé puis de 1 en 1 jusqu’au nombre demandé, tout en réalisant des écarts réguliers sachant que les écarts de 10 seront plus importants que les écarts de 1. Certains élèves pourront changer de procédures en cours d’un même exercice ou entre les différents exercices selon qu’ils se sentent en difficulté ou plus en confiance dans l’exercice. Mais aussi en fonction de leur capacité à modifier rapidement une stratégie en vue d’une autre plus rapide, plus efficace. Et enfin, en fonction de leur résistance à une tâche plus longue, puisque celle-ci comporte au moins deux exercices différents. Par exemple certains élèves peuvent s’attacher à une représentation exacte du nombre, puis au fil des exemples qui leur sont présentés acquièrent un certain savoir-faire et peuvent se détacher de la lourdeur du comptage 1 à 1 en faveur d’une représentation plus approximative. À contrario, nous pourrions rencontrer des élèves s’attachant à une procédure exacte et ne l’abandonnant que parce qu’ils veulent « vite finir ». Précisons que le deuxième exercice, présentant les quantités sous la forme de nuages de points pourront inviter les élèves à utiliser leurs connaissances approximatives des nombres en se référant à une estimation des nuages de points. Mais les élèves peuvent également dénombrer le nombre de points et placer ce nombre correspondant sur la ligne. Dans ce cas, les élèves ayant compris la métaphore de la ligne numérique mais n’ayant pas accès au code arabe-écrit des nombres seront aidés.

Cette tâche peut engendre des difficultés pour certains élèves, notamment les élèves ayant des compétences numériques sur les nombres exacts plutôt limitées. En effet, la méconnaissance des nombres écrits en chiffres pourra empêcher les élèves de se représenter cette quantité de manière suffisamment juste pour la placer sur la ligne numérique. De plus, si les élèves s’attachent à une représentation exacte des quantités alors la méconnaissance de la suite numérique jusqu’à 10 ou jusqu’à 100 entraînera un échec de l’élève dans ces exercices. Et

l’attachement à une seule procédure même inefficace peut être courante chez certains élèves d’ULIS-TFC, en effet leur profil indique une faible flexibilité mentale rendant très coûteux le choix de changer de procédures impliquant un changement de raisonnement. Au cours de l’exercice, le chercheur peut prendre la décision de l’arrêter s’il voit que les difficultés des élèves sont trop persistantes.