Dans les collisions en question, la plupart des noyaux impliqués sont écrantés par un nuage électronique. On assimile chaque centre atomique à une charge électrique ponctuelle . Pour tenir compte de l’effet de l’écrantage du nuage électronique, on suppose que la charge totale observée à une distance (du point ), s’écrit de la manière suivante [107] (voir Figure 4.1) :
= − − +
où est le numéro atomique et l’état de charge de (la quantité −
représente le nombre d’électrons que comporte l’ion ). L’un des principaux buts de ce modèle est de tenir compte du fait que la charge peut évoluer au cours de la collision. La quantité est le « rayon d’écrantage » du centre . Si est un atome isolé (ou un ion), est supposé égal au rayon atomique (ou ionique) de . Suite à une transition électronique (excitation, ionisation), le rayon peut également évoluer lors la collision et il en sera tenu compte autant que faire se peut dans la modélisation. Les valeurs de pour les différents atomes (ou ions) sont données dans la littérature [108, 109]. Par exemple, pour l’atome d’hydrogène (neutre et isolé) dans son état fondamental, choisir = où est le rayon de Bohr, constitue une excellente approximation. Dans le cas où est l’un des centres atomiques d’une molécule, on suppose que est égal au rayon covalent de l’atome correspondant [110, 111].
131 Z n Q n (r ) Distance r qn
Figure 4.1 : Illustration qualitative de la dépendance en de la charge .
Le centre de masse de la cible est initialement placé à l’origine du système de coordonnées = , = , = . Lorsque la cible est une molécule, son orientation initiale est choisie d’une façon aléatoire. La cible est considérée au repos à = . La vitesse initiale du projectile est suivant l’axe , avec = ⃗ . Dans le cas où le projectile est un ion atomique, sa position initiale est donnée par
ses coordonnées à = : = cos , = sin et <
(typiquement, = − . .), où est le paramètre d’impact. Chacune des deux variables et est choisie d’une façon aléatoire. Dans le cas où le projectile est un ion moléculaire, la position initiale du centre atomique d’intérêt est définie comme dans le cas d’un ion atomique. La position initiale des autres centres est choisie de façon à ce que l’orientation de la molécule soit aléatoire.
Lors des collisions ions-molécules, des processus de transfert de charge (électrons) se produisent. Dans ce modèle, toutes les transitions électroniques sont supposées avoir lieu simultanément et de façon « plus ou moins » soudaine au moment où le projectile atteint la distance d’approche minimale (la distance projectile-cible la plus petite), c’est-à-dire lorsque ≈ . Pour gérer ces transitions électroniques dans le cadre de ce modèle, une fonction de Heaviside
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« douce » ( ) est introduite (voir Figure 4.2). Cette fonction est définie comme suit :
( ) = [ + tanh( . )]
avec un « facteur de pente ». Tant que ( ) ≃ , aucune transition électronique n’est permise. Au contraire, quand la fonction ( ) ≃ , toutes les transitions ont déjà eu lieu. Ainsi, le modèle impose que les transitions électroniques n’aient lieu que lorsque la distance projectile-cible est proche de sa valeur minimale, c’est-à-dire pendant un intervalle de temps limité au cours duquel ( ) diffère significativement de et de . Plus le facteur de pente est grand, plus la transition électronique est rapide (voir la Figure 4.2).
Dans les hypothèses précédentes, la charge du centre projectile « » vue par un centre cible ponctuel « » est écrite comme suit :
, = ( − ) − �� +
où { = �+ ( − �) .
= �+ ( − �) .
Dans ces expressions, = signe � , est la distance entre les noyaux en interaction ( et ), est le numéro atomique du projectile, � et sont les états de charge initial et final du centre projectile, � et sont les rayons d’écrantage initial et final du centre projectile, respectivement.
Notons que dans la voie d’entrée de la collision, le produit . est négatif de sorte que l’expression de se réduit à :
≃ [( − �) −�� ��� + �],
tant que
133 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 s=1 s=0,5 Hs(zp) (unité arb.) zp(u.a.)
Figure 4.2 : Tracé de la fonction de Heaviside « douce » ( ) en fonction de la coordonnée du projectile selo l’a e (axe du faisceau incident). Dans ce modèle, la valeur typiquement utilisée pour le facteur de pente est 0,5.
Par contre, dans la voie de sortie de la collision, le produit . est positif, indépendamment du fait que le projectile soit diffusé ou rétrodiffusé, de sorte que l’expression de se réduit à :
≃ [( − ) −�� �� + ],
dès lors que
. ≃ .
Par analogie, la charge du centre de la cible « », vue par le centre « p » du projectile, est écrite comme suit :
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où { = �+ ( − �) .
= �+ ( − �) .
et avec des définition similaires pour , , � et . Dans l’expression de , l’état de charge de chaque centre atomique de la molécule cible est égal à zéro � = car les cibles utilisées dans ce travail sont initialement et systématiquement neutres.
Pour éviter l’explosion coulombienne de tout partenaire molécule avant la collision, la charge du centre atomique vue par un autre centre atomique
est de la même molécule est supposée être :
, = + . [( − ) − + ]
avec la distance entre les centres cibles et en interaction.
De manière générale, l’énergie potentielle d’un centre atomique se trouvant dans le champ électrique d’un centre atomique (les centres et peuvent aussi bien appartenir à une même molécule qu’à des molécules différentes) s’écrit :
=
où les charges effectives et dépendent de la distance comme indiqué ci-dessus.
La force électrique qui agit sur le centre atomique se trouvant dans le champ électrique du centre atomique est ainsi donnée par :
=
Lorsqu’on considère l’ensemble des centres atomiques du système de collision, la seconde loi de Newton, ∑ = (où et sont la masse et l’accélération du centre respectivement), mène à un système d’équations différentielles couplées. Les valeurs asymptotiques de l’énergie cinétique et de
135 l’angle de diffusion ou de recul de chaque centre atomique sont déterminées en résolvant ce système d’équations. Ces valeurs asymptotiques sont obtenues au bout d’un temps = . . après le passage du projectile à proximité de la cible. Pour simuler un grand nombre d’évènements de collision, le calcul est généralement répété plus de fois, avec des conditions initiales choisies au hasard ( , et l’orientation moléculaire).